高等数学(下册)期末考试试卷参考答案.doc

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当时，；当时，；2、负号； 3、； 4、；5、180； 6、；7、； 8、1；二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；三、1、；2、；四、1、；2、；五、令则，； 于是当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，在D内连续。所以由Green公式得：I=0；当L所围成的区域D中含O（0，0）时，在D内除O（0，0）外都连续，此时作曲线为，逆时针方向，并假设为及所围成区域，则六、由所给条件易得： 又 = 即 即 又 即 七、令，考虑级数 当即时，亦即时所给级数绝对收敛；当即或时，原级数发散；当即时，级数收敛；当即时，级数收敛；级数的半径为R=1，收敛区间为1，3。高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、 ； 4、；5、； 6、； 7、； 8、0；二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C；三、1、函数在点A（1，0，1）处可微，且； 而所以,故在A点沿方向导数为： + 2、由得D内的驻点为且， 又 而当时， 令得 于是相应且 在D上的最大值为，最小值为四、1、的联立不等式组为所以 2、在柱面坐标系中 所以五、1、连接，由公式得：2、作辅助曲面 ，上侧，则由Gauss公式得： += = =六、由题意得：即特征方程，特征根对应齐次方程的通解为：又因为是特征根。故其特解可设为：代入方程并整理得：即 故所求函数为：高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案一、1、； 2、； 3、；4、； 6、公式； 7、 8、。二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于，由上两式消去，即得： 四、设为椭圆上任一点，则该点到直线的距离为 ；令，于是由： 得条件驻点： 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中即为所求。五、曲线在面上的 投影为 于是所割下部分在面上的投影域为：， 由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 六、将分为上半部分和下半部分， 在面上的投影域都为：于是： ； ， =七、因为，即 所以 八、 又 高等数学（下册）考试试卷（四）参考答案一、1、；2、； 3、； 4、； 5、；6、； 7、；8、； 二、1、C； 2、C； 3、A； 4、D； 5、A； 6、B； 7、A； 8、C三、 故四、设是曲面上的任意点，则， 在该点处的法向量为： 于是曲面在点处的切平面方程为：+=0即+=1因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：这是一个定值，故命题得证。 五、由于介于抛物面，柱面及平面之间的立体体积为定值，所以只要介于切平面，柱面及平面之间的立体体积为最大即可。 设与切于点，则的法向量为，且，切平面方程为： 即 于是 则由，得驻点（1，0）, 且 由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面为：六、联接，并设由L及所围成的区域为D，则 七、令，则，于是原方程可化为： 即，其通解为 即, 故原方程通解为：八、易求得该幂级数的收敛区间为，令，则注意到，高等数学（下册）考试试卷（五）参考答案一、1、；2、；3、；4、； 5、对任意闭曲线，或或使得； 6、； 7、； 8、发散二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A三、1、；2、 。四、1、因为积分域D关于对称，所以故=2、+ 因为关于三个坐标轴都对称，而都（至少）关于某个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是： 。五、令 则 ， 由已知条件得，即有，所以 所求的一个原函数为 ： 六、易知 又 ， 其中七、方程的特征方程为：，其特征根为，故方程的通解为：高等数学（下册）考试试卷（六）参考答案一、1、；2、；3、； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、二、1、B； 2、D ； 3、A； 4、C； 5、D； 6、C； 7、C； 8、A。三、令 ，则 ， 于是过任意点处的切平面方程是： 取，上式被满足，即切平面过定点四、得在D内的驻点，令解方程组得条件驻点于是由得所求的最大值为46，最小值为1。五、如图 2所以 x2411 0 。六、令，则, 同理；于是作辅助曲面，内侧，使得位于的内部，以表示由与所围成的立体域，表示所围成的立体域，则 =七、因为，所以被积函数连续。又于是 八、方程变形得：，这是齐次方程。令得：，代入方程得：由原方程知，因此，对上式积分，得：即故方程的通解为：高等数学（下册）考试试卷（七）参考答案一、1、； 2、；3、； 4、； 5、； 6、；7、； 8、二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、B； 6、C； 7、D； 8、A三、1、2、 四、1、如图，积分域在极坐标中 y=xyD可表示为 o于是 x 2、设为抛物面上的任意一点，则点处的切平面方程为： 该切平面与曲面的交线为：， 消去得：，故所求体积为： 令得：,即体积为定值。五、令则, 所以因而是某二元函数的全微分。又 所以, 因而六、设，取上侧，则 七、由题设条件，易得因为所以因而，即这是一个关于的一阶线性方程故又，即，故高等数学（下册）考试试卷（八）参考答案一、1、； 2、； 3、； 4、；5、4； 6、； 7、； 8、二、1、B; 2、C; 3、C; 4、D; 5、C; 6、A; 7、D; 8、D三、对应齐次方程的特征方程为，特征根为于是对应齐次方程的通解为又=0不是特征根，所以特解可设为代入微分方程可得A=，B=故原方程的通解为, 又， 则 ，解得故初值问题的解为四、1、由题设得所以2、对所给方程组两端求微分得： 解以为未知量的方程组得：， 五、设切点为，由隐函数求导得, 故切线方程为令得; 令得注意到切点在曲线上，即则得三角形面积为：= 要求的最小值，只要求的最大值，而 =令由,得驻点唯一，而由实际问题知最小面积存在。故最小面积为六、令, 得，连接,记L及所围区域为D，则由Green公式得：I=七、作辅助曲面，取上侧由所围成的立体域记为，则由Gauss公式得： I=3 =八、令, 则所以原级数收敛且是绝对收敛的。高等数学（下册）考试试卷（九）参考答案一、1、； 2、3、2； 4、； 5、2+； 6、- 7、；8、二、1、（C）； 2、（B）； 3、（B）； 4、（A）； 5、（D）； 6、（D）；7、（A）； 8、（B）三、先把延拓为再把延拓成以2为周期的函数，并且 （）因为满足收敛定理的条件，所以的Fourier级数在的连续点处收敛于，在的不连续点处收敛于，又因为在（）上是奇函数，于是 =所以展开为正弦级数为= ， 在上式中，令得：1=, 所以 四、由得D内的驻点M（） 因为在有界闭区域D上连续，于是在D上必有最大值和最小值存在。可微函数的最大值及最小值在驻点或D的边界上取得。在线段OA上，。最大值为，最小值为在线段AB上，。最大值为，最小值为在线段BE上，。最大值为，最小值为在线段EO上，。最大值为，最小值为又，所以在D上的最大值为，最小值为。五、令，于是 =又=所以= 因为在（0，1）上都是单调增加连续函数，所以 （）故即六、令，则P、Q在平面内有一阶偏导数，且 由已知条件知：, 即 这是关于的二阶非齐次线性方程，其通解为 由，可得 所以七、如图 U V 根据复合函数求导法则 八、如图 所以而的方程为：, 所以的方程为, 所以的方程为, 所以故高等数学（下册）考试试卷（十）参考答案一、1、； 2、； 3、+ 4、； 5、-； 6、； 7、； 8、二、1、C； 2、B； 3、C； 4、B； 5、C； 6、A； 7、D； 8、A三、设水池长、高、宽分别为米，则其体积为当时，所用水泥量为：+ =+= =四、设剪成的三段分别为，则围成的面积之和为，且这是条件极值问题。作函数为由得条件驻点，其中 由实际问题有解，而驻点唯一，故问题的解在驻点取得。所求的最小面积为五、1、令 0 则 = =2、由对称性得： =所以 =又由对称性，只需计算在第一象限内的积分，然后八倍。而 第一象限部分在面上的投影为：因为，所以 所以= 3、作辅助曲面：，上侧则 = = =六、关系式两端关于求导得：即这是关于的一阶线性微分方程，其通解为： =又，即，故，所以七、令，则又=所以收敛，因而绝对收敛，故收敛。高等数学（下册）考试试卷（十一）参考答案一、1、； 2、； 3、； 4、；5、； 6、； 7、8、，二、1、C; 2、B; 3、A; 4、C; 5、A; 6、D; 7、C; 8、B三、取, 作辅助曲面：，取内侧是由及所围成的立体，令， 则=，于是 所以= =四、1、， ， 2、， 五、1、=2、的参数形式为 所以 =六、幂函数的收敛区间为，。令则，所以=，又由和函数的性质得：, 即所以七、设均质链条的线密度为，经过时间，链条（10米的一侧）下滑米。于是由牛顿第二定律得： 即，且， 解上方程得 代入初始条件得，所以 于是 故当整个链条滑过钉子时，即所需时间为：高等数学（下册）考试试卷（十二）参考答案一、1、；2、； 3、； 4、； 5、； 6、7、，8、二、1、D； 2、D； 3、B； 4、C； 5、A； 6、B； 7、A； 8、B三、1、因为，所以所以故2、方程两端求微分得 所以 ， 于是 =四、1、=2、令，则 ， 于是由公式得： =3、令，则 ， 由公式得： =五、解：选物体的起始位置作为坐标原点，竖直向下的方向为轴正向，则物体受到的力为： 其中表示物体在时刻的瞬时速度。则由牛顿第二定律得： ，且 即，且解之得：由及得： 高等数学（下册）考试试卷（十三）参考答案一、1、；2、直线上的所有的点；3、；4、； 5、二、1、C； 2、A； 3、B； 4、D； 5、B三、1、将原方程变形得： 由初始条件积分得： =2、因为 所以 +3、令 则 = 又 所以 即该级数收敛，且其和为4、5、 = (其中)四、因为，所以因此其收敛半径为五、 = =六、因为，所以七、由对称性知： 八、收敛半径收敛区间为令，则令则=所以，故，高等数学（下册）考试试卷（十四）参考答案一、1、； 2、；3、二、1、D； 2、C； 3、B三、1、求导得，再求导得： 特征方程为，特征根为故的通解为又，即 所以 故2、因为 其中 设， 则=+ =+=即=3、因为，, 令得： 所以，四、因为所以=五、因为而=所以，即该级数发散。六、由公式有： 七、设为椭球面第一象限部分上的点，则该点处切平面方程为 于是所研究的立体体积为： ，其中为椭球体的在第一象限部分上的体积，它是一个定常数，故只要求的最大值。令则由前三式可得，代入第四式即可得唯一解： ，由于体积的最小值存在，故点为所求点。八、面积=九、设摆线方程为=十、由到平面的距离为圆的半径为，周长为在上所以高等数学（下册）考试试卷（十五）参考答案一、1、不存在；