2003年山西省太原市初中数学竞赛试卷.doc

菁优网2003年山西省太原市初中数学竞赛试卷 2003年山西省太原市初中数学竞赛试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1（7分）已知m2+2mn=384，3mn+2n2=560则2m2+13mn+6n2444的值是（）A2001B2002C2003D20042（7分）已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2ba）则x、y的大小关系是（）AxyBxyCxyDxy3（7分）有甲、乙、丙、丁四个蓄水池，盛有相同量的水，作下面变动：在甲池中先注入池中水量的10%的水，再放出注水后池中水量的5%的水；在乙池中先注入池中水量的9%的水，再放出注水后池中水量的4%的水；在丙池中先注入池中水量的8%的水，再放出注水后池中水量的3%的水；在丁池中先注入池中水量的7%的水，再放出注水后池中水量的2%的水这时，四个蓄水池中水量最大的是（）池A甲B乙C丙D丁4（7分）已知la0，|xa|=a2则x的取值范围是（）Alx0B0xlC2x0D0x25（7分）如图，已知ABC，过点A作外接圆的切线交BC延长线于点P，点D在AC上，且，延长PD交AB于点E，则的值是（）ABCD二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6（7分）当1x2时，关于x的函数y=（k2）x+2|k|1的值恒正则k的取值范围是_7（7分）方程1=2x+x2的解是_8（7分）已知关于x的方程x3+（1a）x22ax+a2=0有且只有一个实根则实数a的取值范围是_9（7分）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80则三边长分别是_10（7分）如图，已知ABC的面积为S，D是边BC的三等分点，E是边AC的四等分点，F，G皆是边AB的五等分点则四边形DEFG的面积是_三、解答题（共4小题，满分80分）11（20分）已知关于x的方程x2（2m3）x+m4=O的二根为a1、a2，且满足3a12，a20求m的取值范围12（20分）已知：五位数满足下列条件：（1）它的各位数字均不为零；（2）它是一个完全平方数；（3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数试求出满足上述条件的所有五位数13（20分）已知二次函数的图象开口向上且不过原点0，顶点坐标为（1，2），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且满足关系式OC2=OAOB（1）求二次函数的解析式；（2）求ABC的面积14（20分）如图，已知在ABC中，D为AC上一点，且AD=DC+CB过D作AC的垂线交外接圆于M，求证：M为优弧的中点2003年山西省太原市初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1（7分）已知m2+2mn=384，3mn+2n2=560则2m2+13mn+6n2444的值是（）A2001B2002C2003D2004考点：代数式求值1423063专题：计算题；整体思想分析：先将题干中第一个式子乘以2，再将第二个式子乘以3，然后将得到的两个式子相加，即可得到2m2+13mn+6n2的值，则2m2+13mn+6n2444的值便易得出解答：解：m2+2mn=384，2（m2+2mn）=2384，即 2m2+4mn=768又3mn+2n2=560，上式乘以3得：9mn+6n2=1680+得：2m2+13mn+6n2=2448，2m2+13mn+6n2444=2004，故选D点评：此题主要考查简单的计算能力，以及正确分析出所求式子和已知之间的联系2（7分）已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2ba）则x、y的大小关系是（）AxyBxyCxyDxy考点：因式分解的应用1423063专题：因式分解分析：判断x、y的大小关系，把xy进行整理，判断结果的符号可得x、y的大小关系解答：解：xy=a2+b2+208b+4a=（a+2）2+（b4）2，（a+2）20，（b4）20，xy0，xy，故选B点评：考查比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大3（7分）有甲、乙、丙、丁四个蓄水池，盛有相同量的水，作下面变动：在甲池中先注入池中水量的10%的水，再放出注水后池中水量的5%的水；在乙池中先注入池中水量的9%的水，再放出注水后池中水量的4%的水；在丙池中先注入池中水量的8%的水，再放出注水后池中水量的3%的水；在丁池中先注入池中水量的7%的水，再放出注水后池中水量的2%的水这时，四个蓄水池中水量最大的是（）池A甲B乙C丙D丁考点：有理数的混合运算1423063分析：本题可先设出原先的水量，然后根据题意分别列出最后的水量的式子，比较得出结果解答：解：设原先的蓄水池中有水量为a，则由题意得：目前的水量为a（1+10%）（15%），即为1.045a；目前的水量为a（1+9%）（14%），即为1.0464a；目前的水量为a（1+8%）（13%），即为1.0476a；目前的水量为a（1+7%）（12%），即为1.0486a；由比较可知：这时，四个蓄水池中水量最大的是丁池故选D点评：本题结合实际生活考查了有理数的混和运算，关键是列出式子4（7分）已知la0，|xa|=a2则x的取值范围是（）Alx0B0xlC2x0D0x2考点：解一元一次不等式1423063专题：计算题分析：根据题意xa，分xa和xa两种情况讨论，从而求得x的取值范围即可解答：解：la0，xa；当xa时，得xa=a2，即x=a2+a，la0，x0；当xa时，得ax=a2，即x=a2+a，la0，2x0，综上所述，2x0，故选C点评：本题考查了一元一次不等式的解法，在未知字母参数取值的条件下，要分情况讨论5（7分）如图，已知ABC，过点A作外接圆的切线交BC延长线于点P，点D在AC上，且，延长PD交AB于点E，则的值是（）ABCD考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质1423063专题：常规题型分析：由PAC=B，判断出PACPBA，从而利用面积比等于相似比的平方求出AE的值解答：解：如图，APC=BPA，PAC=B，PACPBA，=又=，则=2=2于是，2=，=故选A点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质的理解和掌握综合性较强二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6（7分）当1x2时，关于x的函数y=（k2）x+2|k|1的值恒正则k的取值范围是考点：一次函数的性质；解一元一次不等式组1423063分析：把x=1和x=2分别代入解析式得到对应的函数值，令函数值大于0，得到不等式组，解不等式组即可解不等式组时要对k的范围讨论，便于去绝对值解答：解：根据题意得，即，当k0时，解得k；当k0时，无解所以k的取值范围是k故答案为k点评：掌握一次函数的性质给定自变量会求对应的函数值；掌握一元一次不等组的解法和绝对值的意义7（7分）方程1=2x+x2的解是x1=，x2=考点：换元法解分式方程1423063专题：计算题分析：将原方程整理得，（x+）2+2（x+）3=0，设x+=y，则y2+2y3=0，解得y的值，再求x即可解答：解：原方程可化为：（x+）2+2（x+）3=0，设x+=y，则y2+2y3=0，解得y1=1，y2=3，当y1=1时，x+=1，无解；当y2=3时，x+=3，解得x=；经检验x1=，x2=是方程的根，故答案为：x1=，x2=点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧8（7分）已知关于x的方程x3+（1a）x22ax+a2=0有且只有一个实根则实数a的取值范围是考点：提公因式法与公式法的综合运用；根的判别式1423063分析：先把原方程变形，得到方程的一个根和一个一元二次方程，然后利用根的判别式判定解答：解：原方程变形为（xa）（x2+xa）=0，得x=a或x2+xa=0，因为方程x3+（1a）x22ax+a2=0有且只有一个实根，所以x=a是方程的唯一实根，所以方程x2+xa=0无实根，故=1+4a0，所以a故答案为：a点评：本题考查了多项式的因式分解和一元二次方程根的判别式，解题的关键是将等式应用因式分解知识准确变形9（7分）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80则三边长分别是30，16，34考点：勾股定理1423063专题：计算题分析：分别设直角三角形的三边为a、b、c，则存在c=80ab和a2+b2=c2，分析得a=30，b=16根据a、b计算c解答：设直角三角形的三边长分别是a、b、c由题意知a2+b2=c2，且a+b+c=80，将c=80ab代入a2+b2=c2，整理得即（80a）（80b）=3200，因为0a、b80，故有且仅有（80a）（80b）=5064成立，得a=30，b=16，从而c=34点评：本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中根据勾股定理整理出（80a）（80b）=3200，且分析出：有且仅有（80a）（80b）=5064成立是解题的关键10（7分）如图，已知ABC的面积为S，D是边BC的三等分点，E是边AC的四等分点，F，G皆是边AB的五等分点则四边形DEFG的面积是S考点：三角形的面积1423063专题：计算题分析：连接CF、CG、AD，根据题目中给出的已知条件，分别求出SAEF、SBDG、和SDEC的面积，已知ABC的面积为S，即可求出四边形DEFG的面积解答：解：如图，连接CF、CG、AD，则SAEF=S=S，SBDG=S=S，SDEC=S=S，故S四边形DEFG=S（S+S+S）=S故填：S点评：此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键的是连接CF、CG、AD，并根据题目中给出的已知条件，分别求出则SAEF、SBDG、和SDEC的面积三、解答题（共4小题，满分80分）11（20分）已知关于x的方程x2（2m3）x+m4=O的二根为a1、a2，且满足3a12，a20求m的取值范围考点：抛物线与x轴的交点1423063专题：数形结合分析：先令y=x2（2m3）x+m4，根据方程x2（2m3）x+m4=O的二根为a1、a2，且满足3a12，a20画出函数图象，由图象可知当x=0，当x=2，当x=3时y的取值范围，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可解答：解：y=x2（2m3）x+m4，如图得关系式，当x=0时，y=m40，当x=2时，y=4+4m6+m40，当x=3时，y=9+6m9+m40，即解得m故答案为：m点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，利用数形结合把方程问题转化为函数取值范围的问题是解答此题的关键12（20分）已知：五位数满足下列条件：（1）它的各位数字均不为零；（2）它是一个完全平方数；（3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数试求出满足上述条件的所有五位数考点：完全平方数1423063专题：计算题分析：设，且a=m2（一位数），（两位数），（两位数），则M2=m2104+n2102+t2由式知M2=（m102+t）2=m2104+2mt102+t2，比较式、式得n2=2mt然后讨论即可得出答案解答：解：设，且a=m2（一位数），（两位数），（两位数），则M2=m2104+n2102+t2由式知M2=（m102+t）2=m2104+2mt102+t2比较式、式得n2=2mt因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数故n2=16或36或64当n2=16时，得mt=8，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；故M2=11664或41616当n2=36时，得mt=18则m=2，3，1，t=9，6，18最后一解不合条件，舍去故M2=43681或93636当n2=64时，得mt=32则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去因此，满足条件的五位数只有4个：11664，41616，43681，93636点评：本题考查了完全平方数，难度较大，关键是设，且a=m2（一位数），（两位数），（两位数），然后表示出M2的形式13（20分）已知二次函数的图象开口向上且不过原点0，顶点坐标为（1，2），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且满足关系式OC2=OAOB（1）求二次函数的解析式；（2）求ABC的面积考点：待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积1423063专题：综合题分析：（1）已知顶点坐标为（1，2），可设顶点式为y=a（x1）22=ax22ax+a2，设A（x1，0），B（x2，0），则x1x2=，C（0，a2），由OC2=OAOB，将相应点的坐标代入，列方程求a，即可求二次函数解析式；（2）根据二次函数解析式及AB=|x1x2|，利用求根公式求AB，点C到线段AB的距离为高，可求ABC的面积解答：解：（1）抛物线顶点坐标为（1，2），设顶点式为y=a（x1）22=ax22ax+a2，A（x1，0），B（x2，0），则x1x2=，C（0，a2），由OC2=OAOB，得（a2）2=|x1x2|=|，即a34a2+4a=|a2|，当0a2时，有a34a2+5a2=0即（a1）2（a2）=0，解得a1=1或a2=2（舍去）由a=1得y=x22x1；当a2时，有a34a2+3a+2=0即（a2）（a22a1）=0解得a1=2（舍去），a2=1+，a3=1（舍去），故a=1+，y=（1+）x2（2+2）x+1，故 所求二次函数解析式为：y=x22x1或y=（1+）x2（2+2）x+1；（2）由SABC=|AB|OC|，有两种情况：当y=x22x1时，|AB|=|x1x2|=2，又|OC|=1，故SABC=21=；当y=（1+）x2（2+2）x+1时，|AB|=|x1x2|=2，又|OC|=1，则SABC=2（1）=（1）故所求ABC的面积为（1）或点评：本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数一般式：y=ax2+bx+c（a0）；顶点式y=a（xh）2+k，