2008~2011年江苏高考数学试卷及答案.doc

2008江苏高考数学2008年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)1. 的最小正周期为，其中，则 。【解析】本小题考查三角函数的周期公式。答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 。【解析】本小题考查古典概型。基本事件共个，点数和为4的有、共3个，故。答案3.表示为，则= 。【解析】本小题考查复数的除法运算， ，因此=1。答案14. 则的元素个数为 。【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由得因为，所以，因此，元素的个数为0。答案05.的夹角为，则 。【解析】本小题考查向量的线形运算。因为 ，所以=49。因此7。答案76.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为 。【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。 答案 7.某地区为了解7080岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。序号（i）分组（睡眠时间）组中值（）频数（人数）频率（）14,5)4.560.12 25,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,9)8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是 。【解析】本小题考查统计与算法知识。答案6.428.直线是曲线的一条切线，则实数 。【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。答案9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程： 。【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。答案。10.将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 。【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前行共用了 个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为。答案11.的最小值为 。【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。答案3。12.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 。【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。 答案13.若，则的最大值 。【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即C在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又。答案14.对于总有成立，则= 。【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使恒成立，只要在上恒成立。当时，所以，不符合题意，舍去。当时，即单调递减，舍去。当时 若时在和 上单调递增，在上单调递减。所以 当时在上单调递减，不符合题意，舍去。综上可知a=4.答案4。15.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。（1） 求的值； （2） 求的值。【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得， 为锐角，故。同理可得，因此。（1）。（2），从而。16在四面体ABCD中，CB=CD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证（I）直线； （II）。证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点。（II）又，所以17某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。（I）按下列要求写出函数关系式： 设，将表示成的函数关系式； 设，将表示成的函数关系式。（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。【解析】本小题考查函数最值的应用。（I）由条件可知PQ垂直平分AB，则故，又，所以。，则，所以，所以所求的函数关系式为。（I） 选择函数模型。令得，又，所以。当时，是的减函数；时，是的增函数。所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。18.设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。（1） 求实数的取值范围；（2） 求圆的方程；（3） 问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。（1）（2） 设所求圆的方程为。令得又时，从而。所以圆的方程为。（3）整理为，过曲线与的交点，即过定点与。19.（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当时，求的数值；求的所有可能值；（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。（I）当时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则。若删去，则有，即，化简得；若删去，则有，即，化简得。综上可知。 当时， 中同样不可能删去首项或末项。若删去，则有，即，化简得；若删去，则有，即，化简得，舍去；若删去，则有，即，化简得。当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项和末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去，也有，这与矛盾；若删去中的任意一个，则必有，这与矛盾。综上可知。（3） 略20.若为常数，且(I) 求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；(II) 设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。（I）恒成立若，则，显然成立；若，记当时，所以，故只需；当时，所以，故只需。（II）如果，则的图象关于直线对称，因为，所以区间关于直线对称。因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。如果，结论的直观性很强。2009江苏高考数学2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据的方差一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为.【答案】【解析】略2.已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积 .【答案】3【解析】。3.函数的单调减区间为 .11Oxy【答案】【解析】，由得单调减区间为。4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则 .【答案】3【解析】，所以， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 .【答案】0.2【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679开始输出 结束YN则以上两组数据的方差中较小的一个为 .【答案】 【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 .【答案】22【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【答案】1：8【解析】略9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .【答案】 【解析】略10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 .【答案】【解析】略11.已知集合，若则实数的取值范围是，其中 .【答案】4【解析】由得，；由知，所以4。12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.【答案】（1）（2） 【解析】略13如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .【答案】xyA1B2A2OTM【解析】用表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.14设是公比为的等比数列，令若数列有连续四项在集合中，则 .【答案】【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（本小题满分14分） 设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：.【解析】由与垂直，即，；，最大值为32，所以的最大值为。由得，即，所以. 16（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，求证：（1）（2）【解析】证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，所以；（2）因为直三棱柱，所以，又，所以，又，所以。17（本小题满分14分） 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项.（1）设公差为，则，由性质得，因为，所【解析】以，即，又由得，解得，所以的通项公式为，前项和。（2），令， xyO11.因为是奇数，所以可取的值为，当，时，是数列中的项；，时，数列中的最小项是，不符合。所以满足条件的正整数。18（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.【解析】(1) 或，(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或。 19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为求和关于、的表达式；当时，求证：=；设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。求和关于、的表达式；当时，求证：=；设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】(1) 当时，显然 (2)当时，由，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 20(本小题满分16分)设为实数，函数.若，求的取值范围；求的最小值；设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】（1）若，则（2）当时， 当时， 综上(3) 时，得，当时，；当时，得1）时，2）时， 3）时， 2010江苏高考数学2010江苏高考数学试卷参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1. 设集合，则实数的值为 .2. 设复数满足（其中为虚数单位），则的模为 .3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 .4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 根在棉花纤维的长度小于20mm.5. 设函数是偶函数，则实数a= .6. 平面直角坐标系中，双曲线上一点M，点M的横坐标 是3，则M到双曲线右焦点的距离是 .（第4题图）（第16题图）7. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 . 8. 函数的图像在点(ak,ak2)处的切线与轴交点的横坐标为ak+1,k为正 整数，a1=16，则a1+a3+a5= . 9. 在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线 的距离为1，则实数的取值范围是 .10. 定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P， 过点P作PP1轴于点P1，直线PP1与的图像交于点P2,则线段P1P2的 （第7题图）长为 .11. 已知函数,则满足不等式的的范围是 .12. 设实数满足，则的最大值是 .13. 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则= .14. 将边长为正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1).（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足()=0，求t的值.16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900.（1）求证：PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离.17. （本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度，仰角 ABE=，ADE=.（第17题图）（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请算出H；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125，试问为多少时，-最大？18. （本小题满分16分）（第18题图）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点（）的直线与椭圆分别交于点，其中,.（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点的坐标；（3）设,求证：直线必过轴上的一定点.（其坐标与无关）19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式（用表示）（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立，求证： 的最大值为.20.（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质.（1）设函数，其中为实数（）求证：函数具有性质；（）求函数的单调区间；（2）已知函数具有性质，给定，且，若|b Then maElse mbEnd IfPrint m 5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差7、已知 则的值为_8、在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_9、函数是常数，的部分图象如图所示，则10、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为11、已知实数，函数，若，则a的值为_12、在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_13、设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_14、设集合, ,