2019年上海市嘉定区高考数学一模试卷.doc

.2019年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1（4分）已知集合A1，2，3，4，B1，3，5，则AB 2（4分）已知3，则x 3（4分）在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）4（4分）已知向量（m，3），（2，1），若向量，则实数m为 5（4分）已知函数f（x）xa的图象过点（2，），则f（x）的定义域为 6（4分）若圆锥的侧面积为15，底面面积为9，则该圆锥的体积为 7（5分）已知（），且tan2，则sin（） 8（5分）已知函数f（x）logax和g（x）k（x2）的图象如图所示，则不等式0的解集是 9（5分）如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600m，在A处测得DAB30，在B处测得DBA105，且此时看楼顶D的仰角DBC30，已知楼底C和A、B在同一水平面上，则此楼高度CD m（精确到1m）10（5分）若甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为 11（5分）已知数列an的前n项和为Sn，且an+an+1，若数列Sn收敛于常数A，则首项a1的取值的集合为 12（5分）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|xa1|+|xa2|+|xa3|xb1|+|xb2|+|xb3|解集A是有限集，则集合A中，最多有 个元素二、选择题（本大题共有4题，满分20分,每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑.13（5分）已知xR，则“x0”是“x1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件14（5分）有一批种子共有98颗，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，如表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数1234567种子数82622241242统计每颗种子种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（）A2B3C3.5D415（5分）已知向量和的夹角为，|2，|3，则（2）（+2）（）A10B7C4D116（5分）某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数yf（x）的定义域为D，x1，x2D若当f（x1）+f（x2）0时，都有x1+x20，则函数yf（x）是D上的奇函数若当f（x1）f（x2）时，都有x1x2，则函数yf（x）是D上的奇函数下列判断正确的是（）A和都是真命题B是真命题，是假命题C和都是假命题D是假命题，是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17（14分）求下列不等式的解集：（1）|2x3|5；（2）4x42x12018（14分）九章算术中，将地面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马PABCD中，PD底面ABCD（1）已知ADCD4m，斜梁PB与底面ABCD所成角为15，求立柱PD的长（精确导0.01m）（2）求证：四面体PDBC为鳖臑19（14分）已知ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，复数z1a+bi，z2cosA+icosB（其中i是虚数单位），且z1z23i（1）求证：acosB+bcosAc，并求边长c的值；（2）判断ABC的形状，并求当b时，角A的大小20（16分）已知函数f（x）x2+mx+1，g（x）2sin（x+）（1）若函数yf（x）+2x为偶函数，求实数m的值；（2）若0，g（x）g（），且g（x）在0，上是单调函数，求实数的值；（3）若1，且当x11，2时，总有x20，使得g（x2）f（x1），求实数m的取值范围21（18分）已知数列an的前n项和为Sn，且a11，a2a（1）若数列an是等差数列，且a815，求实数a的值；（2）若数列an满足an+2an2（nN*），且S1919a10，求证：数列an是等差数列；（3）设数列an是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列an具有如下性质M：对于任意的n2（nN*），都存在mN*使得（Sman）（Sman+1）0，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a的集合2019年上海市嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1（4分）已知集合A1，2，3，4，B1，3，5，则AB1，2，3，4，5【考点】1D：并集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合【分析】进行并集的运算即可【解答】解：AB1，2，3，4，5故答案为：1，2，3，4，5【点评】考查列举法的定义，以及并集的定义及运算2（4分）已知3，则x1【考点】OM：二阶行列式的定义菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换【分析】利用二阶行列式展开式直接求解【解答】解：3，2x+13，解得x1故答案为：1【点评】本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（4分）在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为15（结果用数值表示）【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】5P：二项式定理【分析】通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x的指数为2，求出展开式中x2的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1C6rxr令r2得到展开式中x2的系数是C6215故答案为：15【点评】本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题考查计算能力4（4分）已知向量（m，3），（2，1），若向量，则实数m为6【考点】96：平行向量（共线）菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用【分析】根据即可得出m60，解出m即可【解答】解：；m60；m6故答案为：6【点评】考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系5（4分）已知函数f（x）xa的图象过点（2，），则f（x）的定义域为（0，+）【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数的定义域即可【解答】解：设幂函数为yx，幂函数yf（x）的图象经过点（2，），2，解得，故f（x），故函数的定义域是（0，+），故答案为：（0，+）【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，基本知识的考查6（4分）若圆锥的侧面积为15，底面面积为9，则该圆锥的体积为12【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为9，则其底面半径是3，底面周长为6，圆锥的侧面积为15，又 6l15，圆锥的母线为5，则圆锥的高4，所以圆锥的体积 4912故答案为：12【点评】本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力7（5分）已知（），且tan2，则sin（）【考点】GG：同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；56：三角函数的求值【分析】由题意可得sin0，再结合tana2，sin2a+cos2a1，求得sina的值【解答】解：（），且tan2，sin2cos，sin2+cos21，sin21，sin，sin（）sin，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题8（5分）已知函数f（x）logax和g（x）k（x2）的图象如图所示，则不等式0的解集是1，2）【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】根据f（x）logax和g（x）k（x2）图象可得f（x）和g（x）的正负，即可求解不等式0的解集【解答】解：由图象f（x）logax可得x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0，当x1时f（x）0由图象g（x）k（x2）可得x（，2）时，g（x）0，x（2，+）时，g（x）0，不等式0，即或；x1，2）不等式0的解集为1，2）故答案为：1，2）【点评】本题考查了函数图象求解x范围解决不等式的问题，是基础题9（5分）如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600m，在A处测得DAB30，在B处测得DBA105，且此时看楼顶D的仰角DBC30，已知楼底C和A、B在同一水平面上，则此楼高度CD212m（精确到1m）【考点】HU：解三角形菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4O：定义法；58：解三角形【分析】根据题意，利用正弦定理求得BD的长，再由直角三角形的边角关系求出CD的值【解答】解：ABD中，AB600，DAB30，DBA105，ADB45，由正弦定理得，解得BD300；在RtBCD中，DBC30，CDBD150212，即楼高CD约212米故答案为：212【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题10（5分）若甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，基本事件总数n400，两人选修的课程中恰有1门相同包含的基本事件个数m180，由此能求出两人选修的课程中恰有1门相同的概率【解答】解：甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，基本事件总数n400，两人选修的课程中恰有1门相同包含的基本事件个数m180，两人选修的课程中恰有1门相同的概率p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题11（5分）已知数列an的前n项和为Sn，且an+an+1，若数列Sn收敛于常数A，则首项a1的取值的集合为【考点】8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】对n分类讨论，利用等比数列的求和公式、极限的运算性质即可得出【解答】解：n2k（kN*）为偶数时，a1+a2，a3+a4，a2k1+a2k，Sn（k+）n2k1（kN*）为奇数时，a2+a3，a4+a5，a2k2+a2k1，Sna1+a1+a1+数列Sn收敛于常数A，a1+解得a1故答案为：【点评】本题考查了分类讨论、等比数列的求和公式、极限的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|xa1|+|xa2|+|xa3|xb1|+|xb2|+|xb3|解集A是有限集，则集合A中，最多有3个元素【考点】1A：集合中元素个数的最值菁优网版权所有【专题】15：综合题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；44：数形结合法【分析】由题意，可将关于x的方程|xa1|+|xa2|+|xa3|xb1|+|xb2|+|xb3|解的个数问题转化为f（x）|xa1|+|xa2|+|xa3|，g（x）|xb1|+|xb2|+|xb3|两个函数图象交点个数问题，将两个函数变为分段函数，由于两个函数都是折线，分别讨论折线端点处的函数值，作出符合题意的图象，即可得出图象交点个数，从而得出方程解的个数【解答】解：令f（x）|xa1|+|xa2|+|xa3|，g（x）|xb1|+|xb2|+|xb3|，将关于x的方程|xa1|+|xa2|+|xa3|xb1|+|xb2|+|xb3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题不妨令a1a2a3，b1b2b3，由于f（x）|xa1|+|xa2|+|xa3|，g（x）|xb1|+|xb2|+|xb3|，考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段拆线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等当a1，a2，a3的和与b1，b2，b3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3b1+b2+b3，a1a2a3b1b2b3，两个函数图象射线部分端点左右位置不同，即若左边f（x）|xa1|+|xa2|+|xa3|的射线端点在左，右边射线端点一定在右，反之亦然不妨认为左边f（x）|xa1|+|xa2|+|xa3|的射线端点在左，右边射线端点一定在右，且射线互相平行，中间线段也对应平行，如图A点在左，F点在右，此时若B，C点在线段AD的上方，则只有一个交点；若BC线段位置在如图位置，则有三个交点，探究知，当a1，a2，a3的值依次是1、4、5，b1，b2，b3的值分别是2、3、6，可得到如图的图象，所以此两函数在本题条件下，最多有三个元素：故两函数图象最多有三个交点，即方程的解集是有限集时，最多有三个元素，故答案为：3【点评】本题考查函数的综合运用，属于函数中较难理解的题，用到数形结合的思想，转化化归的思想，属于能开拓思维训练能力的好题，也是易错题，本题解答中要用到特值法，因为这是一个存在的问题，有的问题，可举出一些特殊的例子以说明结论的存在性，学习时多思考，想明白各种情况，才能最大挖掘出本题的价值二、选择题（本大题共有4题，满分20分,每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑.13（5分）已知xR，则“x0”是“x1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答】解：x0推不出x1，x1x0，“x0”是“x1”的必要非充分条件故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键14（5分）有一批种子共有98颗，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，如表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数1234567种子数82622241242统计每颗种子种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（）A2B3C3.5D4【考点】BB：众数、中位数、平均数菁优网版权所有【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】根据中位数的概念可求得【解答】解：将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列，可知正中间两颗种子的发芽天数都是3，所以中位数为3，故选：B【点评】本题考查了中位数的概念属基础题15（5分）已知向量和的夹角为，|2，|3，则（2）（+2）（）A10B7C4D1【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用【分析】首先把原式展开，再利用数量积求值【解答】解：（2）（）22818+323cos1，故选：D【点评】此题考查了数量积计算问题，属容易题16（5分）某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数yf（x）的定义域为D，x1，x2D若当f（x1）+f（x2）0时，都有x1+x20，则函数yf（x）是D上的奇函数若当f（x1）f（x2）时，都有x1x2，则函数yf（x）是D上的奇函数下列判断正确的是（）A和都是真命题B是真命题，是假命题C和都是假命题D是假命题，是真命题【考点】2K：命题的真假判断与应用菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用【分析】由奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑f（x）f（x），即可判断【解答】解：函数yf（x）的定义域为D，x1，x2D若当f（x1）+f（x2）0时，都有x1+x20，可得D关于原点对称，由奇函数的定义可得函数yf（x）是D上的奇函数，故正确；若当f（x1）f（x2）时，都有x1x2，则函数yf（x）是D上的增函数，奇偶性不确定，故错误故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查理解能力，属于基础题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17（14分）求下列不等式的解集：（1）|2x3|5；（2）4x42x120【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】11：计算题；5T：不等式【分析】（1）根据|f（x）|a（a0）af（x）a解得；（2）把2x看成整体，先解一元二次不等式，再解指数不等式可得【解答】解：（1）|2x3|552x351x4，所以不等式的解集为x|1x4；（2）原不等式可化为：（2x6）（2x+2）0，2x6，xlog26，所以原不等式的解集为x|xlog26【点评】本题考查了绝对值不等式的解法属中档题18（14分）九章算术中，将地面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马PABCD中，PD底面ABCD（1）已知ADCD4m，斜梁PB与底面ABCD所成角为15，求立柱PD的长（精确导0.01m）（2）求证：四面体PDBC为鳖臑【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】14：证明题；23：新定义；31：数形结合；49：综合法【分析】（1）推导出侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB，从而PDB是侧棱PB与底面ABCD所成角，PBD15，由此能求出立柱PD的长（2）底面ABCD是长方形，从而BCD是直角三角形，推导出PDDC，PDDB，PDBC，从而PDC，PDB是直角三角形，由BC平面PDC，得PBC是直角三角形，由此能证明四面体PDBC为鳖臑【解答】解：（1）侧棱PD底面ABCD，侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB，PDB是侧棱PB与底面ABCD所成角，PBD15，在PBD中，PDB90，DB4（m），由tanPDB，得tan15，解得PD1.52（m），立柱PD的长约1.52m（2）由题意知底面ABCD是长方形，BCD是直角三角形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，PDDB，PDBC，PDC，PDB是直角三角形，BCDC，BCPD，PDDCD，BC平面PDC，PC平面PDC，BCPC，PBC是直角三角形，四面体PDBC为鳖臑【点评】本题考查立柱长的求法，考查四面体为鳖臑的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题19（14分）已知ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，复数z1a+bi，z2cosA+icosB（其中i是虚数单位），且z1z23i（1）求证：acosB+bcosAc，并求边长c的值；（2）判断ABC的形状，并求当b时，角A的大小【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题；5N：数系的扩充和复数【分析】（1）利用余弦定理和复数实部虚部对应，不难证明；（2）利用第一步的实部为0，结合正弦定理，可得等腰，进而求得A【解答】解：（1）证明：acosB+bcosAc，z1z2acosAbcosB+（acosB+bcosA）i3i，acosAbcosB0，（*）acosB+bcosA3，c3；（2）由（*）式得，acosAbcosB，由正弦定理得，得，sin2Asin2B，得，AB，或A+BABC为等腰三角形或直角三角形，若为等腰三角形，当b时，cosA，A若为直角三角形，当b时，cosA，Aarccos【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，余弦定理，正弦定理等，难度适中20（16分）已知函数f（x）x2+mx+1，g（x）2sin（x+）（1）若函数yf（x）+2x为偶函数，求实数m的值；（2）若0，g（x）g（），且g（x）在0，上是单调函数，求实数的值；（3）若1，且当x11，2时，总有x20，使得g（x2）f（x1），求实数m的取值范围【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性菁优网版权所有【专题】11：计算题；32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】（1）根据偶函数图象关于y轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m的值；（2）根据g（x）g（），可知x时，g（x）取得最大值，且g（x）在0，上是单调函数，即，即可求解实数的值（3）求解f（x）的值域M和g（x）的值域N，可得MN，即可求解实数m的取值范围【解答】解：（1）函数yf（x）+2xx2+（m+2）x+1，为偶函数，可得m+20，可得m2即实数m的值为2；（2）由g（x）g（），可知x时，g（x）取得最大值，即+2k，kZ可得：且g（x）在0，上是单调函数，即T可得：2当k0时，可得，故得实数的值为（3）由1，可得g（x）2sin（x+）x0，x+，那么g（x）的值域N1，2当x11，2时，总有x20，使得g（x2）f（x1）转化为函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集；即：当x1，2时，1f（x）2函数f（x）x2+mx+1，其对称轴x，开口向下，当1时，即m2，可得f（x）minf（2）2m3；f（x）maxf（1）m；可得解：1m2当12时，即2m4可得f（x）maxf（）；f（x）min2m3或m；此时无解当2时，即m4，可得f（x）minf（1）m；f（x）maxf（2）2m3；此时无解综上可得实数m的取值范围为1，2【点评】本题主要考查三角函数的化简，图象即性质的应用，二次函数的最值问题；21（18分）已知数列an的前n项和为Sn，且a11，a2a（1）若数列an是等差数列，且a815，求实数a的值；（2）若数列an满