2020届楚雄彝族自治州高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

2020届云南省楚雄彝族自治州高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先化简集合，再求交集，即可得出结果.【详解】因为或，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.2已知复数，则（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出共轭复数，以及复数的模，再由复数的除法，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记共轭复数的概念，复数模的计算公式，以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型.3某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有，个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这个销售点中抽取一个容量为的样本.按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多（ ）A个B个C个D个【答案】A【解析】根据题意，先确定抽样比，再由题中数据，即可得出结果.【详解】由题意，抽样比为：；因此丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多.故选：A.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，熟记分层抽样的概念即可，属于基础题型.4已知向量，则“”是“与共线”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先由向量共线，得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】当与共线时，即，由可以推出与共线，但与共线不能推出，因此，“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，以及充分不必要条件的判定，熟记向量共线的坐标表示，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.5甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（ ）A成本最大的企业是丙企业B费用支出最高的企业是丙企业C支付工资最少的企业是乙企业D材料成本最高的企业是丙企业【答案】C【解析】直接根据图中数据计算对应结果即可求出结论【详解】解：甲企业支付工资为：；乙企业支付工资为：；丙企业支付工资为：；故甲企业支付的工资最少故选：【点睛】本题主要考查根据图表分析解决问题，是对基础知识的考查，关键是理解题中数据，属于基础题6在中，角，所对的边分别为，.若，则外接圆的面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据正弦定理，再由，求出；再根据余弦定理，求出，进而可求出外接圆半径，得出外接圆面积.【详解】因为，又，即，所以，故.外接圆的半径为，所以外接圆的面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，熟记正弦定理即可，属于常考题型.7执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果.【详解】输入，第一步，进入循环；第二步，进入循环；第三步，进入循环；第四步，结束循环，输出结果.故选：D.【点睛】本题主要考查求循环程序框图的输出值，逐步执行框图，即可求解，属于基础题型.8设函数，则（ ）A在上单调递增，其图象关于直线对称B在上单调递增，其图象关于直线对称C在上单调递减，其图象关于直线对称D在上单调递减，其图象关于直线对称【答案】B【解析】根据题意，先得到，再由余弦函数的单调区间，以及余弦函数的对称轴，即可求出的单调区间，以及对称轴，进而可得出结果.【详解】因为，由得，由得，即的单调递增区间为；单调递减区间为；所以在上单调递增；由得；即函数的对称轴为：；因此其图象关于直线对称.故选：B.【点睛】本题主要考查判断三角函数的单调性与对称性，熟记余弦函数的单调性与对称性即可，属于常考题型.9在同一直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（ ）ABCD【答案】C【解析】先由题意，得到，直线过点，进而可得出结果.【详解】由题意，可得：，直线显然过点，排除ABD选项；故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置的判定，会根据圆的方程判断参数的范围，以及会求直线与坐标轴的交点即可，属于基础题型.10已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为，所以为上的偶函数，因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为，所以，且，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11将一个实心球削成一个正三棱锥，若该三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则此球表面积的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】先由题意，得到球的半径不能小于包含在其内部的三棱锥底面三角形的外接圆的半径，再求出正三棱锥的高，进而可得出当球心为正三棱锥底面三角形的外接圆圆心时，球的半径最小，从而可求出结果.【详解】由题可知，球的半径不能小于包含在其内部的三棱锥底面三角形的外接圆的半径.又三棱锥顶点到底面三角形的重心的距离为，为使此球的表面积最小，只需球的半径最小，因此，当球心为正三棱锥底面三角形的外接圆圆心时，球的半径最小，为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式，以及几何体的结构特征即可，属于常考题型.12已知是函数的导数，且满足对恒成立，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】先令，求导，根据题意，得到在区间上单调递增，再由题意，得到，进而可得出结果.【详解】令，则，因为对恒成立，所以对恒成立，在区间上单调递增；又，是锐角三角形的两个内角，因此，即，.故选：C.【点睛】本题考查由导数的方法研究函数单调性，以及由函数单调性比较大小，解决此类问题，通常需要构造函数，结合题中条件，用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型.二、填空题13圆锥的母线长是，侧面积是，则该圆锥的高为_.【答案】【解析】先设母线为，底面半径为，高为，根据题意，求出，进而可求出圆锥的高.【详解】设母线为，底面半径为，高为，由题意，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查圆锥的相关计算，熟记圆锥的侧面积公式，以及圆锥的结构特征即可，属于基础题型.14已知角的始边与轴正半轴重合且终边过点，则的值为_.【答案】【解析】先由题意，求出，再根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，化简所求式子，即可得出结果.【详解】因为角的始边与轴正半轴重合且终边过点，所以，因此.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.15海伦公式亦叫海伦秦九昭公式.相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现的海伦的著作测地术中，所以被称为海伦公式.它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中，分别是三角形的三边长，.已知一根长为的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为_.【答案】【解析】先根据题意，得到，设，则，根据，由基本不等式，即可求出结果.【详解】由海伦公式可知，不妨设，则，则.当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.16设，是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】根据椭圆的特征，分类讨论椭圆焦点在轴上，椭圆焦点在轴上两种情况，根据题中条件，即可求出结果.【详解】若椭圆焦点在轴上，则，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则，解得；当椭圆焦点在轴上时，同上则需，解得.综上，.故答案为：.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型三、解答题17如图.四棱柱的底面是直角梯形，四边形和均为正方形.（1）证明；平面平面ABCD；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明平面ABCD，再利用面面垂直判定定理证明（2）由（1）知，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可【详解】（1）证明：因为四边形和均为正方形，所以，. 又，所以平面ABCD. 因为平面，所以平面平面ABCD. （2）（法）由（1）知，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，. 设为平面的法向量，则令，则，所以.又因为平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量.所以. 因为二面角是锐角.所以二面角的余弦值为. （法二）过B作于H，连接. 由（1）知平面ABCD，则，而，所以平面 所以从而为二面角的平面角.由等面积法，可得，即.所以， 故.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用18为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据分成，组，得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，分别为样本平均和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若一个零件的尺寸是，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前组中抽出个零件，标上记号，并从这个零件中再抽取个，求再次抽取的个零件中恰有个尺寸小于的概率.【答案】（1）该零件属于“不合格”的零件；（2）.【解析】（1）先由频率分布直方图中的数据，求出样本平均值，得到，根据题意，即可得出结果；（2）根据分层抽样的方法得到第一组抽个，记为；第二组抽个，记为，；第三组抽个，记为，用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，进而可得出结果.【详解】（1）由频率分布直方图可得，该批零件的样本平均值为：；则，所以该零件属于“不合格”的零件；（2）按照分层抽样抽个零件时，第一组抽个，记为；第二组抽个，记为，；第三组抽个，记为，从这个零件中抽取个零件共有种情况，分别为，.其中再抽取的个零件中恰有个尺寸小于的有种，分别为，.根据古典概型概率公式，可得.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，以及分层抽样与古典概型的问题，会根据频率分布直方图求样本平均值，熟记分层抽样的概念，以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.19已知等比数列的公比，其前项和为，.若，成等差数列.（1）求的值；（2）若数列单调递增，且首项为，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）先由题意，根据等比数列的求和公式，得到，再由题中条件，列出方程求解，即可得出结果；（2）由（1）的结果，得到，根据错位相减法即可得出结果.【详解】（1）由条件易得，所以.所以，所以，解得；（2）由题意可知，所以，故.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，以及数列的求和，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.20已知抛物线和的焦点分别为，且与相交于，两点，为坐标原点.（1）证明：.（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，是否存在直线，使得以为直径的圆过点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）存在；【解析】（1）先由题意，得到，求出与的坐标，计算向数量积，即可得出结果；（2）先设过点的直线为，分别联立直线与两抛物线的方程，得到，根据以为直径的圆过点，得到，进而看得出结果.【详解】（1）证明：联立解得所以点，；（2）解：设过点的直线为，联立得，求得，联立得，所以，.若以为直径的圆过点，则，解得，即直线的方程为.所以存在直线，使得以为直径的圆过点.【点睛】本题主要考查抛物线中直线与直线垂直的证明，以及抛物线中存在某直线满足条件的问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型.21已知函数.（1）讨论的单调性；（2）已知函数在时总有成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）先对函数求导，得到，分别讨论，四种情况，即可求出结果；（2）先构造函数，分别讨论，两种情况，用导数的方法研究函数单调性，即可根据题意求出参数范围.【详解】（1）因为，所以.（）若，恒成立，所以在上单调递增.（）若，当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.（）若，恒成立，所以在上单调递增.（）若，当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增.综上，当或时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）构造函数，当时，由，得，.当时，因为，所以，所以在上恒成立，故在上单调递增.，解得，又，所以.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的范围，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.22在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程；（2）已知直线与圆交于，两点，若，求直线的直角坐标方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程，根据题意，得到，进而可求出结果.【详解】（1）由圆的参数方程（为参数），得圆的普通方程为，得，圆的极坐标方程为；（2）将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程，得，又，得，所以，所以或.所以直线的直角坐标方程