数学人教版八年级上册11.2 与三角形有关的角.doc

11.2 与三角形有关的角大城县第四中学刘晓霞一、教材分析：三角形内角和定理是本单元的重要内容，也是平面几何中基本的运算公式在今后学习其他平面几何知识时，本定理是一个必要的知识储备，同时也是学生解决有关角度计算问题的有力工具，在初中平面几何中比较常用三角形的内角与外角的关系定理是在内角和定理的基础上引申出来的，在初中数学知识体系中，也是比较常用的一个知识点，经常用来解决图形中求角度的问题，另外，在后面的四边形、圆的证明题中也比较常用 在学习本节的定理时，由于记忆和理解三角形内角和定理都不难，关键在于能否利用这个定理培养学生的分析问题和解决问题的能力由于该定理的形成概念过程可以通过多种添加辅助线的方法获得，所以探究定理的过程能够培养学生思维的灵活性而三角形外角与内角的关系定理和三角形的内角和定理联系比较紧密，教师应在讲完三角形的外角定义后，充分引导学生思考三角形的内角和定理，尽量让学生自己发现：“三角形的外角等于与它不相邻的内角的和”这个结论，能够使学生掌握起来更加容易，培养学生思维的灵活性有了这个定理作基础，“三角形的外角大于任一个与它不相邻的内角”就非常容易得出了另外，教师在教学中要注意：学生可能不会说出“与它不相邻”这个关键词，教师最好不要直接予以强调，可让学生自己组织语言，若学生总结有困难，教师再作详细的讲解二、学情分析 学生在学习本节内容之前，仅在学习平行线的性质和证明时，涉及到了初步的逻辑证明学生的数学语言和数学思维还不是很成熟，因此在证明定理时，会遇到一定的困难尤其是学习三角形内角和定理时，有的学习者对这个定理的推导过程认可程度不够，思想可能还停留在折纸或剪拼上，还有的学生会明白这个推导的过程，但不能用数学语言进行叙述，因此，教师应着重解决这个问题另外，在应用定理时，所涉及到的题型也会比较丰富，较之平行线部分为多，难度上也有所加深，学生的解题思维比较差这个弱点，在这时也可能体现出来，教师在教学中应多注意观察学生的反馈情况，有针对性的解决三、教学目标 知识技能：探索并证明三角形的内角和定理，掌握三角形的内角与外角之间的数量关系 数学思考：通过观察、剪拼、推理等数学活动，探究三角形的内角和定理，三角形内角与外角的关系，发展推理能力和语言表达能力通过探索三角形的内角和定理，让学生逐渐从实验几何过渡到论证几何 问题解决：尝试从作图和论证角度寻求解决问题的方法，学会与他人交流，并能有效的解决问题 情感态度：通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满探索以及数学结论的确定性，提高学生学习热情，感受数学思考过程的条理性四、重难点分析 教学重点：三角形的内角和定理；三角形的内角与外角的关系 教学难点：三角形内角和定理证明的理解；三角形内角和定理、内角与外角关系的应用 五、教学过程（一）创设情境，引入新课 同学们，我们已经认识了三角形，你知道它有几个角吗？这几个角有什么数量关系呢？你是怎么知道的？(在小学里是用量角器量出三角形三个内角的具体度数后，得到它们的和是180) 大家知道，通过观察、猜想和实验得到的命题，都需要严格的推理证明其正确后，才能作为定理来用这节课我们试着用比较严格的推理来说明我们熟悉的一个命题“三角形的内角和等于180” （二）合作交流，探索新知 1探究三角形内角和定理 (1)想一想，折一折 一个三角形纸片能否折成长方形呢？（请一个学生将所拼结果展示在黑板上，教师可用折叠法图片展示如下示意图） 图1 图2 问题1：图形2中1是原三角形中 ； （答案：B） 图形中2是原三角形中 ； （答案：A） 图形中3是原三角形中 （答案：C） 问题2：这个三角形三个内角有什么样的关系？(这三个内角的和为180) (2)剪一剪，拼一拼 将三角形硬纸片的两个角剪下，使它们的顶点与另一个角的顶点重合，将它们拼凑在一起观察三角形的内角和（利用动画：三角形的内角和）让学生进行自由猜想，选择自己喜欢的方法，添加辅助线，形成定理的证明思路 (3)尝试证明 小组讨论每个同学的想法，寻求一种比较简洁的辅助线添加方法，然后进行逻辑证明（根据学生的能力提出不同的难度，对于一些好学生，可以要求两种以上的证明方法,其他学生完成以下证明） 图3 图4 问题1：如图3，B和C分别拼在了A的左右，这三个角的和等于多少？ 问题2：B和C各有一条边落在直线l上，直线l和ABC的边BC有什么关系？由此图你能说明三角形的内角和为什么等于180吗？ 如图3，过点A作BC的平行线l， lBC， 1=4.（两直线平行，内错角相等） 2=5.（两直线平行，内错角相等） 3+4+5=180,（1平角=180） 1+2+3=180.（等量代换） 三角形内角和等于180 问题3：仿照图3的方法，你能由图4说明三角形内角和为什么等于180吗？ 问题4：你还有其它的剪拼方法吗？ 2三角形的外角，从词义上理解，就应该是与三角形有关的在三角形外面的角大家任意画一个三角形，请你尝试在三角形的外面画出一个你认为是外角的角 即使有的学生画出的所谓外角是错误的，教师对学生的作图也要充分肯定，引导学生通过延长三角形的边得出外角，并给出外角的定义 分析定义的本质：让学生将一个三角形的所有外角都画出来，并观察一个三角形有几个外角，以及外角的构成的 结论：外角有六个，并且两两相等；每个外角是由三角形的一条边和另一边的延长线组成的 3探索三角形外角的性质 从外角和内角的关系看，同学们能够得出什么好的结论？ 组织讨论，可能得到如下结论： 外角比内角大；内角在三角形的内部，外角在三角形的外部； 从学生的答案中寻找合理的因素，进行必要的引导，其中有正确的，也有不全面的，让学生们进行观察和讨论，尤其是针对外角比内角大的结论进行充分的讨论，比如举出直角三角形或钝角三角形对以上结论进行颠覆，然后再讨论如何才能把握得当，进而得出：“每个三角形的外角都大于与它不相邻的内角”，或得出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”；随着其中一个的得出，另一个就能马上得出 在学生理解了上述两个结论后，引导学生对这两个结论进行理论说明，利用三角形的内角和定理以及平角的定义进行推理证明，可以让学生先口头叙述，然后写出来，对于大部分学生应不成问题，教师可以对少数学生进行必要的指导 4视角问题 教师给出视角的定义，可举出实际中的例子，帮助学生理解视角的定义 （三）应用新知，体验成功 1典型例题：利用媒体资源中的典型例题进行教学 2练一练 (1)满足条件A=B=C的ABC是三角形， (2)如图5，在ABC中，B、C的平分线交于点O，试证明：BOC=90+A. 图5 （四）课堂小结，体验收获 通过本节学习你有哪些收获？教师可以进行引导和提示，让学生自主进行总结，并且教师应给予肯定 1三角形的内角和定理及其应用 2关于视角的定义 3用剪拼和折叠的方法推导数学定理 4三角形外角的定义及个数 5三角形外角与不相邻内角的大小关系 6三角形的外角与两不相邻内角的数量关系 （五）拓展延伸，布置作业 1将“三角形三个内角和等于180”这个一般结论运用到特殊三角形中又能发现什么结论呢？ 2教师可指导学生阅读资源库中的拓展资源进行学习，拓展学生的知识面 3如图6：从A处观测C处时仰角CAD30，从B处观测C处时仰角CBD45，从C处观测A，B两处时视角ACB是多少？ 4如图7：一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中A150，BD40求C的度数 图6 图7五、教学评价： (一)选择题1已知ABC中，A=20，B=C，那么ABC是（ ）（A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）等边三角形.2三角形的一个内角等于其余两个内角的和，则这个三角形是 （ ）（A）锐角三角形. （B）等腰三角形. （C）直角三角形. （D）钝角三角形.3如图，1+2+3+4的值为（ ）（A）180. （B）450. （C）270. （D）360. （第3题） （第4题） (二)填空题4如图，110，70，则_度. 5等腰三角形中，一个角为80，则这个等腰三角形的顶角的度数为_.(三)解答题6如图，1=2=30，3=4，A=80，求5和6的度数等腰三角形中，一个角为80，则这个等腰三角形的顶角的度数为_. （第6题） （第7题） 7如图，ABCD，A43，C42，求M的度数.8如图，在ABC中，A=70，B=50，CD平分ACB，求ACD的度数 （第8题） （第10题）9已知ABC三个内角的度数之比为2：3：4，求与这三个内角相邻的三个外角的度数之比10如图，已知在ABC中，ABAC，A40，ABC的平分线BD交AC于D.求：ADB和CDB的度数.答案：(一)选择题1A，三角形三个内角都小于直角. 2C，其中有一个内角为直角. 3A提示：12BDC(二)填空题440.提示：ABC+ 520或80.提示：考虑当80为底角或顶角两种情况.(三)解答题6 5=110，6=130，5=1+A，6=5+4，而4可通过三角形ABC