五个海盗如何分100个金币呢.doc

两篇，原故事与改编版原故事：五个海盗抢到了100个金币，每一颗都一样的大小和价值连城。 他们决定这么分： 1抽签决定自己的号码 - 1、2、3、4、5 2首先，由1号提出分配方案，然后大家5人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。 3如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。 4以次类推条件：每个海盗都是很聪明的人，都能很理智的判断得失，从而做出选择。 问题：第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己免于下海以及自己获得最多的金币呢？ -此题公认的标准答案是： 1号海盗分给3号1枚金币，4号或5号2枚金币，自己则独得97枚金币，即分配方案为（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。现来看如下各人的理性分析： 首先从5号海盗开始，因为他是最安全的，没有被扔下大海的风险，因此他的策略也最为简单，即最好前面的人全都死光光，那么他就可以独得这100枚金币了。 接下来看4号，他的生存机会完全取决于前面还有人存活着，因为如果1号到3号的海盗全都喂了鲨鱼，那么在只剩4号与5号的情况下，不管4号提出怎样的分配方案，5号一定都会投反对票来让4号去喂鲨鱼，以独吞全部的金币。哪怕4号为了保命而讨好5号，提出（0，100）这样的方案让5号独占金币，但是5号还有可能觉得留着4号有危险，而投票反对以让其喂鲨鱼。因此理性的4号是不应该冒这样的风险，把存活的希望寄托在5号的随机选择上的，他惟有支持3号才能绝对保证自身的性命。 再来看3号，他经过上述的逻辑推理之后，就会提出（100，0，0）这样的分配方案，因为他知道4号哪怕一无所获，也还是会无条件的支持他而投赞成票的，那么再加上自己的1票就可以使他稳获这100金币了。 但是，2号也经过推理得知了3号的分配方案，那么他就会提出（98，0，1，1）的方案。因为这个方案相对于3号的分配方案，4号和5号至少可以获得1枚金币，理性的4号和5号自然会觉得此方案对他们来说更有利而支持2号，不希望2号出局而由3号来进行分配。这样，2号就可以屁颠屁颠的拿走98枚金币了。 不幸的是，1号海盗更不是省油的灯，经过一番推理之后也洞悉了2号的分配方案。他将采取的策略是放弃2号，而给3号1枚金币，同时给4号或5号2枚金币，即提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的分配方案。由于1号的分配方案对于3号与4号或5号来说，相比2号的方案可以获得更多的利益，那么他们将会投票支持1号，再加上1号自身的1票，97枚金币就可轻松落入1号的腰包了。 看到这里，读者一定会问，这个海盗分金币的题目与中国说“不”有何关联呢？好，下面就切入正题。 海盗分金币模型的最终答案可能会出乎很多人的意料，因为从直觉来看，此模型中如此严酷的规定，若谁抽到1号真是天底下最不幸的人了。因为作为第一个提出方案的人，其存活的机会真是微乎其微，即使他一个金币也不要，都无私的分给其他4个人，那4个人也很可能因为觉得他的分配不公而反对他的方案，那他也就只有死路一条了。可是看起来处境最凶险的1号，却凭借着其超强的智慧和先发的优势，不但消除了喂鲨鱼的危险，而且最终还使自己的收益最大化，这不正像是当今国际社会国与国之间在政治、经济等领域相互博弈过程中，先发制人的智慧和优势的凸现吗？而5号表面上看起来是最安全的，可以坐山观虎斗，先让前面的海盗拼个你死我活而坐收渔翁之利，可实际上最后却不得不看别人的脸色行事，勉强分得一杯小羹，这不正是本想以静制动，后发制人而反得劣势的写照吗？改编版：5个海盗抢得100枚金币后，讨论如何进行分配。他们商定的分配原则是：（1）抽签确定各人的分配顺序号码（1，2，3，4，5）；（2）由抽到1号签的海盗提出分配方案，然后5人进行表决，如果方案得到超过半数（注意，是超过半数）的人同意，就按照他的方案进行分配，否则就将1号扔进大海喂鲨鱼；（3）如果1号被扔进大海，则由2号提出分配方案，然后由剩余的4人进行表决，当超过半数的人同意时，才会按照他的提案进行分配，否则也将被扔入大海；依此类推。 （4）各人同不同意分配方案要写在纸上提交，等都提交后，再打开公示。不能串通。 （5）这4人都以保命为第一位。 加入非理性人因素： 5个海盗中有4个是理性人，这4人知道海盗中有一个非理性人，但不知道是谁。4个理性人都知道非理性人的分配原则：当理性人的提案中，非理性人得到的金币数量大于或等于100人数（死了的人不算）时，非理性人才会同意。由非理性人提出分配方案时，其会提出按人数平均分配金币；只有当其是4号时，非理性人会给5号100金币。 （指相对的平均分配，比如3人分100金币时，非理性人会提出34、33、33的分配方案，自己多得1个金币） 问题：如果你1号，且你是理性人，你会怎么分配？ 答案： 思路： 1：1号至少可以拿到20个金币，因为他可以提出（20，20，20，20，20）的分配方案来冒充非理性人。 2：当1号的分配方案所收买的某人的金币数，大于1号死去后，后面的方配方案所给金币的期望值时，其就会同意这提案。因此，1号的提案要考虑到2号的提案；而2号的提案又要考虑到3号的提案；而3号的提案又要考虑到4号的提案。所以先要从只有二人时开始分析。 3：此题要研究理性人心理的期望值，就需要站在理性人的角度思考。所以在逆推时，要假定有可能被收买的人是理性人，这样才能算出理性人心理的期望值。 二人时： 如果4号是理性人，分配方案是（50，50） 如果5号是理性人，分配方案是（0，100） 三人时，有两种情况： 3号是非理性人 3号的分配方案是（34，33，33） 注意：这里是分析理性人的想法，所以要假定4、5号是理性人，那么，站在4、5号的角度想，3号是非理性人的概率是1/2，而不是1/3。 那么，4号的期望是33/2；5号的期望是33/2 3号有1/2的概率是理性人 如果4号是理性人，在4号看来，3号死后4号的收益是50 如果5号是理性人，在5号看来，3号死后5号的收益是100 所以，3号的分配方案是（49，51，0） 4号的期望是51/2；5号的期望是0 以上两种情况的期望合计：4号的期望42；5号的期望33/2 四人时，有两种情况： 2号有1/3的概率是非理性人 2号的分配方案是（25，25，25，25） 3、4、5号的期望都是25/3 （再次说明：比如站在理性人3号的角度想，1号死后，2号是非理性人的概率是1/3，而不是1/4） 2号有2/3的概率是理性人 分析：3号50可收买；4号43可收买；5号17可收买。应该收买4、5号，考虑到5号有可能是非理性人，所以应给他25个金币。 2号的分配方案是（32，0，43，25） 3号的期望是0 4号的期望是43*2/3=86/3 5号的期望是25*2/3=50/3 以上两种情况的期望合计：3号的期望25/3；4号的期望37；5号的期望25 五人时： 分析：2号33可收买；3号9可收买；4号38可收买；5号26可收买。1号应该收买3、5号。考虑到3号有可能是非理性人，所以应给他20个金币。 答案是：（54，0，20，0，26） 思考题：其他条件不变，总人数是6、7、8人时，最优策略分别是什么？五人时，有两种情况： 1号有1/4的概率是非理性人 1号的分配方案是（20，20，20，20，20） 2-5号期望都是5 1号有3/4的概率是理性人 1号的分配方案是（54，0，20，0，26） 2-5号的期望分别是：0，15，0，19.5 以上两种情况的期望合计：2-5号：5，20，5，24.5 六人时，有两种情况： 第1号有1/5的概率是非理性人 第1号的分配方案是（20，16，16，16，16，16） 第2-6号期望都是3.2 第1号有4/5的概率是理性人 第1号的分配方案是（45，0，17，21，17，0） 第2-6号的期望分别是：0，13.6，16.8，13.6，0 以上两种情况的期望合计：2-6号：3.2，16.8，20，16.8，3.2 七人时，有两种情况： 第1号有1/6的概率是非理性人 第1号的分配方案是（16，14，14，14，14，14，14） 第2-6号期望都是7/3 第1号有5/6的概率是理性人 第一种方案：收买3个人 第1号的分配方案是（53，0，15，17，0，0，15）或（53，0，15，0，0，17，15） 第二种方案：收买4个人，其中必有3个人同意 （58，0，4，17，0，17，4） 第二种方案更优 第2-7号的期望分别是：0，10/3，85/6，0，85/6，10/3 以上两种情况的期望合计：2-7号：7/3，17/3，16.5，7/3，16.5，17/3 收买2-7号所需金币数分别为：3，6，17，3，17，6 八人时，有两种情况： 第1号有1/7的概率是非理性人 第1号的分配方案是（16，12，12，12，12，12，12，12） 第2-8号期望都是12/7 第1号有6/7的概率是理性人 第一种方案：收买4个人 （48，0，13，0，13，13，13，0） 第二种方案：收买5个人，其中必有4人同意 （65，0，3，6，17，3，0，6）或（65，0，3，6，0，3，17，6） 第二种方案更优 第2号的期望是：0 第3号的期望是：3*6/7=18/7 第4号的期望是：6*6/7=36/7 第5号的期望是：17*6/7*1/2=51/7 第6号的期望是：3*6/7=18/7 第7号的期望是：17*6/7*1/2=51/7 第8号的期望是：6*6/7=36/7 以上两种情况的期望合计：2-8号：12/7，30/7，48/7，9，30/7，9，48/7 收买2-8号所需金币数分别为：2，5，7，10，5，10，7 九人时，有两种情况： 第1号有1/8的概率是非理性人 第1号的分配方案是（12，11，11，11，11，11，11，11，11） 第2-9号期望都是11/8 第1号有7/8的概率是理性人 第1号的分配方案是：（74，0，2，5，7，0，5，0，7） （收买5人，其中必有4人同意） 第2-9号的期望分别是：0，14/8，35/8，49/8，0，35/8，0，49/8 以上两种情况的期望合计：2-9号：1.375，3.125，5.75，7.5，1.375，5.75，1.375，7.5 十人时： 1号理性人的分配方案是：收买6个人，其中必有5个人同意。 （78，0，2，4，6，0，2，6，2，0） 小计：二人时（50，50）三人时（49，51，0）四人时（32，0，43，25）五人时（54，0，20，0，26）六人时（45，0，17，21，17，0）七人时（58，0，4，17，0，17，4