2013年北京市丰台区高三一模数学文科试卷及答案.pdf

20132013 年北京市丰台区高三一模年北京市丰台区高三一模试卷试卷 数学 文科 数学 文科 一 选择题 1 复数 z 1i i 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 若集合 A sin y yx xR B 2 1 0 1 2 则集合 RA B 等于 A 2 1 B 2 1 0 1 2 C 2 1 2 D 2 2 3 设 n S为等比数列 n a的前n项和 34 20aa 则 3 1 S a A 2 B 3 C 4 D 5 4 执行右边的程序框图所得的结果是 A 3 B 4 C 5 D 6 5 已知椭圆 22 2 1 2 xy a 的一个焦点与抛物线 2 8yx 的焦点重 合 则该椭圆的离心率是 A 3 2 B 2 3 3 C 2 2 D 6 3 6 已知命题p 0 32 xx x 命题q 0 32xxx 则下列命题为真命题的是 A pq B pq C pq D pq 7 某四面体三视图如图所示 则该四面体的四个面中 直角三角 形的面积和是 A 2 B 4 C 25 D 42 5 结束 否 是 0 1bk 2 3 k ak 1kk ba 1 b a 开始 输出 k 8 如果函数 y f x 图像上任意一点的坐标 x y 都满足方程 lg lglgxyxy 那么正确的选项 是 A y f x 是区间 0 上的减函数 且 x y4 B y f x 是区间 1 上的增函数 且 x y4 C y f x 是区间 1 上的减函数 且 x y4 D y f x 是区间 1 上的减函数 且 x y4 二 填空题 9 若 3 cos tan0 5 xx 若方程 2 3 4 f xa 有且仅有两个不等实根 且较大实 根大于 2 则实数a的取值范围是 三 解答题 15 已知函数 22 sincos 2cos f xxxx 求 f x的最小正周期和单调递增区间 求函数 f x在 3 44 上的值域 16 如图 四棱锥 P ABCD 中 BC AD BC 1 AD 3 AC CD 且平面 PCD 平面 ABCD 求证 AC PD 在线段 PA 上 是否存在点 E 使 BE 平面 PCD 若存在 求 PE PA 的值 若不存在 请说明理由 E B A D C P 17 在一次抽奖活动中 有 a b c d e f 共 6 人获得抽奖的机会 抽奖规则如下 主办方先从 6 人中随机抽取两人均获一等奖 再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖 最后还从这 4 人中随机 抽取 1 人获三等奖 求 a 能获一等奖的概率 若 a b 已获一等奖 求 c 能获奖的概率 18 已知函数 1 f x xa 2 3g xbxx 1 设函数 h xf xg x 且 1 1 0hh 求 a b 的值 2 当 a 2 且 b 4 时 求函数 g x x f x 的单调区间 并求该函数在区间 2 m 1 2 4 m 的右焦点为 F 2 0 且过点 P 2 2 直线l过点 F 且交椭圆 C 于 A B 两点 求椭圆 C 的方程 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M 1 0 2 求直线l的方程 20 设满足以下两个条件的有穷数列 12 n a aa 为 n n 2 3 4 阶 期待数列 123 0 n aaaa 3 123 1 n aaaa 3 分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶 期待数列 若某 2013 阶 期待数列 是等差数列 求该数列的通项公式 记 n 阶 期待数列 的前 k 项和为 1 2 3 k Skn 3 试证 2 1 k S 丰台区丰台区 20132013 年高三年级第二学期统一练习 一 年高三年级第二学期统一练习 一 数学 文科 参考答案数学 文科 参考答案 一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B A D B C C 二 填空题 9 4 5 10 30 11 2 3 12 2 13 1 14 2 3 2 3 三 解答题 15 本题 13 分 已知函数 22 sincos 2cos f xxxx 求 f x的最小正周期和单调递增区间 求函数 f x在 3 44 上的值域 解 2 1 sin22cos2sin 2 4 f xxxx 3 分 最小正周期 T 4 分 单调增区间 3 88 kkkZ 7 分 33 2 4422 xx 5 2 444 x 10 分 f x在 3 44 上的值域是 1 2 13 分 16 本题 13 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 BC AD BC 1 AD 3 AC CD 且平面 PCD 平面 ABCD 求证 AC PD 在线段 PA 上 是否存在点 E 使 BE 平面 PCD 若存在 求 PE PA 的值 若不存在 请说明理由 解 平面 PCD 平面 ABCD 平面 PCD 平面 ABCD CD AC CD AC 平面 ABCD AC 平面 PCD 4 分 PD 平面 PCD AC PD 6 分 线段 PA 上 存在点 E 使 BE 平面 PCD 7 分 F E B A D C P AD 3 在 PAD 中 存在 EF AD E F 分别在 AP PD 上 且使 EF 1 又 BC AD BC EF 且 BC EF 四边形 BCFE 是平行四边形 9 分 BE CF BE 平面PCB CF平面PCB BE 平面 PCD 11 分 EF 1 AD 3 1 3 EFPE ADPA 13 分 17 本题 13 分 在一次抽奖活动中 有 a b c d e f 共 6 人获得抽奖的机会 抽奖规则如 下 主办方先从 6 人中随机抽取两人均获一等奖 再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖 最后还 从这 4 人中随机抽取 1 人获三等奖 求 a 能获一等奖的概率 若 a b 已获一等奖 求 c 能获奖的概率 解 设 a 能获一等奖 为事件 A 事件 A 等价于事件 从 6 人中随机取抽两人 能抽到 a 从 6 人中随机抽取两人的基本事件有 a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 15 个 4 分 包含 a 的有 5 个 所以 P A 51 153 答 a 能获一等奖的概率为 1 3 6 分 设 若 a b 已获一等奖 c 能获奖 为事件 B a b 已获一等奖 余下的四个人中 获奖的基本事件有 c c c d c e c f d c d d d e d f e c e d e e e f f c f d f e f f 16 个 11 分 其中含有 c 的有 7 种 所以 P B 7 16 答 若 a b 已获一等奖 c 能获奖的概率为 7 16 13 分 18 本题 14 分 已知函数 1 f x xa 2 3g xbxx 1 设函数 h xf xg x 且 1 1 0hh 求 a b 的值 2 当 a 2 且 b 4 时 求函数 g x x f x 的单调区间 并讨论该函数在区间 2 m 1 2 4 m 上的最大值 解 函数 h x 定义域为 x x a 1 分 则 2 1 23 h xfxg xbx xa 3 分 因为 1 0 1 0 h h 所以 2 1 30 1 1 230 1 b a b a 解得 0 2 a b 或 4 3 6 a b 6 分 记 x g x f x 则 x x a bx 2 3x x a 因为 a 2 b 4 所以 2 2 43 xxxx x 2 7 分 2 122262 23 31 xxxxx 令 0 x 得 3 2 x 或 1 3 x 8 分 当 3 2 x 时 0 x 当 31 23 x 时 0 x 函数 x 的单调递增区间为 31 2 2 23 单调递减区间为 31 23 10 分 当 2 m 的右焦点为 F 2 0 且过点 2 2 直 线l过点 F 且交椭圆 C 于 A B 两点 求椭圆 C 的方程 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M 1 0 2 求直线l的方程 解 设椭圆 C 的方程为 22 22 1 xy ab 则 22 22 4 42 1 ab ab 解得 2 8a 2 4b 所以椭圆 C 的方程为 22 1 84 xy 5 分 当斜率不存在时 不符合题意 6 分 当斜率存在时设直线 l 的方程为 y k x 2 A x1 y1 B x2 y2 AB 的中点为 N x0 y0 由 22 1 84 2 xy yk x 得 2222 12 8880kxk xk 7 分 因为 4222 644 12 88 32 1 0kkkk X k B 1 c O m 所以 2 12 2 8 12 k xx k 8 分 所以 2 12 0 2 4 212 xxk x k 00 2 2 2 12 k yk x k 9 分 因为线段 AB 的垂直平分线过点 M 1 0 2 所以1 MN kk 即 0 0 1 1 2 y k x 所以 22 22 241 12122 kk kk 解得 2 2 k 12 分 所以直线l 的方程为220 xy 或220 xy 13 分 20 本题 14 分 设满足以下两个条件的有穷数列 12 n a aa 为 n n 2 3 4 阶 期待数列 123 0 n aaaa 3 123 1 n aaaa 3 分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶 期待数列 若某个 2013 阶 期待数列 是等差数列 求该数列的通项公式 记 n 阶 期待数列 的前 k 项和为 1 2 3 k Skn 3 试证 2 1 k S 解 数列 11 0 22 为三阶期待数列 1 分 数列 31 1 3 88 8 8 为四阶期待数列 3 分 其它答案酌情给分 设该 2013 阶 期待数列 的公差为d 因为 1232013 0aaaa 3 12013 2013 0 2 aa 12013 0aa 即 1007 0a 1008 ad 5 分 当 d 0 时 与期待数列的条件 矛盾 当 d 0 时 据期待数列的条件 可得 100810092013 1 2 aaa 3 1006 100511 1006 221006 1007 ddd 即 6 分 该数列的通项公式为 1007 1007 1007 1006 1007 n n aand 201