空间向量法解决立体几何证明.ppt

利用空间向量解决立体几何问题 数学专题二 复习 2 向量的夹角 A B 向量的夹角记作 1 空间向量的数量积 4 向量的模长 3 有关性质 两非零向量 5 共面向量定理 如果两个向量不共线 则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使 推论 一 引入两个重要的空间向量 1 直线的方向向量把与直线平行的向量都称为直线的方向向量 如图 在空间直角坐标系中 由A x1 y1 z1 与B x2 y2 z2 确定的直线AB的方向向量是 2 平面的法向量 与平面 垂直的向量叫做平面 的法向量 n 例1 如图所示 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为 平面OABC的一个法向量坐标为 平面AB1C的一个法向量坐标为 1 1 1 0 0 1 1 0 0 练习 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 O是面AC的中心 求面OA1D1的法向量 A B C D O A1 B1 C1 D1 z x y 解 以A为原点建立空间直角坐标系O xyz 设平面OA1D1的法向量的法向量为n x y z 那么O 1 1 0 A1 0 0 2 D1 0 2 2 取z 1 解得 得 由 1 1 2 1 1 2 练习如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC 1 E是PC的中点 求平面EDB的一个法向量 A B C D P E 解 如图所示建立空间直角坐标系 设平面EDB的法向量为 二 立体几何中的向量方法 平行关系 m l 一 平行关系 二 垂直关系 l m l A B C 例1四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC 6 E是PB的中点 DF FB CG GP 1 2 求证 AE FG A B C D P G F E A 6 0 0 F 2 2 0 E 3 3 3 G 0 4 2 AE FG 证 如图所示 建立空间直角坐标系 AE与FG不共线 几何法呢 例2四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 求证 PA 平面EDB A B C D P E 解1立体几何法 A B C D P E 解2 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 证明 设平面EDB的法向量为 几何法呢 几何法呢 练习棱长为a的正方体中 E F分别是棱AB OA上的动点 且AF BE 求证 Z x y 解 如图所示建立空间直角坐标系 设AF BE b A B C D P E F 证1 如图所示建立空间直角坐标系 设DC 1 A B C D P E F 证2 E是AA1中点 例3正方体 平面C1BD 证明 E 求证 平面EBD 设正方体棱长为2 建立如图所示坐标系 平面C1BD的一个法向量是 E 0 0 1 D 0 2 0 B 2 0 0 设平面EBD的一个法向量是 平面C1BD 平面EBD 证明2 E E是AA1中点 例3正方体 平面C1BD 求证 平面EBD A B C D P G 例4棱长都等于2的正三棱柱ABC A1B1C1 D E分别是AC CC1的中点 求证 1 A1E 平面DBC1 2 AB1 平面DBC1 A1 C1 B1 A C B E D z x y 解 以D为原点 DA为x轴 DB为y轴建立空间直角坐标系D xyz 则A 1 0 0 B 0 0 E 1 0 1 A1 1 0 2 B1 0 2 C1 1 0 2 设平面