高中数学 双曲线范例例题.ppt

主题1双曲线的定义与名词介绍 例题1双曲线的定义 如右图 在方格纸中有两组同心圆 圆心分别为F1与F2 若P点在以F1 F2为焦点的双曲在线 试问A B C D E五点中 哪些点亦在此双曲线上 2 3 而 故P C D三点位于同一双曲线上 例题2 焦点到中心距离 2 半贯轴长 2 半共轭轴长 2 已知一双曲线的贯轴长为6 两焦点的距离为10 试求此双曲线的共轭轴长 由题意知2a 6 2c 10 所以a 3 c 5因此b 故共轭轴长2b 8 主题2双曲线的标准式 1 已知一双曲线的两焦点为 2 0 与 2 0 贯轴长为2 试求此双曲线的标准式 例题3双曲线的标准式 中心在原点 1 如右图所示因为焦点为 2 0 2 0 所以中心为原点 贯轴在x轴上且方程式形如又c 2 贯轴长2a 2 所以a 1而b2 c2 a2 22 12 3得双曲线方程式为 2 如右图所示因为焦点为 0 2 0 2 所以中心为原点 贯轴在y轴上且方程式形如又c 2 贯轴长2a 2 所以a 1而b2 c2 a2 22 12 3得双曲线方程式为 例题3双曲线的标准式 中心在原点 2 已知一双曲线的两焦点为 0 2 与 0 2 贯轴长为2 试求此双曲线的标准式 1 将方程式4x2 16y2 64改写成与标准式比较 得知此双曲线的中心在原点O 0 0 如右图所示 两焦点在x轴上且a 4 b 2c 所以贯轴长2a 8 共轭轴长2b 4焦点为 0 与 0 顶点为 4 0 与 4 0 例题4双曲线的各要素 1 已知一双曲线的方程式为4x2 16y2 64 试求其贯轴长 共轭轴长 中心 焦点及顶点坐标 2 将方程式16x2 9y2 144改写成与标准式比较 得知此双曲线的中心在原点O 0 0 如右图所示 两焦点在y轴上 且a 4 b 3 c 所以贯轴长2a 8 共轭轴长2b 6焦点为 0 5 与 0 5 顶点为 0 4 与 0 4 例题4双曲线的各要素 2 已知一双曲线的方程式为16x2 9y2 144 试求其贯轴长 共轭轴长 中心 焦点及顶点坐标 例题5双曲线的应用 核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的 右图是某冷却塔的截面图 颈部 4是双曲线的贯轴长 出风口直径 8 入风口直径 28 已知 互相平行 且与的距离为24 试求与的距离 将此冷却塔的截面图坐标化设双曲线的中心为O 0 0 贯轴在x轴上 2a 4 a 2可假设此双曲线的方程式为 即又 28 与的距离为24故此双曲线通过D 14 24 例题5双曲线的应用 核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的 右图是某冷却塔的截面图 颈部 4是双曲线的贯轴长 出风口直径 8 入风口直径 28 已知 互相平行 且与的距离为24 试求与的距离 代入可得b2 12 而F点的x坐标为4 y坐标即为与的距离 代入双曲线可得 y 6 负不合 与的距离为6 例题6求渐近线 试求双曲线的两条渐近线方程式 的两条渐近线为与即4x 3y 0与4x 3y 0 主题3双曲线的渐近线 例题7双曲线与渐近线 试证 双曲线 上任一点P到两直线L1 bx ay 0与L2 bx ay 0的距离乘积为定值 设P x0 y0 为双曲线 上任一点可得b2x02 a2y02 a2b2又P x0 y0 到L1的距离为P x0 y0 到L2的距离为 故P到L1与L2的距离乘积为 例题7双曲线与渐近线 试证 双曲线 上任一点P到两直线L1 bx ay 0与L2 bx ay 0的距离乘积为定值 例题8共轭双曲线 试求双曲线的共轭双曲线 的共轭双曲线为 主题4共轭双曲线与等轴双曲线 例题9等轴双曲线 一等轴双曲线的两焦点为F1 0 F2 0 求此双曲线方程式 此等轴双曲线的中心为的中点 即 0 0 且其贯轴在y轴上 而2c 得c 又c2 a2 b2 且a b 故a2 b2 4故此等轴双曲线的方程式为 主题5双曲线的平移与伸缩 例题10双曲线的标准式 中心为 h k 已知一双曲线的两焦点为 7 1 与 3 1 贯轴长为6 试求此双曲线方程式 如右图所示 因为两焦点为 7 1 与 3 1 所以中心 h k 2 1 贯轴平行x轴 且c 5 又贯轴长2a 6 a 3而b 代入标准式得双曲线的方程式为 1 如右图 将双曲线 以原点为中心伸缩2倍可得双曲线 a与b皆成为原来2倍 即 例题11双曲线的伸缩 1 已知双曲线 将图形 以原点为中心伸缩2倍 得到一个新双曲线 的图形 试求双曲线 的方程式 2 的两条渐近线为与 的两条渐近线为与皆可整理成x 2y 0与x 2y 0故 与 的渐近线相同 例题11双曲线的伸缩 2 同 1 试比较 与 的渐近线是否相同 主题6双曲线的性质 例题12渐近线与双曲线方程式的关系 试求中心为 2 1 一渐近线为x y 3 0 且过点 4 2 的等轴双曲线方程式 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直 可假设另一条渐近线的方程式为x y m 0又中心 2 1 为两条渐近线的交点 2 1 m 0 m 1可知等轴双曲线的两渐近线为x y 3 0与x y 1 0设双曲线的方程式为 x y 3 x y 1 k此方程式过点 4 2 4 2 3 4 2 1 k k 3即等轴双曲线的方程式为 x y 3 x y 1 3 例题13由双曲线的一般型态求诸要素 已知双曲线 的方程式为4x2 y2 8x 4y 4 0 试求其贯轴长 共轭轴长 中心 焦点 顶点及渐近线方程式 将方程式4x2 y2 8x 4y 4 0 依x y配方得4 x2 2x 1 y2 4y 4 4整理得 其中a 1 b 2所以方程式的图形是一个贯轴平行于x轴的双曲线中心为 1 2 贯轴长2a 2 共轭轴长2b 4 c 两顶点为 0 2 与 2 2 两焦点为 1 2 与 1 2 渐近线方程式为2x y 0与2x y 4 0 例题13由双曲线的一般型态求诸要素 已知双曲线 的方程式为4x2 y2 8x 4y 4 0 试求其贯轴长 共轭轴长 中心 焦点 顶点及渐近线方程式 右图是以F1 F2为圆心的两组同心圆 各组4个同心圆的半径分别为1 2 3 4 已知有一双曲线以F1 F2为焦点 且通过P点 则此双曲线的贯轴长为 主题1双曲线的定义及标准式 范例1双曲线的定义 由图可知 3 4 下一题 由双曲线的定义可知贯轴长 3 4 1 故贯轴长为1 若一双曲线的贯轴长为12 两焦点间的距离为13 则此双曲线的共轭轴长为 由题意知2a 12 2c 13 上一题 下一题 范例2双曲线的基本概念运算 a 6 c b 故共轭轴长2b 5 1 已知双曲线的两焦点为 5 0 5 0 贯轴长为6 则此双曲线方程式为 范例3求双曲线方程式 1 两焦点为 5 0 5 0 中心为 0 0 贯轴在x轴上 且c 5又贯轴长2a 6 a 3 b 故双曲线方程式为 2 已知双曲线的中心为 0 0 一焦点为 0 5 共轭轴长为8 则此双曲线方程式为 范例3求双曲线方程式 上一题 下一题 2 中心为 0 0 焦点为 0 5 c 5又共轭轴长2b 8 b 4 a 故双曲线方程式为 c 范例4求双曲线的各要素 已知一双曲线方程式为 1 则 1 中心坐标为 2 顶点坐标为 1 此为中心在原点的双曲线 焦点在x轴上 且a 3 b 2 1 中心坐标为 0 0 2 顶点坐标为 3 0 3 0 范例4求双曲线的各要素 已知一双曲线方程式为 1 则 3 焦点坐标为 4 贯轴长为 5 共轭轴长为 6 对称轴方程式为 3 焦点坐标为F1 0 F2 0 4 贯轴长2a 6 5 共轭轴长2b 4 6 对称轴方程式为x 0及y 0 c 此为中心在原点的双曲线 焦点在x轴上 且a 3 b 2 1 已知一双曲线方程式为 1 则 7 渐近线方程式为 范例4求双曲线的各要素 上一题 下一题 7 渐近线方程式为 4x2 9y2 0 2x 3y 2x 3y 0 2x 3y 0或2x 3y 0故渐近线方程式为2x 3y 0与2x 3y 0 范例5双曲线的平移 将双曲线 1平移 3 1 后 所得的双曲线 的方程式为 上一题 下一题 双曲线 1平移 3 1 后 主题2双曲线的平移与伸缩 所得双曲线 之方程式为 范例6双曲线的标准式 已知双曲线 4x2 y2 16x 6y 3 0 则 1 顶点坐标为 4x2 y2 16x 6y 3 0 4 x 2 2 y 3 2 4 1 中心点O 2 3 a 1 顶点 2 1 3 即 3 3 与 1 3 范例6双曲线的标准式 已知双曲线 4x2 y2 16x 6y 3 0 则 2 渐近线方程式为 3 双曲线 上任一点到两渐近线距离的乘积为 上一题 下一题 3 所求为 2x y 1 2x y 7 0 2x y 1 0或2x y 7 0即渐近线方程式为2x y 1与2x y 7 2 渐近线为 0 4 x 2 2 y 3 2 0 2 x 2 y 3 2 x 2 y 3 0 已知双曲线 1将图形 以原点为中心伸缩2倍 得到一个新双曲线 则 1 双曲线 的方程式为 范例7双曲线的伸缩 1 将双曲线 1以原点为中心伸缩2倍后 可得双曲线 1 即 已知双曲线 1将图形 以原点为中心伸缩2倍 得到一个新双曲线 则 2 的渐近线方程式为 范例7双曲线的伸缩 2 令 36x2 16y2 0 9x2 4y2 0 3x 2y 3x 2y 0 3x 2y 0或3x 2y 0故渐近线方程式为3x 2y 0与3x 2y 0 上一题 下一题 共轭轴长为 试求以椭圆 1的焦点为顶点 以长轴之顶点为两焦点之双曲线 方程式为 范例8求双曲线方程式 椭圆中心 1 1 且为上下型 c 3 a2 25 a 5 则双曲线两焦点的距离为10且贯轴长 6 故双曲线 方程式为 上一题 下一题 1 二次曲线 1 t为实数 表一椭圆 则t的范围为 表一双曲线 则t的范围为 范例9椭圆与双曲线标准式的判别 1 t 4 t 1 t 4 0 1 t 4 2 设k为实数 若方程式 1为双曲线 则此双曲线的焦点坐标为 范例9椭圆与双曲线标准式的判别 2 10 k 5 k 10 k 0 5 k 0此为左右型双曲线 其中心点为 0 1 c2 10 k k 5 5 c 焦点为 0 1 1 故双曲线的焦点坐标为 1 与 1 上一题 下一题 若双曲线与 1有共同的渐近线 且通过点M 5 8 则此双曲线方程式为 范例10双曲线的渐近线 有共同渐近线 令新双曲线为 下一题 M 5 8 代入 k 故双曲线方程式为 1 4 3 上一题 一双曲线的两焦点为F1 10 0 与F2 10 0 其一渐近线的斜率为 试求此双曲线的方程式为 范例11利用双曲线渐近线斜率解题 由焦点可知为左右型 且2c 10 10 20 c 10 中心在 0 0 下一题 可设双曲线方程式为 又渐近线斜率为 令a 3r b 4r r 0 则 3r 2 4r 2 102 r 2 负不合 a 6 b 8 故双曲线方程式为 上一题 若一等轴双曲线之中心为 2 5 一渐近线为x y 3 0且过 1 3 试求此双曲线的方程式为 范例12等轴双曲线 主题3等轴双曲线 共轭双曲线 一渐近线为x y 3 0 为等轴双曲线 两渐近线互相垂直可设另一渐近线L x y k 0 2 5 在L上 代入L 2 5 k 0 k 7因此 可设双曲线为 x y 3 x y 7 又 1 3 在双曲线上 1 3 3 1 3 7 1 3 3双曲线方程式为 x y 3 x y 7 3 x2 y2 4x 10y 18 0 下一题 x 2 2 y 5 2 3 故双曲线方程式为 上一题