数学竞赛专业组选拔试卷—参考解答(新)(1).doc

装 订 线考 生 信 息 栏 学院 专业 班级 姓名 学号 集 美 大 学 试 卷 纸（参考解答） 2010 2011 学年 第 一 学期课程名称数学竞赛（专业组）试卷卷别选拔试卷适 用学院、专业、年级07-08级数学与应用数学、信息与计算科学专业考试方式闭卷 开卷 备注1.本试卷共8页；2.考试时间150分钟。总分题号一二 三四五 六七八得分阅卷人得分一、求与两直线都相交，且与双曲线也相交的动直线所形成的曲面方程，并说明该曲面的形状名称.（15分）解 在两直线上分别任取一点，为参数，于是动直线方程为 它与双曲线相交，故令，可得，即代入，得 由 消去，得即为所求.把轴旋转，即令，曲面方程化为可见该曲面是单叶双曲面.得分二、设元方程组，其中，.（1）证明：行列式；（2）取何值，方程组有唯一解？求； （3）取何值，方程组有无穷多解？求通解.（12分）解 （1）按第一行展开，得利用数学归纳法，设，则有.（2）时，利用Cramer法则，解得. （3）时有无穷多解，分别求原方程组的一个特解及导出组的基础解系，可得通解为.得分三、设是维线性空间的两个线性变换，证明：核空间的维数满足 .（10分）证明 ,所以 .设. 把的一组基扩充成的一组基，有下面证线性无关.令，则，从而，于是，由线性无关，即得.可见至少包含个线性无关的向量，即，所以.得分四、设是实方阵，若对于实数，存在非零向量及自然数，使得，则称是的属于的根向量. 试证：（1）若的属于的根向量存在，则是的特征值.（2）若是的特征值，则的属于的根向量存在；并问属于的所有根向量添上零向量的集合能否作成的子空间？为什么?（3）的属于不同特征值的根向量必线性无关.（13分）证明 （1）不妨设，但，于是 ，即可见是的特征值.（2）设是对应于的特征向量，则有，故也是根向量.任取的两个根向量，并设，.取，则，可见，即是子空间.（3）设分别是属于（）的根向量，即有，设，则，可得.若，则，说明是属于的根向量，矛盾；所以，从而，得，所以 线性无关.得分五、试确定的值，使得 .（10分） 解 因为时，所以，于是 ，利用极限的无穷小表示定理可得，（注意） 所以.于是，（应用洛必塔法则） ， 所以.得分六、设函数在上连续，且对任意的区间，恒有（是正常数）成立，证明：.（12分） 证明 对，总可取到数列：，使得成立，于是由假设条件可得，根据积分中值定理，对，使得，从而，再由在处的连续性，可得 .所以对，有. 当时，同样可取到数列：，使得成立，且有，仿上述证明也可得，.综上，这就证明了.得分七、设函数在上具有二阶连续导数,，. 而是的次复合函数. 证明： （1），使对，有； （2）级数在的某邻域内一致收敛.（15分） 证明 （1） 根据Taylor公式，对，有（介于之间）， （因为） 因为，所以，使得，有. 于是对，有，只要取，即得所证. （2）利用（1）的结果，可知对，有，为使级数收敛，必须，这只要将（1）中的进一步缩小为：（注意），即取：.此时，令，则，且对，仍然有，于是由Weierstrass判别法可知，级数在内一致收敛.得分八、设，其中一阶偏导数连续，试通过变换：,