江苏南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试理数学试卷（带解析）.doc

江苏南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试理数学试卷1已知集合，集合，则.【答案】【解析】试题分析：由题意可知集合A表示四个实数，而集合B表示非负实数，所以两个集合交集为.最后结果需用集合形式，是解答本类题目的注意点.考点：集合的运算.2若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数 .【答案】【解析】试题分析：先由复数乘法化为，再由纯虚数的概念得即正确解答本题需正确理解纯虚数概念.考点：复数的运算，纯虚数的概念.3现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .【答案】【解析】试题分析：从甲、乙、丙人中随机选派人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为.枚举法是求古典概型概率的一个有效方法.考点：古典概型概率计算方法.4根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为 .【答案】【解析】试题分析：由题意得.正确解决此类题目，需正确确定起始值和终止值.考点：伪代码.5若一组样本数据，的平均数为，则该组数据的方差 .【答案】【解析】试题分析：由得所以考点：平均数及方差的概念.6在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .【答案】【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为所以又所以而双曲线的渐近线方程为即.解答本题需注意双曲线的焦点位置.考点：双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点.7在平面直角坐标系中，若点到直线的距离为，且点在不等式表示的平面区域内，则 .【答案】【解析】试题分析：由题意得及，解得考点：点到直线距离，点在区域内.8在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧棱底面，为的中点，则四面体的体积为 .【答案】【解析】试题分析：显然面，底面的面积为所以考点：三棱锥体积.9设函数，则“为奇函数”是“”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】试题分析：必要性：当时，为奇函数；而当时，也为奇函数，所以充分性不成立.解答此类问题，需明确方向.肯定的要会证明，否定的要会举反例.考点：充要关系.10在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .【答案】【解析】试题分析：由题意得圆心与点连线垂直于，所以而直线过点，所以直线的方程为考点：点斜式，圆的几何性质.11在中，则的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：由余弦定理得所以等号当且仅当取得.考点：余弦定理,基本不等式，向量数量积.12若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：因为函数是定义在上的偶函数，所以由考点：奇偶性与单调性的综合应用13若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：解法一：由得由不等式得或所以解法二：图像法.与的图像不能同时在轴上方或下方，所以它们与轴的交点必然重合，所以本题难点在于将原不等式对正实数恒成立理解为两个不等组解集的并集为正实数集.考点：解不等式，不等式恒成立.14已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，若对恒成立，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：易得而在上单调递增，所以因此的最小值为本题难点在于将不等式对恒成立转化为函数的值域为的一个子集.考点：函数值域，不等式恒成立，等比数列前n项和.15在中，角，所对的边分别是，已知，.（1）若的面积等于，求，；（2）若，求的面积.【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）利用余弦定理及面积公式，列方程组就可求出，；（2）要求三角形面积，关键在于求出边长.但已知等式条件不能直接利用正余弦定理将角化为边，所以先根据诱导公式将化为再利用两角和与差的正弦公式及二倍角公式化简，得，此时约分时注意讨论零的情况. 当时，；当时，得，对这一式子有两个思路，一是用正弦定理化边，二是继续化角，试题解析：（1）由余弦定理及已知条件得， 2分又因为的面积等于，所以，得 4分联立方程组解得， 7分（2）由题意得，即，当时， 10分当时，得，由正弦定理得， 联立方程组解得， 13分所以的面积 14分考点：正余弦定理，面积公式.16如图，在正三棱柱中，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）要证线面平行，需有线线平行.由，分别为，的中点，想到取的中点；证就成为解题方向，这可利用平行四边形来证明.在由线线平行证线面平行时，需完整表示定理条件，尤其是线在面外这一条件；（2）要证面面垂直，需有线面垂直. 由正三棱柱性质易得底面侧面，从而侧面,而，因此有线面垂直：面.在面面垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用几何体及平面几何中的垂直条件.试题解析：（1）连交于点，为中点， ，为中点，四边形是平行四边形， 4分，又平面，平面，平面. 7分（2）由（1）知，为中点，所以，所以， 9分又因为底面，而底面，所以，则由，得，而平面，且，所以面， 12分又平面，所以平面平面. 14分考点：线面平行及面面垂直的判定定理.17如图，现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于，绕岛行驶的路宽均不小于.（1）求的取值范围；（运算中取）（2）若中间草地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？【答案】(1) ,(2) .【解析】试题分析：（1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得的取值范围；其难点在路宽最小值的确定，观察图形易知路宽最小值应在正方形对角线连线上取得，（2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.难点在所列函数解析式是四次，其导数为三次，在判定区间导数符号时需细心确定，要解决这一难点，需充分利用因式分解简化式子结构.试题解析：（1）由题意得， 4分解得即. 7分（2）记“环岛”的整体造价为元，则由题意得， 10分令，则，由，解得或， 12分列表如下：9(9,10)10(10,15)1500极小值所以当，取最小值.答：当时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分考点：利用导数求最值，解不等式.18在平面直角坐标系中，已知过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点的坐标为，试求直线的方程；（3）记，两点的纵坐标分别为，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1），（2），（3）.【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中三个未知数的确定只需两个独立条件，根据椭圆定义：点到两个焦点距离和为，求出的值，再由求出的值，就可得到椭圆的标准方程（2）由点关于坐标原点的对称点为，可直接写出点坐标；又由点及，可得直线方程，再由方程与椭圆方程解出A点坐标，根据两点式就可写出直线的方程，（3）直线与椭圆位置关系问题就要从其位置关系出发，先根据直线AB垂直轴的特殊情况下探求的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值.本题难点在如何利用条件消去参数. 点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键.试题解析：（1）由题意，得，即， 2分又，椭圆的标准方程为. 5分K（2），又， ，直线：， 7分联立方程组，解得， 9分直线：，即. 10分（3）当不存在时，易得,当存在时，设，则，两式相减， 得，令，则， 12分直线方程：，直线方程：， 14分，又，所以为定值. 16分考点：椭圆定义，消参数，点差法.19已知函数，.（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的切线？（2）当时，求函数的单调减区间；（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.【答案】（1）且，（2）当时，函数的减区间为，；当时，函数的减区间为；当时，函数的减区间为，（3）.【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义分别求出曲线与在处的切线斜率，再根据两者相等得到，满足的条件，易错点不要忽视列出题中已知条件，（2）求函数的单调减区间，一是求出函数的导数，二是判断对应区间的导数值符号.本题难点在于导数为零时根的大小不确定，需根据根的大小关系分别讨论单调减区间情况，尤其不能忽视两根相等的情况，（3）本题恒成立转化为函数最小值不小于零，难点是求函数的最小值时须分类讨论，且每类否定的方法为举例说明.另外，本题易想到用变量分离法，但会面临问题，而这需要高等数学知识. 试题解析：（1），又，在处的切线方程为， 2分又，又，在处的切线方程为， 所以当且时，曲线与在处总有相同的切线 4分（2）由， 7分由，得，当时，函数的减区间为，；当时，函数的减区间为；当时，函数的减区间为，. 10分（3）由，则，当时，函数在单调递增，又， 时，与函数矛盾， 12分当时，；，函数在单调递减；单调递增，（）当时，又，与函数矛盾，（）当时，同理，与函数矛盾，（）当时，函数在单调递减；单调递增，故满足题意.综上所述，的取值的集合为. 16分考点：利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立.20设等差数列的前项和为，已知，.（1）求；（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.当取最小值时，求的通项公式；若关于的不等式有解，试求的值.【答案】（1），（2），【解析】试题分析：（1）解等差数列问题，主要从待定系数对应关系出发.由等差数列前n项和公式求出公差d即可，（2）利用等比数列每一项都为等差数列中项这一限制条件，对公比逐步进行验证、取舍，直到满足.因为研究的是取最小值时的通项公式，因此可从第二项开始进行验证，首先满足的就是所求的公比，由易得与的函数关系，并由为正整数初步限制取值范围，当且时适合题意，当且时，不合题意.再由不等式有解，归纳猜想并证明取值范围为本题难点是如何说明当时不等式即无解，可借助研究数列单调性的方法进行说明.试题解析：（1）设等差数列的公差为，则，解得， 2分所以. 4分（2）因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，若，则由，得，此时，由，解得，所以，同理； 6分若，则由，得，此时，另一方面，所以，即， 8分所以对任何正整数，是数列的第项所以最小的公比所以 10分（3）因为，得，而，来源:所以当且时，所有的均为正整数，适合题意；当且时，不全是正整数，不合题意.而有解，所以有解，经检验，当，时，都是的解，适合题意； 12分下证当时，无解, 设，则，因为，所以在上递减，又因为，所以恒成立，所以，所以恒成立，又因为当时，所以当时，无解. 15分综上所述，的取值为 16分考点：等差数列和等比数列综合应用，等差数列前n项和公式，数列单调性.21如图，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点，若， ，求的长.【答案】【解析】试题分析：由相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等,得，利用等量代换及勾股定理，得到代入等式变形就可得到所要求的试题解析：解：为中点， 5分又，由，得. 10分考点：相交弦定理，勾股定理.22已知曲线：，若矩阵对应的变换将曲线变为曲线，求曲线的方程.【答案】【解析】试题分析：解决本题关键有两点，一是熟练掌握二阶矩阵左乘向量的运算，即，主要注意点是对应；二是利用“相关点法”求轨迹方程.根据原曲线上点与对应点的关系，及，平方相减得，从而解出所求轨迹方程.试题解析：解：设曲线一点对应于曲线上一点， 5分，曲线的方程为. 10分考点：矩阵与向量乘积.23在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），若直线与圆相切，求实数的值.【答案】或【解析】试题分析：先利用将圆的极坐标方程化为对应的普通方程、再消去参数将直线的参数方程化为对应的普通方程，最后根据圆心到直线距离等于半径求出的值.试题解析：解：易求直线：，圆：，依题意，有，解得或. 10分考点：极坐标方程、参数方程化普通方程，直线与圆相切.24已知，为正实数，若，求证：.【答案】详见解析【解析】试题分析：利用基本不等式得同理可得,三式相加就可得所求结论.准确理解两项和与积的关系，构造和与积的关系运用基本不等式进行放缩证明是解决本题的关键.试题解析：解：，. 10分考点：基本不等式应用.25已知点在抛物线：上.（1）若的三个顶点都在抛物线上，记三边，所在直线的斜率分别为，求的值；（2）若四边形的四个顶点都在抛物线上，记四边，所在直线的斜率分别为，求的值.【答案】（1）1，（2）0.【解析】试题分析：(1)利用抛物线方程将横坐标用纵坐标表示,即结合两点斜率公式进行化简求值，(2)类似（1）的解法, 本题实质是抛物线参数方程的应用.求代数的值就是消去所有参数的过程，用尽量少的参数正确表示解析式试题解析：解：（1）由点在抛物线，得，抛物线：， 3分设， ，. 7分(2)另设，则. 10分考点：两点斜率公式，抛物线上点的设法.26设是给定的正整数，有序数组（）中或.（1）求满足“对任意的，都有”的有序数组（）的个数；（2）若对任意的，都有成立，求满足“存在，使得”的有序数组（）的个数.【答案】（1），（2）.【解析】试题分析：（1）正确理解每一偶数项与前相邻奇数项是相反数，而与后相邻奇数项相等或相