微分方程数值解法(戴嘉尊 第二版)习题讲解.pdf

成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 微分方程数值解 习题解答 杨韧 吴世良 编 杨韧 吴世良 编 成都信息工程学院 数学学院 成都信息工程学院 数学学院 二 O 一 O 年四月编写 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 目 录目 录 第一章第一章 常微分方程数值解常微分方程数值解 3 第二章第二章 抛物型方程的差分方法抛物型方程的差分方法 8 第三章第三章 椭圆型方程的差分方法椭圆型方程的差分方法 16 第四章第四章 双曲型方程的差分方法双曲型方程的差分方法 25 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 第一章第一章 常微分方程数值解常微分方程数值解 1 解 由欧拉公式得 22 22 0 11 1 11 2 0 2 nn nnnnnnnn xx yyhf xyyhyyy 由梯形公式得 22 1 22 1 1 112 22 111 12 11 22 111 12 11 2 2 nn nn nnnnnn nn xx nnn xx yyh f xyf xy yhyy yhyhyh 1 n 22 1 22 111 112 11 nn nnnn xx hyyyhyh 22 1 2 111 2 11 1 114 2 nn nn xx n h yhyh y h 欧拉公式计算结果 n x n y n y x nn y xy 0 0 0 0 0 1 0 1000 0 0990 0 0010 0 2 0 1970 0 1923 0 0047 0 3 0 2854 0 2752 0 0102 0 4 0 3609 0 3448 0 0160 0 5 0 4210 0 4000 0 0210 0 6 0 4656 0 4412 0 0244 0 7 0 4957 0 4698 0 0259 0 8 0 5137 0 4878 0 0259 0 9 0 5219 0 4972 0 0247 1 0 5227 0 5000 0 0227 梯形公式计算结果 n x n y n y x nn y xy 0 0 0 0 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 0 1 0 0985 0 0990 0 4758 1 0e 3 0 2 0 1915 0 1923 0 8291 1 0e 3 0 3 0 2742 0 2752 0 9894 1 0e 3 0 4 0 3439 0 3448 0 9580 1 0e 3 0 5 0 3992 0 4000 0 7886 1 0e 3 0 6 0 4406 0 4412 0 5523 1 0e 3 0 7 0 4695 0 4698 0 3097 1 0e 3 0 8 0 4877 0 4878 0 0988 1 0e 3 0 9 0 4973 0 4972 0 0640 1 0e 3 1 0 5002 0 5000 0 1773 1 0e 3 2 解 解 显然 是原初值问题的准确解 x ey 由梯形公式得 11 1 2 2 nnnnnn nnn h yyf xyf xy h yyy 1 整理可得 1 2 2 nn h yy h 于是 1 0 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 nn nnn h h y h h y h h y h h y 亦即 n n h h y 2 2 因为0 xnhnh x n h 令 h h t 2 2 2 111 th 有 22 2 1 1 1 1 2 x xxx x h tt n h ytt h t 从而 2 000 limlim 1 lim 1 xx x t n htt ytt e 同理可以证明预报 校正法收敛到微分方程的解 3 解 局部截断误差 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 1 1 1 1 1 111 11 11 11 1 111 n n n n n n n n n n nnn x nnnn x x nn x x nn x x n x x nnn x Ry xy y xf x y x dxy xhf xy x f x y x dxhf xy x f x y xf xy xdx y xy xdx y xxxxxdx 1 1111 2 11 01 lagrange n n x nnnnn x nn y xxxxxdxxxx h y xxx 1 2 中值定理 积分中值定理 若 0 11 max nn xx X My xxx 则有 2 1 12n Rh M 整体截断误差 1 111 11 1 n n x nnnnnnn x nnnn nn 11 Rf xy xf xydx RLh y xyRR RLh 这里 即有 1 1 nn LhR 若 则有 1Lh 精品课程 微分方程数值解 1 1 1 1122 2222 22 2222 n n n n n n x hh nnnnnn x x hhhh nnnn x hh nnnn x hhhh nnn x y xyf x y xf xy xf xydx f x y xf xy xf xy x f xy xf xydx y xy xf xy xf xy 2 h nnn xf xydx 所以上式为 1 1 12 2222 n n n n x h nnn x x hhhh nnnnnn x ey xxxdx f xy xf xy xf xy dx 2 3 18 h nn eLh y xLM h 中点公式的整体截断误差 1 1 111 22 22 2222 n n n n nnn x hh nnnnnn x x hh nnnnnn x hhhh nnnnnnnn y xy y xyf x y xf xyf xydx y xyf x y xf xy xf xy x f xy xf xy xf xyf xydx 记 1 2222 n n x hhhh nnnnnnnn x Ff xy xf xy xf xyf xy dx 注这里f满足Lipschitz条件 所以有 22 22 2 2 1 hh nnnnnn hh nnnnnn h nnn h n FLh y xf xy xyf xy Lh y xyf xy xf xy LhL y xy LhL 综上有 12 1 h nn RLhL n 即有 22 1 2 00 22 1 12 2222221 11 022 0 1 1 1 1 1 1 nn nn R hLL h L XxL Xx LhL hR LhL hLhL hLhL h R ee Lh 1 2 11 解 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 11 解 令f x y y x 1 1 09 0 1 1 1 1 x y x y x yyy n n n n n nnn hhh n 0 1 2 9 1 1 2 1 11 x y x yyy n n n nnn h 1 2 h 2 1 2 hh x y n n 1 1 1 x y n n 0 95 1 05 0 1 05 0 1 1 x y x y n n n n 由初值y 0 1出发 按上述公式计算 结果如下表所示 xn 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 yn 1 1 005 1 0190251 041217 1 0708011 1070751 1494031 197210 1 249975 1 3072271 368541 12 计算结果与精确解比较 解 由标准四阶P K方程可得 kyxk kyxk kyxk yxk kkkkyy n n n n n n n n nn 34 23 12 1 4321 1 2 02 0 1 01 0 1 0 2 2 0 22 6 2 0 计算求解得 n 0 1 2 3 4 5 xn 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 精确解 y xn 1 1 242806 1 583649 2 044238 2 651082 3 436564 P K 解 yn 1 1 242806 1 583649 2 044238 2 651082 3 436564 误差误差 0 10 6 1 3 10 5 2 5 10 5 4 10 5 6 2 10 5 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 第二章第二章 抛物型方程的差分方法抛物型方程的差分方法 1 解 由 1 11 0 0 1 2 1 2 1 sin 0 1 01 2 nnnn mmmm m nn M Ur Ur UUmM UmhmM UUn 2 1 0 1 0 1 0 001 10 k hrkM hh 得古典显式差分格式 1 11 0 0 0 80 1 sin 0 1 0 1 10 01 2 nnnn mmmm m nn M UUUU Umm UUn U x t 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 1 0 0 3090 0 5876 0 8090 0 9511 0 0 3060 0 5820 0 8011 0 9417 U x t 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0 0 1 1 0000 0 9511 0 8090 0 5878 0 3090 0 0 9902 0 9417 0 8011 0 5820 0 3060 0 2 解 2 0 1 10 k khr h Crank Nicolson 格式为 111 1111 0 010 115 95 1 2 1 sin 0 1 0 1 10 01 2 nnnnnn mmmmmm m nn UUUUUUmM Umm UUn 即有 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 111 10210 111 21321 111 87987 11 98109810 115 95 115 95 115 95 115 95 nnnnn nnnnn nnnnn nnnnn UUUUUU UUUUUU UUUUUU UUUUUU 2 3 9 n n n n 矩阵形式 1 11 22 1 88 1 99 11595 5115595 5115595 51159 nn nn nn nn UU UU UU UU 0 0136 0 0083 0 0048 0 0022 0 0299 0 0183 0 0105 0 0048 0 0521 0 0320 0 0183 0 0083 0 0848 0 0521 0 0299 0 0136 0 1344 0 0826 0 0473 0 0215 0 2109 0 1296 0 0743 0 0338 0 1296 0 2026 0 1161 0 0528 0 0743 0 1161 0 1811 0 0823 0 0338 0 0528 0 0823 0 1283 1 A 令 115 5115 5115 5115 5115 5115 5115 5115 511 A 95 595 595 595 595 595 595 595 59 B 0 1283 0 0823 0 0528 0 0338 0 0215 0 0823 0 1811 0 1161 0 0743 0 0473 0 0528 0 1161 0 2026 0 1296 0 0826 0 0338 0 0743 0 1296 0 2109 0 1344 0 0215 0 0473 0 0826 0 1344 0 2131 0 0136 0 0299 0 0521 0 0848 0 1344 0 0083 0 0183 0 0320 0 0521 0 0826 0 0048 0 0105 0 0183 0 0299 0 0473 0 0022 0 0048 0 0083 0 0136 0 0215 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 0 3090 0 5878 0 8090 0 9511 1 0000 0 9511 0 8090 0 5878 0 3090 9 0sin 8 0sin 7 0sin 6 0sin 5 0sin 4 0sin 3 0sin 2 0sin 1 0sin 0 U 110 0 7434 0 1646 0 1055 0 0675 0 0430 0 0271 0 0167 0 0096 0 0043 0 1646 0 6378 0 2321 0 1485 0 0947 0 0597 0 0367 0 0210 0 0096 0 1055 UA BU 0 2321 0 5948 0 2593 0 1652 0 1042 0 0641 0 0367 0 0167 0 0675 0 1485 0 2593 0 5781 0 2688 0 1696 0 1042 0 0597 0 0271 0 0430 0 0947 0 1652 0 2688 0 5738 0 2688 0 1652 0 0947 0 0430 0 0271 0 0597 0 1042 0 1696 0 2688 0 5781 0 2593 0 1485 0 0675 0 0167 0 0367 0 0641 0 1042 0 1652 0 2593 0 5948 0 2321 0 1055 0 0096 0 0210 0 0367 0 0597 0 0947 0 1485 0 2321 0 6378 0 1646 0 0043 0 0096 0 0167 0 0271 0 0430 0 0675 0 1055 0 30900 1059 0 58780 2015 0 80900 2773 0 95110 3260 1 00000 3428 0 95110 3260 0 80900 2773 0 58780 2015 0 1646 0 74340 30900 1059 i 211 0 7434 0 1646 0 1055 0 0675 0 0430 0 0271 0 0167 0 0096 0 0043 0 1646 0 6378 0 2321 0 1485 0 0947 0 0597 0 0367 0 0210 0 0096 0 1055 UA BU 0 2321 0 5948 0 2593 0 1652 0 1042 0 0641 0 0367 0 0167 0 0675 0 1485 0 2593 0 5781 0 2688 0 1696 0 1042 0 0597 0 0271 0 0430 0 0947 0 1652 0 2688 0 5738 0 2688 0 1652 0 0947 0 0430 0 0271 0 0597 0 1042 0 1696 0 2688 0 5781 0 2593 0 1485 0 0675 0 0167 0 0367 0 0641 0 1042 0 1652 0 2593 0 5948 0 2321 0 1055 0 0096 0 0210 0 0367 0 0597 0 0947 0 1485 0 2321 0 6378 0 1646 0 0043 0 0096 0 0167 0 0271 0 0430 0 0675 0 1055 0 10590 0363 0 20150 0691 0 27730 0951 0 32600 1118 0 34280 1175 0 32600 1118 0 27730 0951 0 20150 0691 0 1646 0 74340 10590 0363 i 求解结果 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0 0 0 0 0 3090 0 5878 0 8090 0 95111 00000 95110 8090 0 5878 0 30900 0 1 0 1 0 0 1059 0 2015 0 2773 0 32600 34280 32600 2773 0 2015 0 10590 0 2 0 2 0 0 0363 0 0691 0 0951 0 11180 11750 11180 0951 0 0691 0 03630 x U t 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 3 解 古典显格式 1 11 2 2 nnnnn mmmmm UUUUU kh 右边界 2 11 1 0 2 nn MM x UUu O h xh UU 11 nn MM 在右边界 以 n M U为基础建立古典显格式 1 11 1 2 1 2 2 nnnnn MMMMM Ur Ur UUr Ur 1 n M U 古典显式差分格式 1 11 0 0 1 1 12 10 1 01 2 12 20 1 nnnn mmmm m n nnn MMM Ur Ur UU UmM Un Ur UrUn 由 0 层的边界点U算UU右边界 0 10 1 12 1 01 0 m n 1 其中 2 1 k rMh h 截断误差 2 O kh m 1 nm nm 1 n 4 解 显式差分格式 1 11 2 2 nnnnn n mmmmm m UUUUU U kh 即 1 11 0 01 2 2 12 0 1 1 2 1 2 1 nnn mmm m n n M Urr Ur UU Uf mhmM Ugnkk k UgnkkMhr h n m h 截断误差O k 2 方法 I 矩阵方法讨论稳定性 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 矩阵形式 1 1 11 1 22 1 88 1 2 99 1 2 01 2 01 2 1 2 nn nn nn nn rg nkrrrUU rrrrUU rrrrUU rg nkrrrUU 即 n nn eBUIU 1 C I 1B B 的特征值 2 2 122cos 14sin 2 max 14sin 2 i i i jj rrrkr MM j Akr M 即 2 14sin 1 2 j kr M 时稳定 1 2 r 时稳定 方法 II Fourier 级数 Von Neumann 方法 法讨论稳定性 10 001 01 1 0 112 Na Nbrrb 1 br 010 2 1 2 1 22cos 1 4sin 2 i hi h Gkerr er ee h rrrhr k 22 1 4sin 1 4sin 1 22 hh Gkrkr 要求 2 1 1 4sin1 2 h r 2 1 2sin1 22 h rr 即 1 2 r 时稳定 5 解 显式差分格式 1111 1 11 2 2 nnnnn n mmmmm m UUUUU U kh 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 即 111 11 0 01 2 2 12 0 1 1 2 11 1 2 nnn mmm m n n M rr Ur UUU Uf mhmM k Ugnkkr h Ugnkkhk n m MN 1 差分格式截断误差 2 O kh 2 方法 I 矩阵方法讨论稳定性 差分格式矩阵形式 1 1 1 11 1 2 1 1 2 22 11 2 88 1 2 1 1 99 2 0 0 rgnk nn UU rrr nn UU rrrr I nnrrrr UU rrr nn UU rgnk 即 11nn n AUIUeCA 11 122cos 1 122cos j Arrr j M rrr M 无条件稳定 方法 II Fourier 级数 Von Neumann 方法 法分析稳定性 10 011 1 0 10 121 NN arraarb 0 010 11 21 12 122cos 12 1 cos 14sin 2 i hi h Gkrr er eee rrrhrrh h rk 2 1 1 14sin 2 Gk h rk 精品课程 微分方程数值解 6 解 差分格式化为 1 11 12 nnn mmm Uiwr Uiwr UU n m 方法 1 矩阵方法 2 224 1 22cos1 4sin 2 max 1 16sin1 2 i i i jj iwriwiwr MM j Aw r M 显式差分格式不稳定 方法 2 Fourier 级数法 010 2 12 122cos14sin 2 ihih Gkeiwr eiwr ee h iwriwrhiwr 2224 116sin1 2 j Gkw r M 显式差分格式不稳定 7 7 解 先将差分方程写成方程组形式 11 11 2 1 UUUVU2UU 1 VU nnnnnnn jjjjjjj nn jj kkh 11 用 Von Neuman 可以得到增长矩阵的特征值为 22 22 1 2 22 22 121 16sin121 16sin 2 14 sin 12 1 8 sin hh hh rr rr 由此可得到稳定性结论如下 a 当1 20 时 格式恒不稳定 b 当 1 2 0 时 格式条件稳定 其条件为 1 16 r 8 解 由 Von Neuman 方法得增长矩阵 11 22 22 22 22 12arcsin12arcsin 2arcsin12arcsin1 hh hh G i 求得特征值为 2 1 2 2 12 1 i 其中 22 2 arcsin h 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 即得 1 2 1 故格式无条件稳定 9 解 由 Von Meuman 方法可以得到 1 2 的增长因子分别为 12 12 22 122 2 22 22 1 14 sinsin 1 2 14 sinsin hh hh Ghcr Gh cr 由此可知 1 条件稳定 条件为 1 4 r 2 无条件稳定 10 解 消去 1 2 n l m U 便可得到 1 n l m U 与的关系式 即为 n l m U 2 221 11 22224 nn22 xylmxy rrr cc U lm U 由 Von Meuman 方法可以得到增长因子 12 12 222 22 22 2222 4sinsin 12 sin 12 sin hh hh r Gh rcr c 显然无条件稳定 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 第三章第三章 椭圆型方程的差分方法椭圆型方程的差分方法 1 解 1 分别将 1 1lm U 1 1lm U 1 1lm U 1 1lm U 在 l m 结点处做Taylor展开 并 代入 1 11 11 11 1 2 1 4 2 lmlmlmlml m UUUUU h 0 整理可得其截断误差为 2 RO h 2 方法类似于 1 同理可得其截断误差为 4 RO h 2 解 作网格 22 125 ln 1 1 ln 39 22 234 1 1 ln 39 ln 2 2 213 ln 0 1 ln 39 2 2 2 ln 1 1 ln 39 40 2 2 11 ln 0 1 ln 39 0 2 2 137 1 1 ln 39 ln 22 116 ln 1 0 ln 39 22 225 ln 1 0 ln 39 五点差分格式 123 124 134 234 1016160 4lnlnln0 680725 9981 25372537 4lnlnln2 435345 9981 13251325 4lnlnln1 389376 9981 40344034 4lnlnln2 820791 9981 UUU UUU UUU UUU 矩阵方程 1 2 3 4 41100 680725 14012 435345 10411 389376 01142 820791 U U AUK U U 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年 4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 1 0 29170 08330 08330 0417 0 08330 29170 04170 0833 0 08330 04170 29170 0833 0 04170 08330 08330 2917 A 1 0 634804 1 059992 0 798500 1 169821 UA K 3 解 首先将网格进行剖分 由于h 0 5 一共有9个网格结点 如图所示的实 红点 其中虚红点是在计算过程中所需要的过度点 对建立差分格式得 11 U 1101211012 4UUUUU 0 0 2h 2h 1 对建立差分格式 首先对直接应用五点差分格式 00 U 00 U 10100 10100 4UUUUU 2 显然 与是网格虚点 需要消去 为此 在利用x 0 y 0的边界有如下 差分格式 10 U 0 1 U 101000 2UUhU 3 010 100 2UUhU 4 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 联立 2 4 得 100100 22 422 UUhh U 0 h 5 类似 对建立差分格式分别为 02 U 20 U 22 U 10 U 01 U 12 U 21 U 120102 22 422 6UUhh U 6 102120 22 422 8UUhh Uh 7 122122 22 422 UUhh U0 8 11200010 2 42 UUUh U3h 9 11020001 2 42 UUUh U3h 10 11202221 2 42 UUUh U4h 11 11022212 2 42 UUUh U 3h 12 联立 1 5 6 12 得 00 10 20 01 11 21 02 12 11 422 20200000 1 42 1020000 02 422 002000 100 42 20100 010141010 00102 42 001 000200 422 20 0000201 42 1 00000202 422 Uhh Uh Uhh Uh U Uh Uhh Uh Uhh 0 3 8 3 0 4 6 3 0 h h h h h h h 0 5 所以有 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 0 0 1 0 2 0 0 1 1 1 2 1 0 2 1 2 1 1 6202000000 1510200001 5 0220020004 1005201001 5 0101410100 0010250012 0002006203 0000201511 5 0000020260 U U U U U U U U U 解得 00 1 1844U 10 2 1317U 20 7 0172U 01 1 421U 11 1 9784U 21 2 8855U 02 0 4655U 12 1 4752U 22 1 4536U 4 解 1 将 节 点 以 自 动 顺 序 排 列 其 中 121 q TTTT UUUU 121 i T iiqi UUUU 则Dirichlet问题的差分格式可以写成方程组AU b 其中A B即为题中已给形式 b为由边界条件离散化后已确定的已知向量 2 考虑 A AUU 即有 121 11 21 A iiiA qqAq BUUU UBUUU UBUU 1 i 因B为对称阵 故存在正交阵Q使 121 TBB BP Q BQdiag B 用左乘以上各式 T Q 121 11 211 TTT A TTTT iiiA TTT qqAq Q BUQ UQ U Q UQ BUQ UQ U Q UQ BUQ U i 记则 T r VrQ U 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 121 11 21 BA iBiiA qBqAq VVV VVV VVV 1 i V V 选取以上方程组中的每一个小方程组的第j 个方程得到 1 2 1 1 1 2 1 1 B jjjAj B j ijj ij iAj i B j qjj qAj q VVV VVV VVV j 1 2 p 1 这是一齐次三对角线性方程组 若要使其有非零解 则系数行列式值为零 1 11 0 1 B jA B jA B jA 根据三对角阵特征值公式有 2cos 1 2 1 AB l ljq lq 42cos 1 2 1 B m mp mp 于是证得 42 coscos 1 2 1 1 2 1 lm l mpq lpmq 3 求解AU b的Jacobi迭代矩阵为 1 GDLU 因为ADL U 所以 11 GDDAID A 设x为A的对应于 G lm 的特征向量 于是 1 1 4 1 A lm GxID A xx 这说明x也是G的特征向量 对应的特征值为 11 42 1 42 coscos coscos 1 2 1 1 2 1 G lmlm lmpqpq lpmq 因在 0 上 cos 为减函数 于是 1 2 max coscos G lmpq G 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 5 解 原方程组的系数矩阵为 122 111 221 A 将矩阵A分裂如下形式 100000022 010100001 001220000 ADLU 1 Jacobi迭代矩阵记为 Guass Seidel的迭代矩阵记为G J 1 022 10 220 JDLU 1 1 100022022 110001023 221000002 GDLU 通过计算得 5 0 5811 101J 故原结论成立 6 解 方法同第5题 此处省略 7 解 原方程组的系数矩阵为 410 162 024 A 将矩阵A分裂如下形式 400000010 060100002 004020000 ADLU Jacobi迭代矩阵记为 Guass Seidel的迭代矩阵记为G SOR迭代矩阵记为 JS 1 4 1 11 63 1 2 00 0 00 JDLU 0 4564J 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 1 1 40001001 40 16000200 04171 3 02400000 02080 1667 GDLU 0 2083G 1 1 1 4003 21 800 80 450 1 86004 83 60 240 6650 6 03 64003 20 2160 59850 26 SDwLw DwU G 即有 SJ 故Guass Seidel迭代法的收敛最快 SOR迭代法收敛最慢 8 解 五点差分格式 1 2 3 1 1 11 1 1 2 0 4 0 3 40 3 0 1 2 3 00 1 2 3 sin0 1 2 3 4 4 00 1 2 3 4 l lmlml mlml ml m m m m l l UUUUUU Ummm Um Ull Ul 矩阵形式 AUK 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 其中 410 141 014 BI BA IB 3 2 sin1 sin2 0 0 2 7071 1 0 7071 2 0 0 44 1 0835 0 7405 0 4168 0 8863 0 4616 0 2196 K U 1 0 29480 09320 02820 08610 04970 0195 0 09320 32300 09320 04970 10560 0497 0 02820 09320 29480 01950 04970 0861 0 08610 04970 01950 29480 09320 0282 0 04970 10560 04970 09320 32300 0932 0 01950 04970 08 A 610 02820 09320 2948 Jacobi迭代公式 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 4 nnnnn l mlmlml ml m UUUUUlm Gauss Seidel迭代公式 1 1 1 1 1 1 1 1 4 nnnnn l mlmlml ml m UUUUUlm 1 2 3 1 2 9 解 00 0 464 16 fyay ab b ab a 设 b 五点差分格式 1 1 1 1 0 0 3 4 4 40 0 0 0 1 2 3 4 161 2 3 lmlml ml ml m m l l m UUUUU U U Ul Umm l 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 矩阵形式 AUK 其中 4100 141 0140 BI BAIBI IB 2 8214 6 3929 11 0000 4 8929 11 0000 21 6071 5 0000 14 1071 31 6786 K 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 第四章第四章 双曲型方程的差分方法双曲型方程的差分方法 1 解 2 13abxcxy 代入 4 2 得 23 3019278dyx dxyxAA A 特征线 特征线通过 上点 即 3 8yx 0 R x2 R x 特征关系 3 8 dudu a x yc x yxyduxxdx dxdx 24 8 24 xx ux B 4 代初始条件及 上点 2 0 22 2228 21B B 或 24 81 24 xx u 4x 在点 3 19 59 14 75 4 u 2 解 12 x abc u x 0 1 0 0 20 x dydxadybdx u aducdx duxdx 2 由 2 特征关系 2 uxA i 在边界 2 0 00 0 x xyuux 上 特征方程的解为 特征线由 1 解出 yxB 沿 0出发的特征线为 R y R yxy 过点 2 5 的特征线 523 R yyx 即 ii 在边界y 0 x 0上 2 A 0 0 y uux 代入 沿点上 特征方程的解 0 R x 22 R uxx 由特征线 1 22 22 2 2 R R x dydxyxx xx 过点 5 4 的特征线 222 453 RR xxyx 即9 电子文档制作 成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良 2010 年4 月 成都信息工程学院 精品课程 微分方程数值解 iii 求初始条件 0 yux 上的解 在y 0上 由 在点 出发的解 2 uxA 0 R x 22 RRRR 2 xxA uxxx 代入特征线 22 RR x dydx xxx 特征线 22 RR yxxxB 通过 0 R x 22 0 RRRR xByxxxx 通过R 4 0 的特征线上P 4 05 y 处的y及u的解析解为 22 22 4 054440 0982 4 05444 4025 y u iv 计算近似值 由 4 9 1 和 4 9 2 1 000 1 000 pp pp ayybxx auucxx 0 0 05 由 得 000 4044 p xyux 1 1 1 1 1 0 2 4 054 1 4 8 4 054 2 0 050 18 0 0544 4 p p pp y