第11讲 空间中垂直关系的判定与性质.doc

空间中垂直关系的判定与性质一基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫作平面的垂线，平面叫作直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理文字语言符号语言图形语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直l2.二面角（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面（2）二面角的记法：如图，记作：二面角AB，也可记作2AB.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直（2）判定定理文字语言符号语言图形语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直4.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行ab5.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面a二典例精析题型一：线面垂直的判定例1：如图所示，在RtABC中，B90，且S为所在平面外一点，满足SASBSC.D为AC的中点求证：SD平面ABC.证明：在RtABC中，B90，且D为AC的中点，BDADDC.又SASBSC，SD为公共边，SBDSADSCD，SDBSDASCD90，SDAD，SDBD，ADBDD，SD平面ABC.变式训练1：如图，已知AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PAO所在的平面，AFPC于F，求证：BC平面PAC.证明：因为AB为O的直径，所以BCAC.因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.因为PAACA，所以BC平面PAC.题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD的棱长都相等，E，F，G，H分别为AB，AC，AD，BC的中点求证：平面EHG平面FHG.证明：如图，取CD的中点M，连接HM，MG，FM，则四边形MHEG为平行四边形连接EM交HG于O，连接FO.在FHG中，O为HG的中点，且FHFG，所以 FOHG.同理可证FOEM.又HGEMO，所以FO平面EHMG.又FO平面FHG，所以平面EHG平面FHG.变式训练2：如图，在空间四边形ABDC中，ABBC，CDDA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点:求证：平面BEF平面BDG.证明：ABBC，CDAD，G是AC的中点，BGAC，DGAC，又EFAC，EFBG，EFDG.EF平面BGD.EF平面BEF，平面BDG平面BEF.题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，BCA90.点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由证明：(1)PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC.又PAACA，BC平面PAC.(2)存在点E使得二面角ADEP为直二面角由(1)知BC平面PAC，又DEBC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP为二面角ADEP的平面角又PA底面ABC，PAAC.PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时，AEP90.故存在点E使得二面角ADEP是直二面角变式训练3：如图所示，PA平面ABC，ACBC，AB2，BC，PB，求二面角PBCA的大小解：PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，BC平面PAC.又PC平面PAC，BCPC.又BCAC，PCA为二面角PBCA的平面角在RtPBC中，PB，BC，PC2.在RtABC中，AB2，BC，AC.在RtPAC中，cosPCA，PCA45，即二面角PBCA的大小为45.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EFA1D，EFAC.求证：EFBD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD.DD1平面ABCD，AC平面ABCD.DD1AC.又ACBD，且BDDD1D，AC平面BDD1.BD1平面BDD1，BD1AC.同理可证BD1B1C.BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，且ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.变式训练3：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EFA1D，EFAC.若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG平面AB1C?解：若EG平面AB1C，因为BD1平面AB1C，所以EGBD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG平面AB1C.题型五：面面垂直性质定理的应用例5：已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，求证：PA平面ABC.证明：如图所示，在BC上任取一点D，作DFAC于F，DGAB于G，平面PAC平面ABC，且平面PAC平面ABCAC，DF平面PAC，又PA平面PAC，DFPA，同理DGPA，又DFDGD且DF平面ABC，DG平面ABC，PA平面ABC.变式训练5：如图所示，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，M为BC的中点求证：AMPM.证明：如图连接AP.矩形ABCD中，ADDC，BCDC，又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDDC，AD平面PDC，BC平面PDC，又PD平面PDC，PC平面PDC，ADPD，BCPC，在RtPAD和RtPMC中，易知AP2AD2PD2(2)22212，PM2PC2MC222()26，又RtABM中，AM2AB2BM222(2)26，AP2PM2AM2，AMPM.题型六：垂直关系的综合应用例6：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：EF平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM平面BCE.证明：(1)因为平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCDAB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，ABAE，所以AEB45.又因为AEF45，所以FEB90，即EFBE.因为BC平面BCE，BE平面BCE，BCBEB，所以EF平面BCE.(2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊 AB綊PC，所以PMNC为平行四边形所以PMCN.因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM平面BCE.变式训练6：如图，四棱锥SABCD中，SD平面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，SD2，BCBD，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.(1)证明：DE平面SBC；(2)证明：SE2EB.证明：(1)连接BD，SD平面ABCD，故BCSD，又BCBD，BDSDD，BC平面BDS，BCDE. 作BKEC，K为垂足，因平面EDC平面SBC，故BK平面EDC，BKDE. 又BK平面SBC，BC平面SBC，BKBCB，DE平面SBC. (2)由(1)知DESB，DBAD.SB，DE，EB，SESBEB，SE2EB. 三.方法规律总结1线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直2在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直3空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题四：课后练习作业一、选择题1设l、m为不同的直线，为平面，且l，下列为假命题的是(B)A若m，则mlB若ml，则mC若m，则ml D若ml，则m【解析】A中，若l，m，则ml，所以A正确；B中，若l，ml，则m或m，所以B错误；C中，若l，m，则ml，所以C正确；若l，ml，则m，所以D正确2在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(A)A平面A1DCB1 B平面DD1C1C C平面A1B1C1D1 D平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCDA1B1C1D1为正方体可知，AD1A1B1，AD1A1D.故AD1平面A1DCB1.3如图，在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC【解析】由题意知BCDF，且BCPE，BCAE.PEAEE，BC平面PAE，BC平面PDF成立，DF平面PAE成立，平面PAE平面ABC也成立4设、是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(C)A若l，则lB若l，则lC若l，则l D若l，则l【解析】A错，可能l；B错，可能l；C正确；D错，不一定l.5设平面平面，且l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b (B)A可能垂直，不可能平行 B可能平行，不可能垂直C可能垂直，也可能平行 D不可能垂直，也不可能平行【解析】当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作bl，平面平面，b平面，从而ba，又由假设ab易知a平面，从而al，这与已知a不与l垂直矛盾，假设不正确，a与b不可能垂直6空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是BCD的(A)A外心 B内心 C重心 D垂心【解析】设A点在平面BCD内的射影为O.可知，OABOACOAD.OBOCOD，点O为外心7下列说法中正确命题的个数为(B)如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线A0B1C2D3【解析】如图(1)所示，l与相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直故错误；如图(2)所示，l与平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故错误；如图(3)所示，直线l与平面的垂线m垂直，但l不在平面内；由线面垂直的定义可知，正确8如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(A)AAG平面EFG BAH平面EFGCGF平面AEF DGH平面AEF【解析】AGGF，AGGE，GFGEG，AG平面EFG.9如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABAD，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(B)A平面ADC平面BDCB平面ABD平面ABCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC【解析】在图中，BAD90，ADAB，ADBABD45.ADBC，DBC45.又BCD45.BDC90，即BDCD.在图中，此关系仍成立平面ABD平面BCD，CD平面ABD.BA平面ADB，CDAB.BAAD，BA平面ACD.BA平面ABC，平面ABC平面ACD.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持APBD1，则动点P在(A)A线段B1C上B线段BC1上CBB1中点与CC1中点的连线上DB1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1平面AB1C.若AP平面AB1C，则APBD1.这样只要P在B1C上移动即可二、填空题11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是_垂直【解析】ABCD是正方形，ACBD.又D1D平面ABCD，AC平面ABCD，D1DAC.D1DDBD，AC平面BB1D1D.AC平面ACD1，平面ACD1平面BB1D1D.12如图所示，已知PA平面，PB平面，垂足分别为A、B，l，APB50，则二面角l的大小为_130【解析】如图，设平面PABlO，连接AO，BO，AB，PA，l，PAl.同理PBl，而PBPAP，l平面PAB，lAO，lBO，AOB即为二面角l的平面角结合图形知AOBAPB180，AOB130.13如图，已知平面平面，在与的交线l上，取线段AB4，AC、BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且AC3 cm，BD12 cm，则CD_.13 cm【解析】连接BC.因为平面平面，且l，又因为BD平面，且BDl，所以BD平面.又BC平面，BCBD.所以CBD也是直角三角形在RtBAC中，BC5.在RtCBD中，CD13.所以CD长为13 cm.14，是两个不同的平面，m，n是平面与之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.若，则(或若，则)【解析】利用面面垂直的判定，可知为真；利用面面垂直的性质，可知为真15如图平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，则AD_a【解析】如图所示，取BC的中点E，连接ED，AE，ABAC，AEBC，平面ABC平面BDC.AE平面BDC，AEED.在RtABC和RtBCD中，AEEDBCa，在RtAED中，ADa.三、解答题16如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N.求证：AN平面PBM.证明:设圆O所在的平面为，PA，且BM，PABM.又AB为O的直径，点M为圆周上一点，AMBM，直线PAAMA，BM平面PAM.又AN平面PAM，BMAN.这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直故AN平面PBM.17如图所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC且ASBASC60，BSC90.求证：平面ABC平面BSC.【证明】（法一）取BC的中点D，连接AD，SD.ASBASC，且SASBAC，ASABAC.ADBC.又ABS是正三角形，BSC为等腰直角三角形，BDSD.AD2SD2AD2BD2AB2AS2.由勾股定理的逆定理，知ADSD.又SDBCD，AD平面BSC.又AD平面ABC，平面ABC平面BSC.（法二）同法一证得ADBC，SDBC，则ADS即为二面角ABCS的平面角BSC90，令SA1，则SD，AD，SD2AD2SA2.ADS90.平面ABC平面BSC.18如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，分别交AC、SC于D、E，且SAABa，BCa.(1)求证：SC平面BDE；(2)求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小(1)证明：SA平面ABC，又AB、AC、BD平面ABC，SAAB，SAAC，SABD，SBa.BCa，SBBC.E为SC的中点，BESC.又DESC，BEDEE，SC平面BDE.(2)由(1)及BD平面BDE，得BDSC.又知BDSA，BD平面SAC.BDAC且BDDE.CDE为平面BDE与平面BDC所成二面角的平面角ABBC，ACa.RtSAC中，tanSCA，SCA30.CDE60，即平面BDE与平面BDC所成二面角为60.MDBPCA19.如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，且为正三角形. （1）求证：；（