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第二节 一 对坐标的曲线积分的概念与性质 二 对坐标的曲线积分的计算法 三 两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章 引例 变力沿曲线所作的功 设一质点受如下变力作用 在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 求移动过程中变力所作的功W 恒力沿直线所作的功 大化小 常代变 近似和 取极限 解决办法 1 定义 2 性质 1 L可分成k条有向光滑曲线弧 2 L 表示L的反向弧 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 3 计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧 2 格林公式 3 等价条件 在D内与路径无关 在D内有 对D内任意闭曲线L有 在D内有 设P Q在D内具有一阶连续偏导数 则有 4 两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧 斯托克斯公式 例1 计算 其中L为 1 抛物线 2 抛物线 3 有向折线 解 1 原式 2 原式 3 原式 例2 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线 解 令 设L所围区域为D 由格林公式知 在D内作圆周 取逆时 针方向 对区域 应用格 记L和l 所围的区域为 林公式 得 例3 计算 其中L是沿逆 时针方向以原点为中心 解法2令 则 这说明积分与路径无关 故 a为半径的上半圆周 解法1 它与L所围区域为D 利用格林公式 则 添加辅助线段 例4 验证 是某个函数的全微分 并求 出这个函数 证 设 则 由定理2可知 存在函数u x y 使 例5 将积分 化为对弧长的积 分 解 其中L沿上半圆周 P245例6 求力 沿有向闭曲线 所作的 其中 为平面x y z 1被三个坐标面所截成三 提示 方法1 从z轴正向看去沿顺时针方向 利用对称性 角形的整
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