第5章 混合系统建模与仿真.doc

第5章 混合系统建模与仿真5.1 混合系统概述5.1.1 混合系统的定义及其特点对于混合系统，目前还未形成统一的和公认的定义。但是，通常认为，一个混合系统应该具有如下的几个特征：（1）系统中同时包含按照离散事件系统机制演化的离散事件和基于连续系统规律的连续变量，系统状态的演化过程是一种“混合”运动过程。（2）系统中离散事件和连续变量之间依据某种规则构成相互作用，离散事件过程和连续变量过程是相互约束的。（3）系统的状态是随时间而演化的，即系统具有一个动态系统的基本特征。混合系统的研究对象相当广泛，例如：制造工业中的制造系统：按照加工流程，零部件会被传输到一台指定的加工机器，机器完成这一部件加工的过程是一个时间驱动的动态过程，但是只有在部件到达时，机器才开始加工操作，这又属于事件驱动，所以整个制造过程既包含时间驱动动态又包含事件驱动动态，因此在制造过程进行整体优化时，就需要采用混合系统来更完整细致地刻画整个制造系统的动态行为。离散的规划算法与连续过程交互时也用到混合系统，这为自主的智能系统提供了分析综合的基本框架与方法。混合系统在描述复杂系统的分层结构时也很有用，例如：化工过程控制系统、空中交通管理系统及计算机通讯网络等。给出一个典型的混合系统的例子：水位控制系统，满水水位为h，截面积为单位面积，进水阀u1的开关和持续时间是随机的，速度为v1=0.2h/m。其控制目标是通过控制阀门u2将水位稳定在0.4h0.6h之间。混合系统实例水位控制控制策略是：（1）在水位上升过程中，当水位高出0.6h时，u2延迟两分钟后以0.1h/m的速度排水；当水位高出0.8h后，系统报警，u2马上以0.2h/m的速度排水。（2）在水位由高水位下降时，降过0.8h后停止报警，继续以0.2h/m的速度排水；当水位降过0.6h时，u2以0.1h/m的速度排水；当水位低过0.4h时u2停止。阀门u2的开关情况如下图：阀门u2流速控制方案通过上述实例，可以看出，与连续系统和离散事件系统不同，混合系统在演化机制上具有自身特点：（1）混合系统中离散事件的类型，根据其产生的原因，可分为输入事件、内部事件和输出事件。输入事件：指人为地加到系统中的事件和由系统环境加到系统中的外部事件，它是不确定的，在很多情况下我们可以认为它是随机的。内部事件：混合系统运行过程中所产生的事件，它是表征系统状态的反应，它可能是连续变量驱动的，也可能是由其他事件引发的。输出事件：指混合系统中可观测到的输入事件和内部事件。由于外部事件发生时刻的离散和异步，使得其驱动下的连续变量将失去时间驱动下微分方程解的一些重要性质。同样，由连续变量所推动的内部事件，则常呈现非随机的/不确定的特点，一方面这些事件不是任意的，另一方面这些事件也不是随机的。（2）按照系统是否包含有外部输入，可把混合系统分类为自治混合系统和非自治混合系统。自治混合系统：系统既没有输入事件，也没有连续输入量，即没有任何外部输入；非自治混合系统：系统有外部输入，包括输入事件和连续输入量。事实上，在一定条件下，通过对考察对象的选择和适当的假设，一个非自治混合系统可以转化为自治混合系统。（3）对混合系统的研究，不能回避连续系统而简单的归结为对离散事件系统的研究，也不能回避离散事件系统而简单的归结为对连续动态系统的研究。（4）混合系统模型的复杂性并不意味着混合系统在处理上的困难性。由于同时包含连续动态系统和离散系统，使得混合系统在模型描述能力增强的前提下，模型复杂性也大为增加，但这并不意味着对具体的混合系统模型一定比连续动态系统或离散事件系统更难于处理。事实上，不少例子都说明了这一点。如：某些光滑非线性连续系统的镇定，已被证明只能通过非光滑的离散事件系统型控制器来实现；在具有约束的连续系统的最优控制中，控制器必为离散时刻呈跳跃变化的开关型即离散事件系统型控制器；在离散事件系统的某些排队模型求解过程中，引入连续流模型被认为是近似求解优化问题的一种有效方法。5.1.2 混合系统的结构分类混合系统的研究是从具体的对象和问题中抽象出来的，因此，我们可以依据其结构和功能将混合系统分为若干子类。这些子类在模型结构、演化机制、控制目的和方法上都有各自的特点。1 切换型混合系统切换型混合系统所针对的是“多个控制器控制一个连续对象”的一类混合动态系统问题。例如，对于由计算机所控制的一个生产过程，计算机中存有多个可供选择的控制程序及控制算法，并可根据生产过程的实际检测数据来决定采用那个控制算法，当选定不同的控制程序时，所组成的闭环控制系统将服从不同的微分方程，但被控对象的状态始终是连续的，由此构成一个切换型混合系统。一般，切换系统所遵循的动态模式，只限于在有限个已知的连续变量微分方程的范围内。对于每个时间区间，切换系统的状态方程唯一，且属于已知连续变量微分方程范围内的一个模式。在切换时刻，系统状态满足连续性要求。对于线性切换系统，系统状态方程和输出方程的一般形式可表示为：其中，为状态，为输出，为输入，A，B，C为相应维数的系数矩阵，称为方程模式，即系数矩阵的切换序列，且取值于1，2，N，N为正整数。对上述模式切换序列，通常可采用“模式-切换时刻对”序列的形式来给出。其中，表示系统第次切换所进入的模式，表示第切换发生的时刻，且约定有。目前，线性切换系统已经得到了较多的研究，对非线性切换系统也有所研究，研究重点主要涉及切换系统的能控性和稳定性。2. 水箱型混合系统水箱型混合系统的原型是广泛存在于制造系统和数据通信系统中的“处理器缓冲器”网络，它是由若干个“水箱”及其相应的“阀门”联结成的一个系统。制造系统中的“机器缓冲器”网络是一类最典型的水箱型混合系统：流体-工件，水箱-缓冲器，阀门-机器。输入液体流-毛坯件或中间件的进入输出液体流-成品或完成件的离开阀门-机器控制量包括两个层次：由调度策略所决定的“阀门开关量”和“液体流出阀门的速度”。对此，水箱型混合系统中，在阀门及其相连接的每个水箱之间分别设置有一个开关量，其取值对应于阀门与相连接的水箱的通断关系。对于水箱型混合系统，路由选择机制和阀门开关的实时调度策略，构成了影响系统性能的关键因素。 目前，在水箱型混合系统的研究中，调度策略的稳定性是主要研究问题之一，而Lyapunov类方法仍然是主要的研究手段。3. 集中控制型混合系统是工程实际问题中抽象出来的一类混合动态系统，其基本特征：由一个中心控制器按某种调度策略分时地控制多个被控对象，由此构成了具有层次性和分时性特点的一类混合系统。其提出是和计算机在现代工业中的广泛应用密切相关的。在把计算机作为中心控制器按分时方式控制多个过程或动态对象的问题中，计算机不仅需要根据系统信息的采样值通过控制算法来产生相应的控制信号，而且需要按设定的准则决定如何在各被控对象之间分配用于进行闭环控制的时间。在这类问题中，过程或动态对象属于连续变量动态系统的范畴，而中心控制器对各被控对象之间控制时间的分配属于离散事件动态系统的范畴，两者的相互作用和相互制约组成了混合系统。设某集中控制型混合系统有一个中心控制器和N个被控对象所组成。被控对象设为单输入线性定常系统，其状态方程为，.其中，为维状态向量，为标量输入。并且，假定个被控对象均为完全能控的。进而约定，中心控制器在任意时刻必须且只能对一个被控对象进行控制。这样，在任意时刻，接受控制的被控对象以状态反馈的闭环控制方式运行，其余未接受控制的被控对象则按开环方式运行。稳定性是集中控制型混合系统最主要的性能指标。该类系统的稳定性取决于所采取的调度策略，不同的调度策略将导致系统或为稳定或为不稳定。从工程应用的角度，对稳定调度策略的基本要求可归结为三个方面：一是可镇定性，二是可实现性，三是可实时性。4. “旅行商型”混合系统旅行商问题（TSP），是一类经典的组合优化问题。其原问题是，设有N个不同的“城市”，旅行商要遍访全部“城市”，且每个只能访问一次，要来寻找一条访问路径使“代价”最小。“旅行商型”混合系统是从众多工程实际问题中抽象出来的一类典型的混合系统。它是具有TSP遍历访问多个“城市”特征的一类混合系统，不同于TSP的是，是由一个“城市”到另一个“城市”的过程为一个连续过程。这类问题具有两个基本的特点，一是问题在宏观上属于离散事件动态系统，即要对分布于不同位置的若干个“点”的遍历路径作出决策；二是在微观上属于连续变量动态系统，即“点”到“点”之间的运动过程要以微分方程描述的系统模型来决定。并且，在这两者之间存在着相互的影响，这就使得“旅行商型”混合系统不能简单的等同于经典的旅行商问题。工程上，旅行商型混合系统的例子：计算机中磁盘批量数据的存取，钻头对印刷电路板上的“孔点”的打孔，加工生产线中向立体仓库存取工件或坯件等。这些问题中，总体表现为“旅行商”遍历访问各个“地点”的过程，而“点-点”之间则是一种“定位”和“访问”过程。定位过程表现为运动装置由一个目标位置到另一个目标位置的运动过程，要求具有满意的精度，所需的定位时间既与定位过程的起点和终点的距离有关，也与运动装置的动态特性有关。访问过程体现为定位后在目标位置上完成有效的操作，如存取数据或工件、钻孔加工等，通常可把操作时间是为一个常值。对于“旅行商型”混合系统，需要研究的一个基本问题是路由调度问题。对此，一种简单的做法是，忽略“点-点”之间的动态过程，直接将其当成一个经典旅行商问题来处理，但是在基于实时或效率而对时间要求很高的情况下，这种做法将以牺牲系统的品质为代价，因而不是一种合理的方法。在这里，一般的方法是，在系统满足Lyapunov渐进稳定的前提下，通过等价寻优的方法求解。5. 递阶型混合系统递阶型混合系统是用于时间或空间具有明显层次的一类混合动态系统。在这种系统中，采用递阶的建模和分析方法，可把整个系统划分为若干个层面的子系统。其中，上层向下层的输出作为下层的给定量，下层向上层的输出作为上层需要的观测量。在不同的层面上，只是处理相应的时间尺度或空间范围内的问题。递阶型混合系统的提出有着重要的工程背景：一是基于处理系统分析和控制问题中计算复杂性的需要。例如，制造系统的生产计划和优化调度问题，对于极为简单的情况可以得到精确最优解外，对一般制造系统，由于生产产品数量大，品种多、工艺路线复杂，使在采用传统的组合优化和混合整数规划方法时将会面临计算复杂性的问题。但是，如果把制造系统的这类问题分解成为不同时间层次上的递阶系统来处理，那么已经证明是一种行之有效的方法。二是基于逻辑问题的连续对象控制中愈来愈大的重要性。例如，对一个批量化工生产过程，除了连续变量过程外，还包括物流调度、安全监测、大扰动处理等逻辑性问题，因此，对此类化工生产过程的控制需要采用递阶型混合系统控制，上层为逻辑控制，下层为连续变量控制。再如，随着机电一体化技术的发展和应用，已经出现了由计算机软件控制的具备多样化功能的多种运动机械，这类装置的控制明显属于递阶控制问题。递阶混合系统的一般结构如图，就第n层而言，输入包括系统外部输入，下一层即第n+1层的观测量，上一层即第n-1层的控制量等三部分； 输出包括系统向外部的输出，向上一层即第n-1层提控的观测量，向下一层即第n+1层发出的控制量等三部分。递阶型混合系统的一般结构对递阶型混合系统，其控制的综合通常是一个自上而下的求解过程。首先，将控制任务按层次进行分解，来抽象出每个层次所需要的控制规范。最后，从最上层次开始，依次求解相应的控制问题，其中把依赖于下一层观测量的控制作为下一层的控制，直到确定出所有层次的控制。具体说来，对一个具有N个层次的递阶型混合系统，其控制求解过程为：对第1层，求解相应的控制问题，将其中依赖于下一层观测量A2的控制量U2作为第2层的控制对第2层，求解相应的控制问题，将其中依赖于下一层观测量A3的控制量U3作为第3层的控制对第N-1层，求解相应的控制问题，将其中依赖于下一层观测量An的控制量Un作为第n层的控制基于对不同“客体”划分层次，可把递阶型混合系统分为“时间划分产生的递阶型混合系统”和“空间划分产生的递阶型混合系统”。按时间划分的含义是，依不同类型时间发生的频率，将一个包含事件的动态系统分成为不同层次的模型，把频率处于相同数量级上的时间确定为一个层次的模型，发生频率远高于某个频率的所有事件采用连续变量来描述，发生频率远低于某个频率的时间所对应的逻辑变量取值为常值。于是，把系统分成两个层次：计划层和实时调度层。在每个层次的模型上，都只需要考虑相对较少的事件类型和较为简单的动态系统，从而使系统的整体分析与控制问题可分解成为若干个简单系统的分析和控制问题。此时的系统功能和结构特点与切换型混合系统类似，其研究方法可借鉴。按空间划分是指，通过将系统中的连续对象状态空间划分为可数个块来构成递阶型混合系统。对这类系统的研究主要集中在块内能控和块间能控。5.1.3 混合系统的研究现状围绕混合系统的建模、属性分析及控制器综合等问题，内外学者开展了一系列研究，提出了许多引人注目的理论框架和方法。这些方法有各自的出发点和侧重点，广义上，可按照其更强调连续动态或离散动态的复杂性而划分为两大类。一类混合系统的研究建立在传统连续系统理论的基础上，拓展了表示连续变量和时间的微分方程，以包含体现状态跳变的离散时间和变量。从而可以表示模式切换系统.通常这类研究方法能处理复杂的连续动态，更强调混合系统稳定性、可控性及可观性等方面的结论。另一类混合系统研究的思路则是把离散事件系统(DES)中有关的校验(verification)和监控理论拓展到混合系统领域。通常这类方法能处理由自动机或Petri网等描述的复杂的离散动态，解决的问题主要侧重于性能需求的校验及控制器综合。5.2 混合系统的形式化描述5.2.1 混合系统建模概述由于连续与离散动态特性的共存和相互作用，对于混合系统的形式化描述（即建模），其过程必然面临三个基本问题，即需要对连续变量动态、离散事件动态、相互作用给出相应的描述。（1）对系统中连续变量动态的描述。通常，描述具有微分方程或差分方程的形式。（2）对系统中离散事件动态的描述。一般，描述表现为逻辑变量的演化规律。（3）对系统中离散事件和连续变量相互作用的描述。通常，把离散事件对连续变量的作用体现为，在部分微分方程或差分方程中引入离散输入，也即使方程中包含反应逻辑状态的参数或输入量，而逻辑状态的演化是受离散事件驱动的。把连续变量对离散事件的作用体现为，使部分离散事件的发生和逻辑状态的演化，由连续变量的取值或由其定义的事件函数的取值变化来触发。基于以上的分析，对混合系统建模和描述，最有效的方法是将连续系统和离散事件系统地描述有机的结合起来，充分利用现有模型的特长。这就需要至少将某一类经典的模型和描述拓广，或者将连续动态系统的模型嵌入到离散行为的描述中去，或者将离散行为描述嵌入到连续动态模型中去。1基于扩展离散事件系统描述的混合系统模型比较典型的结构模型主要有：R.Alur的混合自动机（Hybrid Automata）,T.A.Henzinger 的阶段转移系统（Phase Transition System），N.Lynch的混合输入输出自动机（Hybrid I/O Automata）以及J.L.Bail的混合Petri网（Hybrid Petri Nets）等，其共同的思想是将描述连续动态行为的微分方程组嵌入到传统的状态机或Petri网中。在这类模型中，系统的演化过程有两种可能：（1）在同一离散状态下的连续动态演化过程；（2）不同离散状态间的离散切换，一方面当前离散状态切换到下一个离散状态，同时连续状态可能被重新赋值。单个的混合自动机只适合描述序列行为，而实际复杂系统中不仅具有序列行为，而且还有并发、同步以及分布式的特性，因此人们还讨论了多个混合状态机的合并或利用混合Petri网建立复杂系统模型。此外，还有一些基于扩展时态逻辑的混合系统模型描述，如周巢尘的EDC语言等。这些模型具有严格的逻辑和时序关系，但符号和演绎规则繁琐，而且最初提出是为了混合系统的描述和验证，并未考虑到控制问题。针对混合系统的控制问题，N.Lynch等提出适合控制分析、设计和综合的HIOA模型。此模型充分揭示混合控制系统的控制机制，提供了方便的分析和设计界面。2.基于扩展连续动态系统描述的混合系统模型将混合系统中的离散特性转化为连续动态系统模型中的参数特性，即使连续模型中某些参数具有逐段连续的特性，从而建立完整的混合系统模型。如H.Park将线性跳系统与有限自动机结合作为混合控制系统的模型，系统可描述为：此类模型大大方便了控制理论在混合系统研究中的直接应用，但由于较强的模型局限性，只能适于范围很窄的一类混合系统。5.2.2混合系统的Petri网描述1. Petri网概述Petri网是由德国的C.A. Petri博士在1962年提出的研究信息系统及其相互关系的数学模型。经三十多年的发展，Petri网理论日臻完善，已具有多种分析方法和严密的数学基础，并在自动控制和计算机科学等领域得到了广泛的应用。Petri网能较好的描述系统的结构，表示系统中并行、同步、冲突及因果依赖等关系，并以网图的形式，简洁、直观的模拟离散事件系统，分析系统的动态性质，易于在所构造的模型的基础上直接实现控制系统。系统模型是对实际应用系统的抽象。网系统以研究系统的组织结构和动态行为为目标，着眼于系统中可能发生的各种变化间的关系。网论并不关心变化发生的物理性质，只关心变化发生的条件及发生后对系统状态的影响。在Petri网中，与系统状态发生变化有关的因素，称为资源。如原料、部件、产品、人员、工具、数据等。资源按其在系统中的作用分类，每一类放在一处，则该处抽象为一个相应的库所，它不仅表示一个场所，还表示在该场所存放了一定的资源。资源的消耗、使用及产生的对库所状态的变化，网论中称为变迁。一个Petri网是一个三元组N = (P，T ，F)，式中P和T分别是库所和变迁的有限集，F是由一个P元素和一个T元素组成的有序偶的集合，叫做流关系，满足。定义标识函数，。它给出每个库所内包含的“标记数”，一个“标记”可用一个点来表示。M的初始标识。Petri网实例如图，是一个Petri网的图形表示，N = (P，T ，F)，库所集P = p1, p2, p3, p4，变迁集T = t1, t2 , t3，流关系F = (p1, t1) , (t1 ,p1) , (p2, t1) , (p3 , t1) , (t2 , p2) , (t2 , p3) ,(p3 , t3) , (t3 , p4) , (p4 , t3)，M=1, 2, 0 ,0。对于Petri网图，定义容量函数，用于表示库所所能容纳的最大标识数；定义权函数,我们使用w(p , t) , w(t , p)表示各段弧的权重，它表示变迁发生时发生转移的标记数，默认值为1。如图w(p1 , t1) = 1 , w(t3 , p4) = 2。2. 混合Petri网的形式化定义混合Petri网是在传统离散Petri网的基础上发展形成的。其特点是，将库所和变迁区分为连续的或离散的两种类型，以表征连续变量过程和离散事件过程。在混合Petri网中，离散事件和连续变量被置于单一的框架内来考虑，易于分析两类变量之间的交互作用。一个混合Petri网是七元组：，其中（1）P为库所的非空有限集合，T为变迁的非空有限集合，且满足关系。（2），称为混合函数，用以指示节点（位置或变迁）是离散的（D）或连续的（C）。（3）Pre：输入关联映射，表示进入某变迁弧的权重，具有关系，如果，如果其中，表示非负实数集合，表示非负整数集合。（4）Post：输出关联映射，表示离开某变迁弧的权重，具有关系，如果，如果（5），用以为每一个变迁指定一个非负实数，其中，对离散型变迁D-变迁，为延迟时间；对连续型变迁C-变迁，可反映其最大发射速率，即最大发射速率。（6）M(0)：初始标识。对于混合Petri网，同样可采用图形表示，但形式上要复杂一些。为了描述形式化和程序设计的自动化，在这里作一约定（可能还有别的定义方式和描述方法，这一方法只是个人看法，不代表标准定义），如下：（1）图中包含的图形元素有：库所（连续和离散），变迁（连续和离散），流关系（输入和输出）；非图形元素有：标记数（连续称为token和离散称为marking）,权重（离散）和发生速度（连续），发生条件，时间延迟（离散变迁）。（2）关于库所的选择，我们应把描述系统状态的自由变量作为连续型库所，还有一些描述状态的离散量作为离散库所。我们还可以加入一些描述中间状态的库所，以便使描述更为自动化。（3）离散变迁的发生是瞬时的，连续变迁发生有持续时间，这是二者的区别。我们不允许一个变迁是混合的，必要的时候进行分解；我们也可以补充一些自定义变迁。（4）发生数量减少的库所引出流，发生增加的库所引入流；另外有些库所是某些变迁发射的条件或原因，但本身不发生变化，这种库所我们认为它是引出流。（4）连续变迁的发生速度和离散变迁发生的权重，都标记在相应的流上；对于作为变迁条件的流关系，我们可以标记为0。（5）持续时间和延迟时间都可标记在相应的变迁内；发生条件标记在相应的流上。因此，库所的引出流上可能有发生条件和权重或速度。3. 混合Petri网的运行规则在混合Petri网中，由于同时涉及离散事件和连续变量及它们的相互作用，其状态演化的规则显得比较复杂，特别是，在变迁和库所连接的各种组合下，由变迁发射所引起的相关库所标记数的变化规则。一般而言，对于混合Petri网，其变迁的输入输出库所中，既有连续库所，又有离散库所。（1）离散变迁的发射规则对于混合Petri网，离散变迁发射的特征是，发射过程可以“瞬时”或“经过一个常值时间的延迟”完成，并且指引起固定数目的标识数的改变。因此，在变迁发射序列中，可以用次数来计算离散变迁发射的出现次数。考虑混合Petri网中离散变迁的输入库所为连续库所的情况，规定离散变迁一次发射所消耗的标记数等同于从连续库所到离散变迁的输入弧的权重Pre(,)。设连续库所中的标记数为m()，则离散变迁是使能的，当且仅当对其所有输入库所：且满足补充约定条件考虑混合Petri网中离散变迁的输出库所为连续位置的情况，设从离散变迁到连续库所的输出弧的权重为Post(,)，则在离散变迁完成一次发射后，输出库所中的标记数增加数等于Post(,)。这里所说的发生的条件，是指客观的或人为的约定。如图是一个离散变迁发生的实例。离散变迁的发生实例（2）连续变迁的发射规则在混合Petri网中，连续变迁发射的特征是，发射以一定的速率（不超过最大发射速率）进行，并引起标记数的连续变化。因此，在变迁发射序列中，以发射总量（发射速率对时间的积分）来计算连续变迁发射的出现次数。考虑混合Petri网中连续变迁的输入库所为连续或离散库所的情况，规定连续变迁一次发射所消耗的标记数等同于从连续或离散库所到连续变迁输入弧的权重Pre(,)乘以变迁的发射速率。设库所中的标记数为m()，则连续变迁为使能的，当且仅当对其所有输入库所，成立且满足补充条件考虑混合Petri网中连续变迁的输出库所为连续或离散库所的情况，设从连续变迁到连连续或离散库所的输出弧的权重为Post(,)，则在连续变迁完成一次发射后，输出库所中的标记数增加速率等于输出权重Post(,)乘以变迁的发射速率。连续变迁的发生实例上图是是一混合Petri网连续变迁发射的情况，T1以0.4的速率持续发射单位时间，这一变迁的源库所有离散的也有连续的。在这里，做这样的补充，我们不能认为只有标记数发生变化的库所才是变迁的源库所。事实上，有些情况下某些库所是作为变迁的发生条件存在的，但它在该变迁发生过程中不发生变化。4混合Petri网的关联矩阵对于混合Petri网，我们引入关联矩阵的W。考虑变迁和库所，Pre(,)为从库所到变迁输入弧的权重，Post(,)为从变迁到库所的输出弧的权重，则关联矩阵W定义为W = 其中 = Post(,) Pre(,)。如图是一个混合Petri网，我们可以给出其Pre(,)，Post(,)和W阵。对于Pre(,)，为1的有，Pre(p1, t1)，Pre(p2 , t1)，Pre(p3 , t2) ，Pre(p4,t2) , Pre(p2 , t3) , Pre(p4 , t4)，其它的为0；对于Post(,)，为1的有Post(p1, t2), Post(p2, t4), Post(p2, t1), Post(p3 , t1), Post(p4 , t3), Post(p4,t2)，其余的为0。由此，我们可以得到其W阵：进而，对混合Petri网的变迁集合，引入两个表示发射情况的向量：，其中，向量的元素表示0到时刻t之间离散变迁的发射次数，相应于连续变迁的分量设置为0；向量的元素表示时刻 u 连续变迁发生的速率，相应于离散变迁的分量设置为0。对于一个混合Petri网，其标识数分布的演化过程，可有如下地推方程来给出：5.应用举例在这里，我们就前面的水箱水位控制系统使用本方法进行建模，如下图。由于图形较为复杂，我们将连续变迁和离散变迁分别用两幅图描述。水位控制系统Petri网的连续变迁水位控制系统Petri网的离散变迁在上面的网图中，连续库所有p3，表示水箱水位；离散库所有p1，表示阀门u1的状态，有标记数表示阀门开；p20有标记数1时，表示阀门u2关闭；p21有标记数时，表示阀门u2以低速排水；p22有标记数时，表示阀门u2以高速排水；p4表示警报状态，有标记数时表示警报响。离散变迁T1表示水位上升到0.6h，延迟2m开始低速排水；T2表示水位上升到0.8h，开始高速排水，并拉响警报；T3表示水位下降至0.8h，警报停止；T4表示水位下降至0.6h，改为低速排水；T5表示水位降至0.4h，停止排水。连续变迁T6表示水箱进水，T7表示低速排水，T8表示高速排水。通过这个实例，我们可以看到，由于混合Petri网中，变迁（事件）和库所（状态量）是分布描述的，这就使得该模型可以描述混合系统中普遍存在的冲突、并发和分布发生的事件。在上图中，p1可能会发生随机事件，在这里并未建模，这一问题的解决见下一章。我们注意到在这个模型中，我们对阀门u2使用了三个库所，他们是可以统一为一个的，在这里这么做只是为了使描述清晰。同时我们也可以看到，对一同一个系统，采用这一方法建模所得到的模型可能有多种形式。5.2.3混合系统的混合自动机描述混合自动机是在传统的自动机模型上演化而来的，R.Alur，T.Henzenger等学者从各自的研究角度向后提出了适用的建模方法。在传统自动机（有些地方也称为有限状态机）模型中引入时间描述后使得其能有效的描述混合系统的运动特性，为混合系统的仿真给出了一个可行的建模方案；针对系统的性能分析，特别是安全性和活性的校验，以及大系统的综合设计等方面的问题，也提出可行的方法和若干准则。当然，这一模型针对混合系统的描述也存在着若干问题，特别是在系统的状态空间分析等方面，缺乏完整的理论框架，Nancy.Lynch等提出的混合输入输出自动机（HIOA）,以控制器的综合为目的，从数学的角度做出了重大的改进。由于这里主要讨论的是仿真的建模和篇幅的限制，在这里只简要介绍混合自动机。1. 基本定义一个混合自动机H包含如下组成部分：变量系统的状态空间使用有限实数变量的集合描述，实数n称为H的维数。我们将计为，用以描述连续变化的一阶导数，将计为，用以描述系统在离散变化后的状态。控制图有限图的集合，集合中的节点称为控制模式，对应着系统的各个连续状态，集合中的连线称为控制开关，对应着连续状态的变迁。如下是一个简单的控制图，控制模式有v1，v2，v3，控制开关有e1，e2，e3，e4。初始条件，开关条件和流条件对应于每一个，我们都赋予三个方程条件，init，inv，flow用于判断。初始条件用于给定系统进入该状态时的初值，其自变量属于X；不变条件用于指定系统在该状态下运行时所满足的约束，自变量属于X；流条件用于描述系统在该状态下的运行规则，如微分方程等，其自变量属于。以上三条件可以赋空值。跳变条件对于每一个，我们可以赋一个跳变条件，用于描述系统在发生跳变时，所满足的赋值关系，其自变量属于。事件对应于每一个控制开关，我们可以为其定义一个事件，它属于有限事件集，于是我们有这样的映射关系：。如图，我们给出一个温控系统的混合自动机建模的实例。在这里，变量x表示温度。在控制模式Off中，加热器被关闭，温度按方程下降；在控制模式On中，加热器被打开，温度按方程上升。在初始情况下，加热器被关闭，温度为20度。依据跳变条件，温度降至19度以下时，加热器可能被打开；依据不变条件，加热器最迟在温度降至18度之前被打开。温控系统的自动机描述由以上的实例我们可以看出混合自动机可以用于对混合系统的完整描述。在这里，控制器的离散状态（discrete state）是由图中的各个节点，我们称之为控制模式（control modes）描述的；控制器的离散状态间的变迁即离散动态（discrete dynamics）则是由图中的连线，我们称之为控制开关（control switches）描述的；该系统的各个连续状态（continuous state）是由空间中的点描述的；连续动态（continuous dynamics）是由流条件（flow conditions）,如微分方程等描述的。系统的行为依赖于控制器的状态：每一个控制模式决定一个流条件，每一个控制开关可能会导致系统状态的离散变化，控制开关的使能是由相应的跳变条件（jump condition）决定的。相应的，控制器的行为也依赖于系统的状态：每一个控制模式不间断地观测系统状态的不变条件（invariant condition）,一旦不变条件不能满足，系统状态的连续变化会导致一个控制开关使能。2 转移语法这一部分的介绍主要是文字上的定义，一方面为了使得介绍更为形式化，另一方面为了给后边的自动机组合以必要的铺垫。同时我们从这里也可以了解到混合输入输出自动机（HIOA）的特点。混合自动机的运行，将导致连续变化，即流（flow）和离散变化，即跳变（jump）。首先，我们给出标签转移系统（Labeled transition system）的定义，一个标签转移系统S包括如下组成部分：状态空间（有限）状态集合，状态子集，用于描述系统的初始状态。转移关系（有限）标签集合，对于每一个标签，定义状态集Q上的二元关系。每一个三元组，称为一个转移。状态子集称为一个区域。对于一个给定区域R，和一个标签，我们定义和，分别称为R的a-后续区域和R的a-前导区域。混合自动机H的时间转移系统是一个参数为Q，A，的时间转移系统，定义如下。（1）定义 使得当且仅当为真，当且仅当和均为真。集合Q称为H的状态空间，Q的子集称为H的区域。（2）。（3）对每一个离散事件，定义，当且仅当存在控制开关使得e的源状态为，目标状态为，为真，且。（4）对于连续变化，我们给出如下定义。对于非负实数，定义当且仅当并且存在微分方程，其一阶导数，使得，对所有实数和为真。特别的，我们定义零转移，这一定义在描述系统的并发事件时将有重要作用。3. 混合自动机的组合对于两个混合自动机,我们定义它们的平行组合（parallel composition）。两个混合自动机,通过连接事件相互作用：如果事件a是,的共有事件，则,必须在a转移时同步；如果a是的事件，但不是的事件，则每一个的a转移必须与的一个零转移同步；对于实数，的持续时间为的连续转移必须与的同等时间的转移同步。在以下的事例中，我们将具体说明混合自动机的组合方法。4. 应用举例在这里，我们还是用水箱水位控制系统作为例子。这一系统包括四个部分，它们之间通过全局变量和事件实现同步和数据交互。阀门u1的自动机描述上图是阀门u1的自动机描述，u1off表示u1关闭，u1on表示阀门打开。这两个状态的相互转化是通过两个事件：s1off和s1on。阀门u2的自动机描述图中，阀门u2有四种可能的状态，关闭u2off，延迟u2delay，低速u2low，高速u2high。这些状态的转化条件如图，我们为每一个转化定义了相应的事件，这些事件是用来与水箱液位自动机模型同步的。报警器的自动机描述这是报警器的自动机模型，它有两种状态，转化条件都是液位到达0.8h。水箱水位变化状态的自动机描述在这一模型中，依据两个阀门的不同开关状态，可以分为六种状态，触发转化的事件来源于两个阀门自动机。5.2.4 其它的建模方法除了以上介绍的两种主要方法外，还有其他一些方法，由于它们是基于对传统的连续系统描述的扩充，不利于方针建模，在这里仅作简单介绍。对时段演算(duration calculus)的研究始于1989年,它是由周巢尘、C.A.R.Hoare和A.P.Ravn共同提出的。时段演算是一种实时区间时态逻辑，它将布尔函数在区间上的积分形式化，从而可用来描述和推导离散状态系统的实时和逻辑特性，在实时系统的形式化领域研究中已应用了若干实例，如煤气燃烧器、铁路交叉口控制、水位控制和自动导航、Ocean语言的实时语义、描述调度程序的实时行为和电路设计等方面，但由于时段演算中没有无穷区间，所以它无法描述定性的公平性和活性。目前，正在建立一种无穷时段演算()以解决上述问题。扩充时段演算()引入分段或可微函数，可用来描述连续状态的性质，可对混合系统的实时需求进行刻化和精化。平均值演算()和概率时段演算()是时段演算的另二种扩充形式。混合是(通信顺序进程)的推广，可以容纳连续变量，可用来描述混合系统的行为，其中的控制部分可逐步求精，变换成可在计算机上执行的软件，从而生成数值控制系统，在混合中，有一种特殊的语言称为连续构件，它可表示一个具体给定初值的微分方程，而原来的通信语言可用来表达事件的起源和发生，程序语言中的顺序算子、条件算子等用来刻划连续构件和通信间的藕合关系。5.3 混合系统的仿真方法5.3.1 问题的提出在这一部分中，我们将就混合系统，特别是复杂大系统的仿真的问题，讨论其建模、仿真的可行性。与连续系统相比，混合系统的仿真存在着以下几个方面的问题：（1）混合系统中包含着随时间演化的连续系统和事件驱动的离散事件系统。前者通常是由微分方程描述，后者则是由各种确定和不确定的事件描述。这两种系统的相互作用构成了混合系统的实质。系统模型必须能够描述这两种系统和它们之间的交互过程。（2）现实的混合系统，往往是由若干个子系统组成，这些子系统可能是连续系统，也可能是离散事件系统。子系统之间也存在着相互作用的关系，它们各自的状态决定了整个系统所处的状态。模型必须描述各个子系统之间、子系统与系统之间的交互过程。（3）混合系统中的离散事件包括内部事件、外部事件和输出事件，其中前两种事件对于系统的运行状态起决定作用，它们的产生具有各自的特点。外部事件的发生是随机的，在这里我们需要为其选择发生的分布类型和参数。而内部事件的发生是非随机不确定的，它是由系统所处的状态决定。当两类事件同时发生时，还存在着并发、冲突的可能。（4）仿真程序是依步长推进的，随着不确定事件，特别是发生时刻对系统状态影响较大的事件的引入，这使得步长的确定变得相对复杂。为了兼顾程序效率和仿真精度，在这里应该采用变步长的方法。在前一章中，给出了两种最常用的建模方法。这两种方法都是为了比较客观的描述混合系统的运行情况，都是为了兼顾准确性和完整性而被提出的。在以后的部分中，将对他们的实现进行讨论。5.3.2 混合Petri网的仿真实现在这种网图中，各个实体节点（库所）是功能实体（或实体的组合）为单位选取的，它可能是某一物理机构或者是某机构的一方面，也就是说这一模型在结构上与现实世界是一致的，所以它的建模过程比较具体。依据这一建模准则，它对于描述功能实体较多、关联复杂，数据交互频繁的系统的描述是比较方便的，如多工序的制造系统，“容器-缓冲器”系统。当然，对于其他系统也是可以描述的。在一个混和Petri网中，同时有事件发生的库所和出于活动的变迁可以有多处，这就使得这一模型可以描述混合系统中普遍存在的并发、冲突和分布的事件。在这种模型中，将连续演化和离散跳变统一为变迁，变迁有各自的使能条件和赋值功能。但这里存在着若干需要改进的地方：对于随机的外部事件，这种模型并没有相应的描述方法；在各个变迁的进出弧上指示标记了简单的延迟和发射速率，显然，这是针对制造系统提出的，我们不可能假设任何的连续变迁都是简单的对时间的一次积分。这些问题都是可以通过改进模型获得解决的。针对以上的特点和存在的问题，在这里给出一种供探讨的仿真实现方案：（1）选取适当的功能实体，作为模型中的库所。由于每一个库所只能有一个标计数，为了遵循这一原则，一个设备（子系统）可能会作为多个功能实体被选取。如一台机床可能拥有多种资源：加工完的零件，可用空闲机时等，我们必须把它们分别设为库所。另外，这些库所之间可能还有制约和作用关系。（2）依据系统中事件的驱动关系，建立各个变迁，设定其使能条件和赋值关系；为了描述外部事件，在模型中加入若干事件库所，可以是一个时间积分器，使得它们的变迁是在计算出的随机时刻发生的。（3）建立两个全局数组：库所标计数数组和变迁使能值数组，用于记录库所的标计数和变迁的使能情况，他们的值将由主程序调用相应的子程给定。（4）为每一个连续和离散变迁编写子程，其功能是依据相应的库所标计数和运行时间计算出新的标识数；为每一个变迁编写使能子程，其功能是依据当前的标计数计算相应的变迁是否使能。这些子程将被主程序调用。（5）初始化标计数组。由于外部事件的发生是随机的，在这里我们需要产生其发生的时间序列并对相应的库所积分参数进行赋值。在这里我们还要确定基本的仿真步长。（6）在每一个仿真步长中，首先计算变迁使能值数组，依据使能情况调用相应的变迁子程。最后依据系统当前状态，计算下一个仿真步长。（7）我们必须保证离散事件的发生时刻在每一个步长开始时。离散事件发生时在标识数达到相应的值，在这里，我们可以设定一个足够小的范围，当标识数超过这一范围时，我们缩小步长，对这一次推进重新计算，直到标识数处于这一范围。5.3.3 改进的自动机模型的仿真实现在上一章说讲述的混合自动机模型中，网图中的各个节点对应于系统（子系统）的各个状态，一个节点可能与多个自由变量相关，状态的确定是以离散事件的发生为原则的，这与我们对控制系统传统的分析与组合的方法是一致的，在我们分析控制问题是这一方法存在着长处。这种建模方法特别适合单一机构系统，自由变量多、有耦合的系统，如集中控制系统，切换系统，“旅行商系统”等。我们可以看到，对于一个自动机模型，在特定时刻处于活动的状态