第二十二届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛初二年级组试题详解.doc

第二十二届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛初二年级组试题详解1，选（B)。不能简单地把两个速度加起来平均，而是要根据速度的定义来做：设家到学校的距离为S，则去的时间为：S/4，回来的时间为：S/6，总路程为2S，所以往返的平均速度为：2S/(S/4+S/6)=24/5=4.8；2，选（C)。不能简单地把两个人的速度比看成是6:5。当甲到达6楼时走了5层楼，乙到达5楼时走了4层楼，所以甲到达36楼时走了35层，乙走了4（355）=28层，故乙到达29层。3，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图形过点A（1,1），与坐标轴围成的三角形面积为2，这样的一次函数有个？（华赛杯22初二）4，如图，两个边长为6的正方形ABFE和EFCD拼成长方形ABCD，点G在线段ED上，连接BG交EF于点H。如果五边形CDGHF的面积为33，那么线段BG的长为多少？6，某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐，每个人至少选择一种，可以多选，某班30名学生的调查结果如下：（1）没选苹果的学生中，选香蕉的人数是选梨的人数的2倍；（2）三种水果都选的学生有7人；（3）在恰好选了两种水果的学生中，选择香蕉和梨组合的人数比选其他组合的人数之和多3人；（4）在只选一种水果的学生中，恰好有一半选了苹果。那么，只选了一种水果的学生有几人？【解】设只选苹果的人数为P，只选梨的人数为L，只选香蕉的人数为J，只选苹果和梨的人数为X，只选苹果和香蕉的人数为Y，只选梨和香蕉的人数为Z，则具体选择情况如下图所示：将代入，得：P =13-Z 将代入得：3L=13-2Z，L1，13-2Z3，即Z5；由，X+Y0，Z3，即3Z5，而L=（13-2Z）/3，只有当Z=5时，L有整数解1，故Z=5，L=1，代入得：P=8，代入得：J=7，故：P+L+J=8+1+7=16，即只选了一种水果的学生有16人。7，如图，在梯形ABCD中，ABDC，AB=4,DC=1，分别以AD、BC为边向外作正方形ADEF与正方形BHGC，I为线段EG的中点，那么DCI的面积是多少？【解】分别过A、B、E、G、I作CD的垂线，垂足分别为J、K、L、M、N。8，用x表示不大于x的最大整数。已知正整数n的平方的十位数字是7，那么，的所有可能值的和等于多少？10，如图，等腰直角三角形PQR的斜边QR=2.正方形ABCD的边AB在QR上，边DC过点P，边DA、CB分别交PQ、PR于点M、N，当AB在QR上水平滑动时，QAM与BRN的周长之和是否为定值？说明理由。11，求证：任意的5个整数中，必定有两个整数的平方差是7的倍数。综上所述，任意的5个整数中，必定有两个整数的平方差是7的倍数。【解】由已知，设（a,b）=X，即a,b的最大公约数为X，a=XA，b=XB，A,B为正整数，则（A,B）=1，（A,B互质）。这样，XAXB=q（XA+XB），XAB=q(A+B)XA=qA/B+q，因为（A,B）=1，所以Bq，同理，Aq，设q=YAB，Y为正整数，代入式得：XAB=YAB（A+B），X=Y(A+B)，a+b=Y（A+B）100，A，B1，（A+B）4，且（A+B）99，2（A+B）9，1Y24。（1）当A+B=2时，a+b=4Y，Y的取值从1到24，共24个不同的值；（2）当A+B=3时，a+b=9Y，Y的取值从1到11，共11个不同的值，但其中49,89分别与（1）中的49,418数值重复，故这时增加了9个不同数值；（3）当A+B=4时，a+b=16Y，Y的取值从1到6，共6个不同的值，但因为16Y=4 4Y，故其中每个值都与（1）中的数值重复，故这时增加了0个不同数值；（4）当A+B=5时，a+b=25Y，Y的取值从1到3，共3个不同的值，且与前面5种情况下的数值不重复，故这时增加了3个不同数值；（5）当A+B=6时，a+b=36Y，Y的取值从1到2，共2个不同的值，但因为36Y=4 9Y，故均与（1）中的数值重复，故这时增加了0个不同数值；（6）当A+B=7时，a+b=49Y，Y的取值从1到2，共2个不同的值，且与前面5种情况下的数值不重复，故这时增加了2个不同数值；（7）当A+B=8时，a+b=64Y，Y的取值只能为1，但641与（1）中的数值416重复，故这时增加了0个不同数值；（8）当A+B=9时，a+b=81Y，Y的取值只能为1，但811与（2）中的数值99重复，故这时增加了0个不同数值；综上所述，a+b可以取的值共有：24+9+0+3+0+2+0+0=38（个）13，如图，ABC，AEF，BDF均为正三角形，且ABF+AFB+ECD=60，求AFC的度数。【解】AB=BC，BF=BD，ABF=60-FBC=CBD，ABFCBD，AF=CD，即AE=CD；FE=FA，FD=FB，DFE=60-BFE=BFA，FEDFAB，AB=DE，即AC=DE，故四边形ACDE为平行四边形，EDC=CAE，ABF+AFB+ECD=60ABF+AFB= 60-ECD，又ABF+