第十二章 富里埃级数.doc

数学分析（1，2，3）教案第十二章 富里埃级数教学目的：（1）熟练掌握函数的Fourier级数展开；（2）综合分析Fourier级数的敛散性；（3）理解并利用Fourier级数的分析性质；（4）初步了解Fourier变换及其性质。 教学重点： Fourier级数的来历；Dirichlet积分的定义及应用；Riemann引理及其推论及应用；Dini判别法及其推论，Dirichlet-Jordan判别法； Fourier级数的分析性质：逐项积分和逐项微分定理。Fourier变换及其逆变换的形式及应用。 教学难点：周期为2的函数的Fourier展开；将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开。1 富里埃级数一 富里埃（Fourier）级数的引进1 定义：设是上以为周期的函数，且在上绝对可积，称形如的函数项级数为的 Fourier级数(的 Fourier展开式)，其中， 称为的 Fourier系数，记为2 说明1）在未讨论收敛性，证明一致收敛到之前，不能将“”改为“=”；此处“”也不包含“等价”之意，而仅仅表示是的 Fourier级数，或者说的 Fourier级数是。2) 要求上的 Fourier级数，只须求出Fourier系数。二 富里埃级数收敛性的判别1. Riemann（黎曼）引理 设在（有界或无界）区间上绝对可积，则， . 推论 在上绝对可积函数的Fourier系数；2. Fourier级数收敛的充要条件定理1 和, 使得当时成立其中.3. Fourier级数收敛的Dini判别法推论: 设在上除去有限点外存在有界导数,则的Fourier级数点点收敛,且特别地, 是的连续点时, ,即例: 设是以为周期的函数，其在上可表示为,判定的Fourier级数的收敛性.例：设是以为周期的函数,其在上等于,判定的 Fourier级数的收敛性例： 4. Jordan判别法设在上单调(或有界变差)，则。例：设是以为周期的函数，其在上可表示为 ,求的 Fourier展开式。 计算的 Fourier系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.如， 例： 设是以为周期的函数,其在上等于,求的 Fourier级数. 如果仅定义在长为的区间上,例如定义在上, 此时不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对在外补充定义,使其以为周期, 如定义, 它有下述性质: a) 时,； b) 以为周期. 例 : 三 正弦级数和余弦级数1 定义形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如的三角级数(函数项级数称为余弦级数.2 如果是以为周期的函数,在上绝对可积, 若是奇函数,则有；若是偶函数,则有.3设仅在上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义,然后再作周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义后,再作周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier级数必为余弦级数。例: ),将展开成余弦函数。例：将在上展开为余弦级数。四 一般周期函数的Fourier级数 设是周期为的函数,且在上绝对可积, 则有,其中， 例: 求的Fourier展开式.五 Fourier级数的复数表示形式设, 则其复数表示形式为,其中, 复的Fourier系数.作业：126页1,2,3,7,8,14,152 富里埃变换一 富里埃变换的概念设在内绝对可积。定义1 称是的富里埃变换，并把它记为或。即。富里埃变换的性质（i）是内的连续函数；（ii）。定义2 称是的富里埃逆变换。又称是的富里埃变换积分公式。例： 求衰减函数的富里埃变换。例： 求函数的富里埃变换和富里埃变换积分公式。二 富里埃变换的一些性质富里埃变换有一些简单的性质，这些性质在偏微分方程和