2011-2012一元微积分A上试卷(A卷)答案.pdf

2011 2012 学年第一学期一元微积分学年第一学期一元微积分 A 上上 试卷参考答案试卷参考答案 踏实学习 弘扬正气 诚信做人 诚实考试 作弊可耻 后果自负踏实学习 弘扬正气 诚信做人 诚实考试 作弊可耻 后果自负 教师 班号 专业班级 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 得分 一 填空题 每题 4 分 共 40 分 1 函数ln sin1 yx 的定义域为 2 2 2 kkkZ 2 11 23 lim 23 nn nn n 1 3 3 2 0 arcsin 1 cos lim sin x x x 1 2 4 2 ln 1 d xxx 2 2 ln 1 1 x xx x dx 5 已知 f x在处可导 0 x 0 0f 0 1 f 则 2 2 0 1 lim x x fe x 1 6 函 数 cosf xxx 在0 x 处 的 3 阶 带 拉 格 朗 日 型 余 项 的 泰 勒 公 式 为 34 14sincos 0 24 xxxx 在 与 之间 7 当时 0 x sinxx 是x的阶无穷小 则kk 3 3 32 8 函数 1 sin 2 yx x在区间 0 上的最大值为 9 曲线 2 x ye 的拐点横坐标为 2 2 10 抛物线 2 43yxx 在其顶点处的曲率为 2 二 解下列各题 每题 6 分 共 30 分 1 利用函数极限定义证明 2 sin lim0 x x x 证明 对任意0 要使得 2 sin x x 只要 2 sin 1 x xx 取 2 1 X 当xX 时有 2 sin x x 1xx 其中01 令 2 分 分 1 1 0 f xxxf 1 01 1 0 1 fxxxfxxfx 由知当时 当时0 2 分 分 f x在1x 处取得最大值 0 从而对任意 0 x 1 0f xf 2 分 分 三 7 分 设函数由方程 yy x 1 y yxe 确定 求 dy dx 与 2 2 d y dx 方程1 y yxe 两边同取导数 yy yexe y 2 分 分 12 yy y ee y xey 2 分 分 2 2 2 3 2 2 2 yyyy deeyeey y dxyyy 3 y 3 分 分 注 若以注 若以 1 y y e y xe 计算二阶导 结果为计算二阶导 结果为 2 3 2 1 yy y exe y xe 四 8 分 设函数 f x在 上连续 在内可导 a b a b f aa f bb 1 证明存在 a b 使得 f 2 证明存在 a b 使得 1f 由零点定理 存在 a b 使得 0g 即 f 2 分 分 2 在 上连续 在 内可导 且 g x a b a b 1g xfx 1 分 分 对在 上使用拉格朗日中值定理 存在 g x a b a b 使得 0 g bg a g ba 即 1f 1 10fx x 有唯一驻点1x 1 1fa 1 分 分 当1x 时 0fx f x单调递增 lim lim ln xx f xxxa 1 2 分 分 当0 x 时 0fx 1 0f 1a 时 1 0f 方程有一个根 当 时 方程无根 3 分 分 1a 六 7 分 设 f x在处可导 0 x g xf x 1 证明若 则 0 0f 0 0 fg 2 证明若 则存在的充要条件为 0 0f 0 g 0 0 f 1 f x在处可导 从而必连续 由0 x 0 lim 0 0 x f xf 及极限的保号性 存在 0 的某个邻域 0 U 使得函数 从而对任一 0f x 0 xU 因此 3 分 分 g xf x 0 0 fg 2 当时 0 0f 0 0g f x在处可导0 x 0 lim 0 x f x f x 存在 0 lim 0 x f x f x 00 lim lim 0 xx f xf x f xx 2 分 分 0 g 存在 0