数学人教版八年级上册§11.2.1三角形的内角（第一课时） 三角形内角和定理.docx

教 学 设 计人教版八年级上册数学课题：第十一章 三角形11.2.1三角形的内角（第一课时）三角形内角和定理一、 教材分析：三角形内角和定理是三角形的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础它从“角”的角度刻画了三角形的特征三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性三角形内角和定理的证明以平行线、平角的相关知识为基础定理的验证方法剪图、拼图，不仅可以说明证明的必要性，而且也可以从中获得添加辅助线的思路和方法由浅入深，循序渐进，引导学生观察、实验、猜测，验证，逐步培养学生的逻辑推理能力定理的证明思路是得出三角形的三个内角与组成平角的三个角分别相等学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也为今后掌握多边形内角和及其他实际问题打下基础二、教学目标：（1）知识与技能：掌握“三角形内角和定理”，探索并证明三角形内角和定理，能运用三角形内角和定理解决简单问题.（2）过程与方法： 通过度量、折叠、剪拼等实验操作，启发学生通过添加辅助线的方法证明“三角形内角和定理”，体现了转化的思想.（3）情感态度与价值观：激发学生动手实验的学习兴趣，在实验的过程中能发现其中蕴含的辅助线，并能运用平行线的性质证明“三角形内角和定理” 通过理论证明让学生体会用证明法说理的必要性，增强学生做事的严谨性，提高学生应用数学知识的能力，培养学生的创新精神和实践能力三、学习者特征分析：八年级学生思维正处在具体形象思维向抽象逻辑思维转变的阶段，也是由代数运算向几何推理过渡的较好时期学生在小学初步认识了三角形，知道三角形的内角和是180，在实际生活中也有所应用，而且学生已学过平行线的性质与平角的定义本节课就是建立在这种基础之上，通过度量、折叠、拼接、猜想、验证等方法，通过观察、比较、合作、探究，进而找到证明三角形内角和定理的思路，引导学生应用所学知识正确地表达求解过程 学生对三角形内角和的理解、证明方法及数学知识有本质上的提升，为后续学习与三角形有关的知识做铺垫，思想方法也会增多体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程四、教学策略：本节课结合八年级学生的理解能力、思维特征和依赖直观图形学习数学的年龄特征，采用多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化、具体化，在教学中采用启发式、师生互动式等方法，学生能通过度量或剪图、拼图等实验进一步感知三角形的内角和是180的结论，发现操作实验的局限性，进而了解证明的必要性；教师采用点拨的方法，启发学生主动思考，尝试用多种方法来证明这个结论，发现其中蕴含的辅助线，使整个课堂生动有趣，极大限度地培养了学生观察问题、发现问题、归纳问题的能力和一题多解，一题多法的创新能力，培养学生遇到问题时初步具备独立思考的能力，有合作交流的意识五、教学的重点和难点： 教学重点：探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性教学难点：如何添加辅助线证明三角形内角和定理六、教学过程：教具准备：教具：三角板、多媒体演示台 学具：三角形纸片、剪刀、三角板（一）探索并证明三角形内角和定理【问题1】三角形有几个内角？【师生活动】学生回答：三角形有三个内角【追问】三角形三个内角在数量上有什么关系？【师生活动】学生回答：三角形的三个内角的和等于【问题2】这个结论你们在小学时就已经知道了，当时是通过什么方法发现这个结论呢？【师生活动】学生回答：度量、剪拼、折叠，三种方法教师：今天我们这节课的学习目标是什么呢？学生：大声朗读1通过度量、折叠、剪拼的方法验证定理；2探索并证明定理；3能灵活运用定理解决实际问题.教师：学习就是温故知新的过程，今天这节课我们就利用手中的三角形纸片通过小组探究的形式重温这个结论的验证过程【师生活动】学生动手操作，各个小组通过度量、剪拼、折叠等不同方法得出结论【设计意图】以问题引发思考设置悬念, 培养学生用数学的意识，自然导入三角形内角和的学习学生会提出度量、拼图、折叠的方法，然后让每个学生取出课前准备的三角形纸板，并将它的内角剪下，试着拼拼看通过小组合作交流有几种拼合方法最后教师总结出几种拼图方法 展示结果：各个小组的成果展示剪拼法：(1) (3) (5) (2) (4)（学生：展示拼图，简单介绍拼法）折叠法： 先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果 B AC图3图2BCAACB图1BAC图4【师生活动】 学生：会提出度量时三个内角和不都是180，因为测量会有误差教师：利用几何画板演示三个内角和是180引导学生总结拼图方法，为了下一步证明定理提供思路 【设计意图】 让学生通过实验操作，一方面发现实验操作的局限性（视觉误差、度量误差，实验有限性与三角形个数无限的矛盾），进而了解证明的必要性；另一方面从实验的过程中受到启发，为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法有一些剪拼成的图形虽然能拼成180，有验证作用，但不容易形成证明思路（图2、4）折叠的方法，教师也应给予说明，并指出以后学习了全等三角形及轴对称等内容，也可进行证明【师生活动】 教师：同学们的做法大致是将两个角剪下来拼在第三个角的同侧或异侧在顶点处形成一个平角，也有的小组将三个角剪下，发现在任何地方都能拼成一个平角，初步验证结论【问题3】通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的内角和是180度，但这些只是有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，我们如何得到所有三角形的内角和是180度呢？【师生活动】学生小组交流，小组代表汇报结果然后汇报结果，最后达成共识 【设计意图】让学生发现实验操作的局限性（误差和实验个数的有限性），进而了解证明的必要性；另一方面从实验的过程中受到启发，为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法【追问1】我们通过实验只能验证结论，能使用结论吗？【师生活动】学生回答：不能，只有通过证明才能使用结论【追问2】在图(1)中，A 和B拼在C的右侧，三个角合起来形成一个平角，应如何去证明呢？【师生活动】学生回答：需要添加辅助线【追问3】怎么添加？【师生活动】学生回答：过点C作AB的平行线.教师：数学中重要的结论都需要严格的逻辑推理证明其正确性在证明之前，先将图形画出来，写出已知、求证学生：与老师互动写出已知、求证教师：画图、板书已知：ABC求证：A+B+C=1800【设计意图】让学生体会添加辅助线的方法，获得证明思路，感悟辅助线在几何证明中的重要作用【追问4】参考图(1)，你能写出证明过程吗？【师生活动】学生活动，教师板书，共同完成证明过程证法：证明:延长BC到D，过C作CEBA， A=1 (两直线平行，内错角相等)B=2 (两直线平行，同位角相等)又1+2+ACB=180（平角的定义）A+B+ACB=180（等量代换）这个结论正确，称为三角形内角和定理（老师板书，用彩色粉笔）【设计意图】让学生通过严格的逻辑推理证明“三角形三个内角的和等于180”,感悟几何证明的意义，体会几何证明的规范性，所以第一种方法师生可以共同完成推理过程并注意强调命题证明的步骤【师生活动】在图(2)(4)中，只能验证定理，而不容易形成证明思路教师：通过几何画板验证反例，说明问题【设计意图】让学生发现实验的局限性（视觉误差、度量误差、实验有限性与三角形无限性矛盾），进而了解证明的必要性【追问5】通过前面的研究，你还能找出其他证明方法吗？【师生活动】学生小组探究，学生代表到黑板板书证明过程证法2:证明：过点A作AEBC B= 1 (两直线平行,内错角相等)EAC + C =180(两直线平行,同旁内角互补)BAC + 1+ C =180 BAC+ B + C=180 (等量代换)【设计意图】引导学生观察剪拼后的图形中线与线的特殊位置,让学生由感性认识，上升到理性认识用推理证明三角形内角和定理 证法3：证明：过A作EFBC， B=2C=1 (两直线平行,内错角相等) 又BAC+2+1 =180 (平角定义)BAC+B+C =180（等量代换）【设计意图】启发学生添加辅助线，利用平行线的性质和平角的定义，鼓励学生独立思考，寻求证明方法渗透“转化”的数学思想方法，在证明、3中引导学生把三角形三个内角转化成平角；在证明2中，把三角形三个内角转化成平行线下的同旁内角，从而得到180【师生活动】教师：还有不同的证法吗？学生：小组代表到黑板前讲解思路教师：刚才有的小组将三角形三个角剪下，在任何地方都可以拼成平角因此在做辅助线的时候，可以过任意的点做对边的平行线请看大屏幕教师：利用几何画板证明以上各题教师总结：同学们通过剪拼的方法不仅发现、验证了三角形内角和定理，而且通过做辅助线用几种方法证明了定理，非常棒小组合作的很好，掌声送给自己DCBA【设计意图】鼓励学生从不同角度思考问题，进一步体会作辅助线的方法，丰富学生的解题经验通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展（二）三角形内角和定理的应用例1 如图在ABC中，BAC=40，B=75，AD是ABC的角平分线，求ADB的度数 【师生活动】教师引导学生分析解题思路，学生独立完成解题过程，请学生板书 【设计意图】引导学生运用三角形内角和定理求相关角的度数，而且要求学生应用所学知识正确地表达求解过程. 例2 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80 方向，C岛在B岛的北偏西40方向从B岛看A、C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？【师生活动】教师引导学生将实际问题转化为数学中的三角形的角的问题，即求ABC中的内角ABC、ACB，根据三角形内角和定理， 鼓励学生用多种方法完成解题过程，教师给予指正提出了两个问题：1、请你结合图形解释一下题中的方位角有那几个2、角ACB是哪个三角形的内角？解：CABBADCAD805030由ADBE，可得BAD ABE 180所以ABE 180BAD1808010 0，ABC ABE EBC100406 0在ABC中ACB180ABC CAB 1806030 90答：从B岛看A， C两岛的视角ABC是60，从C岛看A，B两岛的视角ACB是90【设计意图】通过例题的解析，让学生体会分析问题的基本方法，利用三角形内角和定理解决实际问题，提高学生的应用能力【追问】同学们还有其他方法吗？【设计意图】通过小组讨论，让学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法，从中获益，增加了学生的合作探究精神，有意识地培养学生的说理能力，逻辑推理能力，增强了语言表达能力，培养学生的一题多思，一题多解的创新精神，让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中渗透了初中阶段一个重要数学思想转化思想，为学好初中数学打下坚实的基础（三）达标测试1、在ABC中,A = 80,B =C , 则C = _2、已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，则这三个内角的度数分别为 _ _ _3、一个三角形中，最多有_个锐角，最少有_个锐角，最多有_个钝角，最多有_个直角任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为_.4、从A处观测C处的仰角CAD =30,从B处观测C处时仰角CBD =45,从C处观测A、B两处时的视角ACB 是多少度？5、如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中A =150, B = D= 40, 求C 的度数.【师生活动】学生口答第1、2、3题，完成第4、5题2、已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.列出方程 x+3x+5x=180解得： x=20答：三个内角度数分别为20,60,100【设计意图】第1题通过简单的计算，使学生进一步熟悉三角形内角和定理第2道题采取了客观题的形式，难度中等，使学生掌握概念并能简单运用，可以提高学生的说理能力，可挑选中等成绩的学生起立回答便于了解学生掌握的总体情况第4、5题是让学生运用定理解决简单的实际问题（四）小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180”？（3）你是怎么找到三角形内角和定理的证明思路的？【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心三角形内角和定理，进一步体会证明的必要性，感悟辅助线的添加方法和在几何证明中的作用 （五）作业布置（1）基础题：教科书习题11.2，第1,3,7题（2）选做题：教科书习题11.2，第8,9,11题七、板书设计：11.2.1三角形的内角三角形的内角和定理: 电子白板课件展示 已知： 求证： 图形 图形 图形证明： 八、课后反思三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性本节课通过创设“剪拼”情境，让学生直观感受“三角形三个内角的和等于180O”，学生通过合作学习、探索规律对三角形内角和的感性认识提升到理性认识的阶段，进行理论证明通过实验操作，学生一方面发现实验操作的局限性（视觉误差、度量误差，实验有限性与三角形个数无限的矛盾），进而了解证明的必要性；另一方面从实验的过程中受到启发，为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法有一些剪拼成的图形虽然能拼成180，有验证作用，但不容易