17 四种命题2.doc

高中数学教案 第一章 集合与简易逻辑（第16课时） 课 题：1.7 四种命题（1）教学目的：1理解四种命题的概念；掌握四种命题的形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题2培养观察分析、抽象概括能力和逻辑思维能力；教学重点：理解四种命题的概念、形式教学难点：四种命题的关系授课类型：新授课课时安排：1课时内容分析：学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识这一大节的重点是充要条件学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程教学过程：一、复习引入：复习初中学过的命题与逆命题，并举例说明（学生回答，教师整理补充）两个命题，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.例如，(1)同位角相等，两直线平行；条件（题设）：同位角相等；结论：两直线平行它的逆命题就是：(2)两直线平行，同位角相等二、讲解新课：1引例(3)同位角不相等，两直线不平行；(4)两直线不平行，同位角不相等.比较命题(1)与(3)、(1)与(4)的条件与结论的异同（学生回答，教师整理补充）在命题(1)与命题(3)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们称命题(1)与命题(3)互为否命题；在命题(1)与命题(4)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们称命题(1)与命题(4)互为逆否命题；（让学生取名字）思考：由原命题怎么得到逆命题、否命题、逆否命题？（学生回答，教师整理补充）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.2概括：(1)为原命题 (2)为逆命题 (3)为否命题 (4)为逆否命题反问：若(2)为原命题，则(1)(3)(4)各为哪种命题？ 若(3)为原命题，则(1)(2)(4)各为哪种命题？ 若(4)为原命题，则(1)(2)(3)各为哪种命题？强调：“互为”的含义3四中命题的形式若p为原命题条件，q为原命题结论（学生回答，教师整理补充）则：原命题：若 p 则 q 逆命题：若 q 则 p 否命题：若 p 则 q 逆否命题：若 q 则 p三、范例例1（课本第P页30例1）把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（学生回答，教师整理补充）(1) 负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等.分析：关键是找出原命题的条件p和结论q.解：(1)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.另解：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方.(2) 原命题可写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形.例2设原命题是“当c0时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假注意：“若p则q”形式的命题，也是一种复合命题，其中的p与q，可以是命题，也可以是开语句，例如，命题“若=0,则x，y全为0”，其中的p与q，就是开语句.关键是找出原命题的条件(p)、结论(q)，然后适当改写成更明显的形式四、小结：四种命题的概念及其形式，怎样写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题五、练习：P31练习：1，2.答案：1.(1)若一个整数的末位是0，则它可以被5整除；(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等；(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式；(4)若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线.2.(1)可以被5 整除的整数，末位是0；(2)不在线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离不相等；(3)若式子两边都乘以同一个数所得结果不是等式，则这个式子不是等式；(4)若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径.补充题：写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题解：逆命题：若 x = 0或 y = 0 则 xy = 0 否命题：若 xy 0 则 x 0且 y 0 逆否命题：若 x 0且 y 0 则 xy0. 注意： 1为什么称“互为”逆命题（否命题，逆否命题）2要重视对命题的剖析：条件、结论六、作业：课本第33页 习题1.7：1，2.七、板书设计（略）八、课后记：首页|教研中心|备课中心|智能考试系统|教学论坛|示范校展示|天网专区当前位置:首页 备课中心 名 师 点 拔-数 学学科：数学教学内容：已知三角函数值求角【课前复习】1会做了，学习新课才有保障（1）函数y2tan（3x）的周期是（）A B C D（2）函数ytanxcotx的奇偶性是（）A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数（3）函数ytan（）的递增区间是（）A（，） B（2k，2k），kZC（2k，2k），kZ D（k，k），kZ2先看书，再来做一做（1）已知sinx且x，则x_（2）已知sinx且x0，2则x_（3）已知cosx且x，则x_（4）已知2sin2x1，x0，2则x_（5）已知tanx，且x0，2，求x的取值（6）已知cotx且x（，），求x【学习目标】1理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示2会由已知角的正弦值、余弦值、正切值，求出各自一个周期内的角，并能用反正弦、反余弦、反正切符号表示角或角的集合【基础知识精讲】1本节是介绍如何根据角的正弦值、余弦值、正切值求出这个角或角的集合，并引入了arcsinx，arccosx，arctanx等数学符号2这里指出：（1）由于三角函数不是从定义域R值域1，1上的一一映射，所以已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分以下几步：第一步，决定角x可能是第几象限角第二步，如果函数值是正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出0，2内对应的角如果它是第二象限角，那么可表示为x1；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为x1或x12（2）arcsinx、arccosx这些符号在解决某些求非特殊角的问题（例如：立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、二面角；解析几何中直线的倾斜角等）时有用，所以应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用在引入实数a的反正弦（1a1）、反余弦（1a1）之前，要先复习相应三角函数的图象及其性质（3）如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示3例1分为二个层次，已知角的取值范围分别为，、0，2，这样求适合sinx的x分别有且仅有一个、有且仅有2个；第（2）小题要求用集合表示结果，教材中给出了二种表示方式：，或arcsin，arcsin显然这两种表示方式等价，学生要学会这两种表示方式，但解题用哪一种都可以，例题23也一样4本课内容的重点是已知正、余弦值求角，难点有以下三个：一个是根据角的取值范围确定有已知三角函数值的角的个数，并把它（们）找出来或用集合表示出来；二是对反正弦、反余弦这两个概念及其符号的正确认识；三是用符号arcsinx，arccosx表示所求的角或角的集合为此本课时配备了三道例题，每道例题又分二道小题，分别代表一个层次，按层次讲好每道例题，使学生拾级而上，弄清各层次题目的意义，是学好本小节内容和克服上述难点的关键5这里指出已知角的正切值求角和已知正、余弦值求角内容上完全平行，包括求角的基本方法，反正切的概念及用反正切符号表示角或角的集合等因此在教学时，可在充分复习上一节课内容的基础上，采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别6例4与前面几道例题一样分二道小题，分别代表一个层次，按层次讲好例题，使学生拾级而上，弄清各层次题目的意义是关键须指出的是例4在题目中规定了“精确到01”，其结果就不能用角度来表示7关于本小节的练习和习题，一定要控制难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充根据倍角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，避免用“解下列方程”一类的词语，一律改用“求适合下列关系式的x的集合”的说法，只要使学生“会由已知三角函数值”求角就可以本节课内容的重点是已知正切值求角，难点有以下三点：一个是根据角的取值范围确定有已知三角函数值的角的个数；二是对反正切这个概念及其符号的正确认识；三是用符号arctanx表示所求的角或角的集合，须指出用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求的角或角的集合，形式上不唯一本节需要注意的几个问题已知三角函数值求角的步骤是什么？已知三角函数值求角，是已知任意一个角求它的三角函数值的逆向问题，它比求一个角的三角函数要复杂如已知，则sinsin，反之，若已知sin，则?显然，在没有标明范围的情况下，它是多值的一般地，已知三角函数值求角的步骤是：（1）确定所在象限（有时不止一个象限）；（2）求出在0360（02）间的角；先求出与函数值的绝对值对应的锐角1；根据所在的象限求出02内的角若在第一象限，则1；若在第二象限，则1；若在第三象限，则1；若在第四象限，则21（3）写出所有与角终边相同的角例如，已知sinx，求角x集合的步骤是：第一步：确定角x所在的象限sinx0，角是第三或第四象限的角第二步：在02内确定x的值sinx时，在（0，）内，x1在第三象限内xx1；在第四象限内x2x12第三步：求出满足条件的角xx|x2k，kZx|x2k，kZ说明：上述角还可以进一步简化x|x2k，kZx|x2k，kZx|x（2k1），kZx|x（2k2），kZx|xk（1）k（），kZ说明：求角的结果在表述上的多样性如何理解反正弦、反余弦、反正切的概念？（1）正确理解符号的含义当且仅当|x|1时，arcsinx表示属于，的唯一确定的一个实数，此实数对应于一个角，即arcsinx；显然，当且仅当|x|1时，有sin（arcsinx）x当且仅当|x|1时，arccosx表示属于0，的唯一确定的一个实数，此实数对应于一个角，即arccosx；显然，当且仅当|x|1时，有cos（arccosx）x当xR时，arctanx表示属于（，）的唯一确定的实数，它对应于一个角，即arctanx，同样有tan（arctanx）x（2）arcsinx、arccosx、arctanx既表示一个角，也表示实数，它在解决某些非特殊角的问题时，用起来很方便如何用反正弦、反余弦、反正切表示角？用反正弦、反余弦、反正切表示角的集合，一般有如下结论（1）设sinxa（|a|1），求x先写出x，内的角xarcsina，再写出所有角的集合x|xk（1）karcsina，kZ特别地，当|a|1时，所有角的集合为x|x2karcsina，kZ（2）设cosxa（|a|1），求x先写出x0，内的角xarccosa，再写出所有角的集合x|x2karccosa，kZ特别地，当|a|1时，所有角的集合为x|x2karccosa，kZ（3）设tanxa（aR），求x先写出x（，）内的角xarctanx，再写出所有角的集合x|xkarctanx，xZ【学习方法指导】已知角的正弦值，如何求角？例1已知sinx，（1）当x，时，求x的集合；（2）当x，时，求x的集合；（3）当x0，2时，求x的集合；（4）当xR时，求x的集合解：（1）ysinx，x，时是单调增函数，且知sin，满足条件的角有且只有xarcsin x的集合为（2）arcsin ，当x，时，ysinx在其上单调递减，此时xarcsinx的集合为（3）函数ysinx，x0，2，且sinx0适合条件的x应在第一或第二象限，由前面（1）、（2）可知符合条件的角有两个，第一象限角为，第二象限角为，x的集合为，（4）正弦函数ysinx的周期为2，当x0，2时，适合条件的x的集合是，所以xR时，适合条件的x的集合是x|x2k或x2k，kZ可以将x的集合简写为x|xk（1）k，kZ已知角的余弦值，如何求角？例2（1）已知cosx，且x是一个三角形的一内角，求x（2）已知cosx，且x0，2，求x的取值集合（3）已知cosx，且xR，求x的取值集合解：（1）因为cosx0，所以先求出cosx|的锐角x1，即x1arccos|；又cosx，x是一个三角形的一个内角，x（，）x再根据余弦函数ycosx，x（，）是单调递减函数，x（2）余弦函数ycosx，x0，2不是单调函数，符合cosx，x0，2的x可能在第二象限或第三象限，即x1或x1，（x1）x的取值集合为，（3）余弦函数ycosx的周期为2，在x0，2符合条件的x为、，所以xR的x的集合为，x|x2k或x2k，kZx的集合可简写为x|x2k，kZ小结：已知角x的一个三角函数值求角x，若函数值为负数时，则先求出与其绝对值对应的锐角x1，而后根据角x可能是第几象限角，得出0，2）内对应的角如果它是第二象限角，那么可表示为x1；如果它是第三象限角，那么可表示为x1；如果它是第四象限角，那么可表示为x12已知角的正切值，如何求角？例3（1）已知tanx1，x（，），求x（2）已知tanx1，x（0，2），求x（3）已知tanx1，xR，求x的取值集合解：（1）根据正切函数ytanx，x（，）是单调递增函数和arctan1（，），得x（2）因为正切函数ytanx，xR且xk是周期为的周期函数，x（，）符合条件的x为，所以在（0，2）内，有且仅有两个值，即，为所求（3）符合tanx1，xR的x的取值集合为：x|xk，kZ【知识拓展】1已知三角函数值求角的一般方法可有如下两种：（1）“四步法”确定角x可能的象限；求出与三角函数值的绝对值所对应的锐角x1（必要时，可查表或利用符号arcsina（|a|1）、arccosa（|a|1），arctana来表示）；如果适合条件的角在第二象限，则xx1；如果在第三象限，xx1；如果在第四象限，x2x1；如果要求适合条件的所有的角，则利用终边相同的角的表达式表示出来（2）利用同名三角函数值相等时两角的关系求出角2在同一个求角问题中，所求出的角，由于采用的方法不一样，其形式不尽相同如x|xk，或xk，kZx|x，kZx|x，kZ【同步达纲训练】一、选择题1tanx，0x2，则角x等于（）A或B或C或D或2适合关系式sin2xsinx成立且在（0，2）内的x的个数有（）A1 B2 C3 D43已知02x2，则cos2x成立的x的范围是（）A（0，） B（，） C（，） D0，二、填空题4在，内满足tanx的最小正角是_5sin2x，0x，则x_三、解答题6直角ABC的锐角A、B满足2cos2tanAsinA1，求A参考答案【课前复习】1（1）C （2）A （3）C2（1） （2）或 （3） （4） 或或或（5）xarctan或xarctan（6）xarccot【同步达纲训练】一、1D 2C 3D二、4 5 ，三、6解：由已知得1cosBtanAsinA12sinAtanA， A为锐角sinA0，cosA，而0A 备课中心 名 师 点 拔-数 学学科：数学教学内容：已知三角函数值求角【课前复习】1会做了，学习新课才有保障（1）函数y2tan（3x）的周期是（）A B C D（2）函数ytanxcotx的奇偶性是（）A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数（3）函数ytan（）的递增区间是（）A（，） B（2k，2k），kZC（2k，2k），kZ D（k，k），kZ2先看书，再来做一做（1）已知sinx且x，则x_（2）已知sinx且x0，2则x_（3）已知cosx且x，则x_（4）已知2sin2x1，x0，2则x_（5）已知tanx，且x0，2，求x的取值（6）已知cotx且x（，），求x【学习目标】1理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示2会由已知角的正弦值、余弦值、正切值，求出各自一个周期内的角，并能用反正弦、反余弦、反正切符号表示角或角的集合【基础知识精讲】1本节是介绍如何根据角的正弦值、余弦值、正切值求出这个角或角的集合，并引入了arcsinx，arccosx，arctanx等数学符号2这里指出：（1）由于三角函数不是从定义域R值域1，1上的一一映射，所以已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分以下几步：第一步，决定角x可能是第几象限角第二步，如果函数值是正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出0，2内对应的角如果它是第二象限角，那么可表示为x1；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为x1或x12（2）arcsinx、arccosx这些符号在解决某些求非特殊角的问题（例如：立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、二面角；解析几何中直线的倾斜角等）时有用，所以应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用在引入实数a的反正弦（1a1）、反余弦（1a1）之前，要先复习相应三角函数的图象及其性质（3）如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示3例1分为二个层次，已知角的取值范围分别为，、0，2，这样求适合sinx的x分别有且仅有一个、有且仅有2个；第（2）小题要求用集合表示结果，教材中给出了二种表示方式：，或arcsin，arcsin显然这两种表示方式等价，学生要学会这两种表示方式，但解题用哪一种都可以，例题23也一样4本课内容的重点是已知正、余弦值求角，难点有以下三个：一个是根据角的取值范围确定有已知三角函数值的角的个数，并把它（们）找出来或用集合表示出来；二是对反正弦、反余弦这两个概念及其符号的正确认识；三是用符号arcsinx，arccosx表示所求的角或角的集合为此本课时配备了三道例题，每道例题又分二道小题，分别代表一个层次，按层次讲好每道例题，使学生拾级而上，弄清各层次题目的意义，是学好本小节内容和克服上述难点的关键5这里指出已知角的正切值求角和已知正、余弦值求角内容上完全平行，包括求角的基本方法，反正切的概念及用反正切符号表示角或角的集合等因此在教学时，可在充分复习上一节课内容的基础上，采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别6例4与前面几道例题一样分二道小题，分别代表一个层次，按层次讲好例题，使学生拾级而上，弄清各层次题目的意义是关键须指出的是例4在题目中规定了“精确到01”，其结果就不能用角度来表示7关于本小节的练习和习题，一定要控制难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充根据倍角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，避免用“解下列方程”一类的词语，一律改用“求适合下列关系式的x的集合”的说法，只要使学生“会由已知三角函数值”求角就可以本节课内容的重点是已知正切值求角，难点有以下三点：一个是根据角的取值范围确定有已知三角函数值的角的个数；二是对反正切这个概念及其符号的正确认识；三是用符号arctanx表示所求的角或角的集合，须指出用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求的角或角的集合，形式上不唯一本节需要注意的几个问题已知三角函数值求角的步骤是什么？已知三角函数值求角，是已知任意一个角求它的三角函数值的逆向问题，它比求一个角的三角函数要复杂如已知，则sinsin，反之，若已知sin，则?显然，在没有标明范围的情况下，它是多值的一般地，已知三角函数值求角的步骤是：（1）确定所在象限（有时不止一个象限）；（2）求出在0360（02）间的角；先求出与函数值的绝对值对应的锐角1；根据所在的象限求出02内的角若在第一象限，则1；若在第二象限，则1；若在第三象限，则1；若在第四象限，则21（3）写出所有与角终边相同的角例如，已知sinx，求角x集合的步骤是：第一步：确定角x所在的象限sinx0，角是第三或第四象限的角第二步：在02内确定x的值sinx时，在（0，）内，x1在第三象限内xx1；在第四象限内x2x12第三步：求出满足条件的角xx|x2k，kZx|x2k，kZ说明：上述角还可以进一步简化x|x2k，kZx|x2k，kZx|x（2k1），kZx|x（2k2），kZx|xk（1）k（），kZ说明：求角的结果在表述上的多样性如何理解反正弦、反余弦、反正切的概念？（1）正确理解符号的含义当且仅当|x|1时，arcsinx表示属于，的唯一确定的一个实数，此实数对应于一个角，即arcsinx；显然，当且仅当|x|1时，有sin（arcsinx）x当且仅当|x|1时，arccosx表示属于0，的唯一确定的一个实数，此实数对应于一个角，即arccosx；显然，当且仅当|x|1时，有cos（arccosx）x当xR时，arctanx表示属于（，）的唯一确定的实数，它对应于一个角，即arctanx，同样有tan（arctanx）x（2）arcsinx、arccosx、arctanx既表示一个角，也表示实数，它在解决某些非特殊角的问题时，用起来很方便如何用反正弦、反余弦、反正切表示角？用反正弦、反余弦、反正切表示角的集合，一般有如下结论（1）设sinxa（|a|1），求x先写出x，内的角xarcsina，再写出所有角的集合x|xk（1）karcsina，kZ特别地，当|a|1时，所有角的集合为x|x2karcsina，kZ（2）设cosxa（|a|1），求x先写出x0，内的角xarccosa，再写出所有角的集合x|x2karccosa，kZ特别地，当|a|1时，所有角的集合为x|x2karccosa，kZ（3）设tanxa（aR），求x先写出x（，）内的角xarctanx，再写出所有角的集合x|xkarctanx，xZ【学习方法指导】已知角的正弦值，如何求角？例1已知sinx，（1）当x，时，求x的集合；（2）当x，时，求x的集合；（3）当x0，2时，求x的集合；（4）当xR时，求x的集合解：（1）ysinx，x，时是单调增函数，且知sin，满足条件的角有且只有xarcsin x的集合为（2）arcsin ，当x，时，ysinx在其上单调递减，此时xarcsinx的集合为（3）函数ysinx，x0，2，且sinx0适合条件的x应在第一或第二象限，由前面（1）、（2）可知符合条件的角有两个，第一象限角为，第二象限角为，x的集合为，（4）正弦函数ysinx的周期为2，当x0，2时，适合条件的x的集合是，所以xR时，适合条件的x的集合是x|x2k或x2k，kZ可以将x的集合简写为x|xk（1）k，kZ已知角的余弦值，如何求角？例2（1）已知cosx，且x是一个三角形的一内角，求x（2）已知cosx，且x0，2，求x的取值集合（3）已知cosx，且xR，求x的取值集合解：（1）因为cosx0，所以先求出cosx|的锐角x1，即x1arccos|；又cosx，x是一个三角形的一个内角，x（，）x再根据余弦函数ycosx，x（，）是单调递减函数，x（2）余弦函数ycosx，x0，2不是单调函数，符合cosx，x0，2的x可能在第二象限或第三象限，即x1或x1，（x1）x的取值集合为，（3）余弦函数ycosx的周期为2，在x0，2符合条件的x为、，所以xR的