10302命题与条件(答案).doc

第二讲：命题与条件命题属性：能够判断出真假。1、 命题有四种形式：原命题： ；逆命题：；否命题：；逆否命题：.若命题甲命题乙，且命题乙命题甲，则命题甲和命题乙称为等价命题.原命题和逆否命题为等价命题,逆命题和否命题为等价命题.提示：等价交换是解题的一种很好的策略。2、 若,则叫做的充分条件;若,则叫做的必要条件;这就是必要性的由来；若,则是的充要条件.3、 若则是的充分条件；若则是的必要条件；若则是的充要条件。提示：从集合角度来判断充分必要条件更科学。例：“”是“”的 条件。用集合的角度来解：表示平面上除掉（2，3）这个点，表示平面上除掉这条直线的点，所以后一个是前一个的子集，故“”是“”的必要而非充分条件。提示：解有关命题的题目应该把握住的几个关键点： 命题的形式； 充分必要条件的推理方向； 怎样用集合的包含关系来理解分析集合的推理。例1 写出命题：“”的逆命题、否命题、逆否命题、并判断它们的真假。解：逆命题：；否命题：；逆否命题：.因为当x=2时,所以原命题为真命题,从而逆否命题也为真命题.逆命题为假命题.它的一个反例是取x=1,此时2,但.由此知否命题也为假命题.例2 已知一个命题的逆命题是：“若整数m、n不具有相同的奇偶性，则mn和m+n也不具有相同的奇偶性”，写出其余命题的形式，并判断其真伪。解：原命题：若mn和m+n不具有相同的奇偶性，则整数m、n不具有相同的奇偶性；否命题：若mn和m+n具有相同的奇偶性，则整数m、n具有相同的奇偶性；逆否命题：若m、n具有相同的奇偶性，则mn和m+n具有相同的奇偶性。因为m、n不具有相同的奇偶性，所以，mn为偶数，m+n为奇数，mn和m+n不具有相同的奇偶性，所以逆命题正确，否命题和逆命题互为逆否命题，是等价命题，从而否命题也真命题；若m、n均为奇数，则mn为奇数，m+n为偶数，mn和m+n奇偶性不同，所以，逆否命题为假命题，原命题和逆否命题是等价命题，所以原命题也为假命题。例3.有限集合S中元素的个数记为，设A，B都为有限集合，给出下列命题：（1）的充要条件是（2）的必要条件是（3）的充分条件（4）的充要条件是以上真命题的序号是 。解：根据集合的交集、子集等概念，再结合充分必要条件的定义可得：真命题为（1），（2）；例4 命题甲：数列是公差不为0的等差数列；命题乙：数列的前n项，判断甲、乙是否为等价命题，并说明理由。 解：若是公差不为0的等差数列，设首项为该数列的前n项和令若数列的且n项和则当时，又当n=1时，也满足上式，所以所以所以是公差不为0的等差数列。所以，命题甲和命题乙为等价命题。提示：通过这道题，我们可以得出：对于，则数列为等差数列。那么，对于呢？其实，当c为0时，就是前面讨论的结论；当时，则第一项为a+b+c，从第二项开始为等差数列。例5 （1）已知角则的（ ）A、充分但非必要条件 B、必要但非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件解：若若，取所以，应选A（2）（09安徽省高考题）下列选项中，是的必要不充分条件的是（A）， （B）， 的图像不过第二象限（C）， （D）， 在上为增函数解：由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可举反例。选A(3)设或或是的充分条件，求m的取值范围。解：设是由图得：解得：或的取值范围是分析：此题给出了是的充分条件，根据子集与推出关系的等价转换，可以用数轴来表示它们之间的关系，这更加直观、明确。例6（2007年上海高考理科试题第15题）设是定义在正整数集上的函数，且满足；“当成立时，总可推出“成立”。那么。下列命题总成立的是（A）若成立，则当时，均有成立。（B）若成立，则当时，均有成立。（C）若成立，则当时，均有成立。（D）若成立，则当时，均有成立。解：分析命题之间的关系，要用到原命题等价于逆否命题，也就有当成立时，总可推出成立”。等价于：成立总可推出成立。对比上述（A）选择支，若成立，只能推出：当时，均有成立。所以（A）不对；（B）选择支：若成立，能推出当，；（B）不成立；（C）选择支，若成立，只能推出：当时，均有成立，所以正确的答案是（D）。（ ）A、充分但非必要条件 B、必要但非充分条件C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件解:若取，则充分性不成立；若取且，这两个不等式的解集都为，必要性也不成立。答案选D例8 写出为偶函数的一个充分不必要条件。（答案不唯一，只需写出一个即可），你能否写出必要不充分条件，充要条件吗？解：取或者取如果要找出充要条件，则由定义得：；例9已知三个一元二次方程：中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围。解：考虑三个方程都没有实根的情形：故所求的范围是例10给出如下两个命题：命题是的反函数，且命题：集合求实数a的取值范围，使命题中有且只有一个为真命题。解：化简命题，得若p真q假,则有若p假q真,则有故当时，命题中有且只有一个为真命题例11 设，若“对于一切实数x，f（x）0”是”对一切实数x,g(x)0”的充分条件,求实数m的取值范围.解:对于一切实数x,(这里A=(-1,3)当m=0,g(x)=2ax,因为g(0)=0,所以不可能对一切实数x,g(x)0,因此,对一切实数x,g(x)0“对一切实数x,f(x)0”是”对一切实数x,g(x)0”的充分条件,必须且只须提示：这里的关键点是将（“对于一切实数x，f（x）0”是”对一切实数x,g(x)0”的充分条件）这个条件转化为第一个条件a的取值范围是第二个条件a的取值范围的子集。记住这个观点：命题条件问题转化为集合问题来解决。例12 已知抛物线点A（3，0）B（0，3），求抛物线与线段AB有两个不同交点的充要条件是什么？AB方程为x+y-3=0， 4 3 o y x 如果不考虑对称轴，就会出现虚线图像这种情况，显然不满足条件自测练习题：（1）为奇函数是的（ D ）条件。A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分也非必要提示：显然 推不出为奇函数；那为奇函数能否推出呢，反例，故为奇函数是的.既非充分也非必要条件。（2）是在第三或第四象限的（ C ）A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分也非必要（3）空间四边形的四边相等是的（ B ）条件。A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非