数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题.doc

13.4 课题学习 最短路径问题教学设计兴城市高家岭中学 武子禁一、教学内容分析随着新一轮课程改革的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题二、学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，首次遇到某条线段与线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到，无从下手，但是学生已经学习了轴对称的知识以及三角形两边之和大于第三边的知识，七年级时也学习了对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，这就需要用到轴对称的知识。三、教学目标1.能将实际问题中的已知抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；3.能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想四、重点与难点本节课的教学重点是：将实际问题抽象为数学问题；将同侧两点转化为异侧两点。本节课的教学难点是：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短。五、教学过程设计活动1【导入】创设情境、导入新课 小美女，把你的课堂笔记拿给老师看看，谢谢，请问，你刚才为什么要选择从这条路径走，而不是绕外围呢？同学们，你们能用我们的数学知识来解释这个生活常识吗？现实生活中，我们常常涉及到选择最短路径问题，今天我们将利用大家前一阶段所学的知识解决生活中的实际问题： 13.4 课题学习 最短路径问题 让我们穿越时空，回归到遥远的古希腊，来探究数学史上著名的“将军饮马问题”。活动2【讲授】探究“将军饮马问题” 1、提出问题，抽象模型相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题聪明的同学们，你能回答吗？这是一个实际问题，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点P，使AP与BP的和最小？2、化未知为已知，化“同侧”为“异侧”这个问题我们很容易联想到“两点之间的所有连线中，线段最短”，但现在点A和点B在直线的同侧，这该怎么办呢？下面我们来寻找解决问题的途径（1）请同学们拿出纸片,在上面点出A,B两点,这两点的最短路经便是连接AB;（2）将纸片折叠，其中折痕在点A, 点B之间（点A, 点B不重合），用笔尖戳破点A,同时留下痕迹A；（3）继续沿同一折痕重复折叠，看点A和点A互相之间是怎样得到的？追问1.观察纸片折痕与线段AB的交点到点A和点A的距离有什么关系,折痕上的点与线段AB的交点到点A和点A的距离有什么关系？追问2.现在点A与点B在折痕的同侧，能否将点A移到折痕的另一侧A处且满足折痕（直线）上任意一点P都保持AP= PA?追问3.你能根据轴对称的知识找到“将军饮马问题”中符合条件的点？【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念3、师生共同完成作图4、直观感受且证明“最短”这个结论是否正确呢，咱们先从数量上来直观感受一下：几何画板演示，从数量上感知AP+BP最短【设计意图】 通过动态展示，为学生探究问题提供形象生动的显示，提高学生的学习兴趣和探究问题的积极性.你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.追问1：证明AP +BP最短时，为什么要在直线l上任取一点P（与点P不重合）？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点P不重合）与A，B两点的距离和都大于AP +BP，就说明AP +BP最小【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.活动3【合作探究】拓展延伸例1如图，前几天咱班在召开班会时，桌子摆成如图所示四排(图的AB,BC,CD,AD)，BC桌面上摆满了好吃的，O处为演唱歌曲的小明同学（靠在AD排的内侧），F处为小明的同桌。站在O处的学生小明先拿好吃的，然后到F处送给同桌，最后回到O处上。请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨. 变式：已知：P、Q是ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使PQR的周长最短吗 【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法活动4【练习】课堂小结教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）今天所探究的最短路径问题是借助于什么知识解决的？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.活动5【作业】划分层次、布置作业 （一）必做题：1.对于“将军饮马”问题，本节课我们探究的是点A关于直线l的对称点确定的A BA与l的交点P即为所求。那么点B关于直线l的对称点确定的B,BA与l的交点又在哪里，与点P有什么样的位置关系 ？请同学们回家自己完成。 2. 教材93页15题：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。（二）选做题：已知P是ABC的边BC上的点， 你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使PQR的周长最短吗？ 结束思考题：（1）你有梦想吗，你的梦想是什么？（2）实现你的梦想的最短路径是什么？【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.六、设计说明1.本节课学生的探究活动比较多，在探究过程中要引导学生发现规律，不可急于求成，也不能为了后面多做几道练习而介绍规律，学生自主探究的过程就是对学生能力的培养，同时也是对最短路径探求的识记过程，更提高了学