数学人教版九年级上册弧长与扇形面积.docx

21.1一元二次方程一、教材分析本章的主要内容包括两个方面：1、一元二次方程的基本概念及其解法；2、一元二次方程在实际问题中的应用。全章共包括三节：一元二次方程、降次解一元二次方程、实际问题与一元二次方程。本节以签合同问题、制作方盒问题和体育比赛中的组合问题这三个问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，让学生感受一元二次方程这一概念的内涵。并通过提出问题，要求学生观察思考方程中未知数的个数和次数，引导学生联想并类比一元一次方程，以便更好地理解一元二次方程的有关概念。这样编排，既有利于学生理解并接受新知识，又充分地反映出一元二次方程及其有关概念来源于现实世界，是刻画现实世界的一个有效数学模型。二、教学任务分析 教学目标 知识技能1、 理解一元二次方程的概念。2、 掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系 数及常数项。教学思考与问题解决 通过丰富的实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。情感态度1、培养学生自主探究和合作交流的学习习惯。2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。重点一元二次方程的概念及一般形式。难点1、由实际问题向数学问题的转化过程。2、一元二次方程及其二次项系数和常数项的识别。教法学法情境创设、观察、思考、自主探究、合作交流3、 教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 创设情境 引入新课活动2 启发探究 获得新知活动3 运用新知 体验成功活动4 归纳小结 拓展提高活动5 布置作业 分层落实通过实际问题引入新知。通过类比一元一次方程的概念和一般形式，让学生获得一元二次方程的有关概念。巩固训练，加深对一元二次方程有关概念的理解。回顾梳理本节内容，拓展提高学生对知识的理解。分层次布置作业，提高学生学习数学的兴趣。4、 教学过程设计问题与情景师生行为设计意图活动1情境引入问题1：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？问题2：有一块矩形铁皮，长100，宽50，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题3：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？结合生活实例，引入新课激发学生学习热情。结合图形分析题意，列出方程，解决问题。 结合学生最感兴趣的生活情境，培养学生热爱生活的情怀。通过创设情境，引导学生复习一元一次方程的概念和一般形式，为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫。让学生通过数形结合的方法，转化实际问题，从而得到方程，为引入一元二次方程的概念做好准备。通过解决实际问题引入一元二次方程的概念，同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。问题与情景师生行为设计意图活动2学习新知1、观察上面三个方程与一元一次方程有什么区别？它们有什么共同点？2、一元二次方程的概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。3、练习请抢答下列方程是否为一元二次方程：（多媒体出示）2、 2、4、剖析一元二次方程的一般式： 教师提出问题，引导学生思考。 由学生观察归纳这3个方程的特征，给出名称。并类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义。 活动中教师应重点关注:(1)引导学生观察所列出的三个方程的特点；(2)强调定义中体现的3个特征：整式；一元；二次。由学生以抢答的形式来完成此题，并让学生找出错误理由。此活动中，教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳。引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念。让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的。这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中三个特征的理解。此环节采取抢答的形式，提高学生学习数学的兴趣和积极性。此环节让学生通过自主探究，类比一元一次方程一般形式，得出一元二次方程一般形式和项、系数的概念，从而达到真正理解并掌握的目的。问题与情境师生行为设计意图活动3巩固应用1、将方程3x（x-1）=5（x+2）化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 2、关于x的方程（2a4）x2 2x+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 先由教师在大屏幕上显示问题,由学生经过思考,给出符合条件的答案,全体学生进行判断是否正确.在此环节可设置一个小游戏，让答对学生给出进行变式编题。如：若关于x的方程（m-1）x2+3mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是 。此环节中，教师应注意板书学生给出的方程并且及时引导学生注意类似的情况。此题设置的目的在于加深学生对一般形式的理解采取游戏的形式以提高 学生对数学学习的兴趣，参与课堂活动的积极性，还可鼓励学生课下继续以合作的形式进行学习。问题与情境师生行为设计意图活动4小结1 本节课你学到了哪些内容和方法？ 2思维拓展： 若方程x2m+n +xm-n +3=0是关于x的一元二次方程，求m,n的值。小结时，教师应重点关注：（1）学生是否能抓住本节课的重点；（2）学生是否掌握一些基本方法。此题让学生进行思考、讨论、讲解，教师作适当归纳，可留疑，让学生课下思考。小结反思中，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。此题需进行分类讨论，开拓学生思维，体现数学的严谨性。活动5课后作业：(A)教科书第4页习题21.1第1、2、4、5、6题.(B)请根据所给方程：（16-2x）(10-2x)=112，联系实际，编写一道应用题（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）。 （A）组题目为巩固型作业。（B）组题目为思维拓展型作业，即为学有余力的学生设置。分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。板书设计：22.1 一元二次方程一元二次方程的概念 ： 例：将下列方程化为一般形式，并分别 等号两边都是整式, 只含有一个未知数 指出它们的二次项、一次项和常数项及(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次) 它们的系数：的方程叫做一元二次方程 3x（x-1）=5（x+2）一元二次方程的一般式：a x2 + b x + c = 0 (a 0)五、教学设计说明 本节课的教学设计具有以下特点；1.重视新旧知识的联系，利用对比与类比得出新概念。在本节课学习新概念时，教师利用已学过的一元一次方程作对比，分析两类方程的区别和联系，通过比较，学生对一元二次方程的认识更加深刻。2.关注概念的实际意义，重视数学与生活的联系。本节课从实际问题出发，列出一元二次方程，讲解一元二次方程的概念，这种安排贴近生活，使概念的学习不是空洞的，而是为了解决实际问题，让学生逐步感受数学对于生活的意义，激发学生对数学的热爱。3.注重例题、练习题，踏实基础，分层提高。教师在例题与练习题的选择上，注重了本节课的基础知识和基本技能，体现了一些解决方程问题的基本方法，适合全班所有同学学习。对于作业的分层布置，符合“人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的要求。24.4弧长和扇形的面积1、 教学目标 【知识技能】 1、理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式，并能利用弧长公式进行相关计算。 2、类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式，并能利用扇形面积公式进行相关计算。【数学思考与问题解决】1、 解决部分与整体之间关系的问题，往往要用到比例的方法；能从函数的观点去分析和理解弧长公式和扇形面积公式。2、 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力和应用公式解决问题的能力。 【情感态度】1、引导学生类比弧长公式的推导来获得扇形面积公式，培养学生动手、动脑的能力以及与他人合作交流的能力。2、通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性。二、教学重难点 1、重点：弧长公式和扇形面积公式的推导及公式的应用。 2、难点：运用公式计算组合图形面积。 3、关键：理解1的弧长公式和1扇形面积公式。三、教法学法指导根据九年级学生的年龄特点和心理特征以及现有的知识水平，老师通过动态演示形成弧长和扇形的面积变化，启迪学生思维，在讲解新课时我主要采用启发式教学法，先观察当半径一定时弧长的变化与哪些因素有关，然后由特殊到一般，由具体到抽象，通过探究，当学生顺利得出n圆心角所对弧长公式后，再利用类比方法得出n圆心角所对扇形面积公式。同时再启发学生用联系和发展的观点得出扇形面积的第二公式。本课设置两个例题，重点巩固两个公式，培养和渗透学生几何建模和几何推理应用意识，提高学生解决问题的能力和树立严谨的学习态度。4、 教学过程环 节师 生 活 动设计意图课前延伸1、圆的周长；2、圆的面积；3、圆弧。 教师确立延伸目标，让学生回顾旧知，为本课学习做好准备。 课堂导入1.动态演示弧长和扇形变化；2.把握变化过程中几个特殊的位置，对应的弧长和扇形面积 直观教学，引出课题，确立学习目标。课 内探究（一）自主学习，合作探究 弧长和扇形面积变化与哪些因素有关？（1）圆心；（2）半径；（3）圆心角 【课件演示，观察，结合特殊条件下的几个弧长的分析和计算，有什么发现？】1、已知的半径为2，这个圆的周长是 ，面积是 。当圆心角为180时，弧长是 ，当圆心角为360时，弧长是 。当圆心角为90时，弧长是 ，弧为圆周的 分之 ；当圆心角为60时，弧长是 ；弧为圆周的 分之 ；当圆心角为30时，弧长是 ；弧为圆周的 分之 ；当圆心角为1时，弧长是 ；弧为圆周的 分之 ；2、你能推导出半径为R,圆心角为n时，弧长是多少吗？ 【因为360的圆心角所对的弧长是圆周长2R，所以1的圆心角所对的弧长为，于是n的圆心角所对的弧长为】即3、 类似地， 你能推导出半径为R,圆心角为n时，所对地扇形的面积是多少吗？ 【 圆的面积为R2 ，所以1的圆心角所对的扇形面积为，n的圆心角对应的扇形面积为】即4、继续探索：当扇形半径为R,圆心角为n时，扇形面积S与弧长l之间会有什么关系吗？【在这两个公式中，我们发现弧长和扇形面积都和圆心角n半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，】即、由学生查找的资料入手，在老师的指引下，在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辨、补充，自己得出几个公式。不仅锻炼学生的合作学习能力、表达能力， 同时对知识也有了深刻、全面的理解，培养了他们抽象的思维能力和科学严谨的学习态度。（二）自主学习，合作探究例1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l可求得的长，其中n为圆心角，R为半径解：R40mm，n110的长R4076.8（mm）因此，管道的展直长度约为76.8mm例2、如图，水平放置的一个圆柱形排水管道的横截面半径为0.6m，其中水高0.3cm，求截面上有水部分的面积（结果精确到0.01cm2）分析：要求图中阴影（弓形）面积，没有直接的公式，需要转化为图形组合的和差问题，即扇形面积与三角形面积的差。容易想到做辅助线利用垂径定理，先根据公式分别求出扇形和三角形面积，问题得到解决。解：连接OA，OB，作弦AB的垂线OC，垂足为D,连接AC,则AD=BD.OC=0.6，CD=0.3，OD=OCCD=0.3,OD= CDADDC,AD是线段OC的垂直平分线，AC=AO=OC.AOD=60,从而AOB=120S扇形OAB=在RtAOD中OA=0.6,OD=0.3AD=0.3，AB=0.6，SOAB=S= S扇形OAB- SOAB0.22（m2）所以截面上有水部分的面积约为0.22m2。 通过两道例题教学，巩固两个公式，并学习规范的书写步骤。 对课本例题书写过程加以改编，使学生精准掌握例题。（三）课堂提升1、若扇形的圆心角为120，弧长为，则扇形半径为_，扇形面积为_。 2、如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的圆心角为_。3、已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为_cm。4、在AOB中，O=90，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。 选题解答分层优化课堂小结本节课你有哪些收获和体会？ 知识与能力方面： 情感体会方面： 学生总结本节课，教师补充，完成教学目标，突出知识重点和情感体验。布置作业 第115页第2、3、4、6题 分层作业，巩固公式，掌握教材。课后提升 培养学生利用网络自主学习的意识和和能力，巩固本课知识。板书设计 24.4弧长和扇形面积一、扇形弧长 二、扇形面积 三、例题 条理清晰，突出重点。便于学生理解和掌握。五、教学反思 我认为这节课是比较成功的。1、注重了学生的学情。我们的学生大部分学习比较被动，他们所掌握的知识就局限于老师上课讲的内容，没做过、没讲过的题目基本不会做，一节课所学的内容不能多、不能快，宁可慢点，小步伐地带领学生逐一突破难关。2、突出重点、分散难点、注重数学的严密性。在讲解例题2时，引导学生“过点O作AB的垂线，交弦AB于点D，交AB弧于点C，同时让学生明白哪一条线段的长是03m，这道题是一道综合性很强的题目，教材在解答中是直接作弦AB的垂直平分线且默认经过点O，这一处理不是非常严密和科学。3、重视教师的教学观。在一开始学习弧长、扇形面积公式时，就让学生根据其中两个量直接代入公式，通过解方程求第三个量。这样经过老师耐心训练，学生慢慢熟能生巧，也能很快准确地解出来，从而提高学生计算能力。以下几点是不足之处：1、课堂节奏把握得不够准确，讲解例题时所花时间过多，导致最后的练习不够充分。2、鼓励性语言使用得还不够多。在以后的教学中，不但要利用口头语言，还要利用肢体语言进行对学生的鼓励。第十四章轴对称141 轴对称(1)教学目标通过丰富的实例认识轴对称图形，并能找出轴对称图形的对称轴了解轴对称图形、两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别经历丰富材料的学习过程，发展对图形的观察、分析、判断、归纳等能力体验数学与生活的联系、发展审美观教学重点与难点重点：轴对称的有关概念；难点：轴对称图形与两个图形关于某条直线对称这两个概念之间的联系与区别教学准备教师：收集有关轴对称的素材(包括图形、实物、图片等)学生：准备复写纸；收集有关窗花的素材，并要求进行剪纸-双喜字或其他窗花教学设计作品展示，交流体会1作品展示：让部分学生展示课前的剪纸作品(可以将作品粘贴到黑板上)；2小组活动：(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的?为什么要这样?(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点?注：通过对收集材料、剪纸操作，增加学生对轴对称图形的感性认识，为轴对称概念的引出作准备活动的目的一是为了交流，更主要的是说出(发现)“对称”概念形成(一)轴对称图形1在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”注：在学生经历了一系列的过程后让学生尝试归纳，这本身也是一种能力的培养和对轴对称的理解教学中应该有意识地加以渗透2结合教科书第58页图13.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置3学生举例：试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子4概念应用：(1)教科书第60页练习；(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形?并简要说明理由注：对于一个概念的建立，让学生经历“实物概括应用”的过程，符合学生的认识规律(2) 两个图形关于某条直线对称 对于第二个概念的建立，分两个步骤进行：先观察图形，再进行画图其目的是突出两个图形和这两个图形之间的关系，在这个基础上再给出定义，比较合理1观察教科书第59页中的图13.1-3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点?2操作：取一张薄纸，先对折，然后中间夹一张复写纸，再在纸上任意画一个图案，取出复写纸后你发现两层纸上的图案有什么关系?3两个图形成轴对称的定义如下图，图形F与图形F就是关于直线l对称，点A与点A是对应点4举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?5练习：教科书第60页辨析概念分组讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别讨论后可列表比较如下：轴对称图形两个图形成轴对称区别一个图形两个图形联系1沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合(即直线两旁的两部分全等)2都有对称轴(至少一条)3如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形注：通过讨论、比较，便于进一步理解概念，弄清它们之间的联系和区别，以突破本课的教学难点采用小组讨论的目的意在引导学生参与，改变学习方式，发挥更佳的学习效果实践和应用1 下列图片是生活中的一些建筑物，它们是轴对称图形吗?2下列图形是部分汽车的标志，哪些是轴对称图形?奔驰宝马大众奥迪3下图中的两个图形是否成轴对称?如果是，请找出它的对称轴4请在下图这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形。注：这是从数字1到7组成的轴对称图形，问题有一定的难度，需要学生有较强地观察、辨别能力归纳小结通过本节课的学习，你有什么收获?主要围绕下列几个问题:1概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点2找轴对称图形的对称轴布置作业1必做题；(1)教科书第64页第1、2、4、5题，(2)收集35幅轴对称的图形2选做题；设计12个轴对称的图案说明；作业的设计从知识性和趣味性两个方面去考虑3备选题：备选题主要是为教师提供一些教学的素材 (1)下列图形是不是轴对称图形?如果