2011年高考数学命题趋势研讨会 原创题.doc

原创题1、题目：已知椭圆的左右两焦点分别为、， P是椭圆C上任意一点，以P为圆心，P为半径的圆必与一定圆相切，则此定圆的方程为 解析：由椭圆定义知，P+ P，定圆为以为圆心，以为半径的圆该圆与以P为圆心，P为半径的圆相内切 2、已知数列满足：正项数列满足（1）若是等差数列，且求的值及的通项公式；（2）若是公比为的等比数列求的通项公式；若，为的前项和，记设为数列的最大项，求解：（1），解得， -4分（2） ，又 -10分若，则（） -15分等号当且仅当即时取到， -16分3、已知.设点时，求实数的值为 即4、设是半径为2的球面上的四个不同的点，且满足。用分别表示的面积，则最大值为 答案为8解： 将三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线的成就是外接球的直径。所以。由基本不等式得而。所以最大值为85、1.如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列” 例如，数列与数列都是“对称数列” （1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列.求前项的和 解：（1）设数列的公差为，则，解得 ， 数列为.4分 （2） 8分 （3） 由题意得 是首项为，公差为的等差数列. 10分当时， .12分 当时， 15分 综上所述，16分6、已知A、B、C是直线l上的三点，向量、满足y+2 f (1)+ln(x+1) =.（）求函数的表达式；（）若，证明：；（）若不等式时，及都恒成立，求实数的取值范围解：()y+2 f (1)+ln(x+1) =，=y+2 f (1)ln(x+1)，由于A、B、C三点共线，即， ，故；（）令，由， ，在(0，)上是增函数，故， 即；（）原不等式等价于，令，由 ， 当时， ，令，则，得或7、如图，A、B是直线l上的两点，且AB=2两个半径相等的动圆分别与l相切于A、B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是 ；解：当两圆半径小于1时，两圆无公共点；当两圆半径等于1时，两圆相切，S = 2；当两圆半径大于1时，两圆相交，随着半径的不断增大，C点不断下降，面积S越来越小；故S（0，28、某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员.已知这家公司现有职工2m人（，且m为10的整数倍），每人每年可创利100千元.据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元.为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%.为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.问：为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？9、P点在边长为1的正三角形ABC内部，质点沿BP方向前进到BP中点M时，改向MA方向，又前进到MA中点N时，再改向NC方向，又行至NC中点，此时发现已到P点，则BP的长为-解：设向量BA=C，BC=a,BP=x则1/2（C-x/2）+1/21/2(c-x/2)+a-c=x/2解得X=4a+2c/7所以BP的长为27/710、设函数，表示不超过的最大整数，则函数的值域为： 解：故所求的值域为 11、已知的定义域是，对于任意的都有为_。解：令. 即.令.， .将以上个式子相加，得.12、已知函数，若实数使得函数在定义域上有零点，则的最小值为 .答：解一：综合函数零点、线性规划、二次方程根的分布等知识。令，则，问题转化为在区间上有零点.首先，当对称轴或时，均有；其次，当对称轴时，只要或，问题转化为满足条件：或，求的最小值，作出可行域，易得最小值为.解二：发散思维，变换主元思考。令，则，问题转化为在区间上有零点.令，则，问题转化为在区间上有零点.设是的一个零点，则有：，在坐标系下，视为直线，而表示到的距离的平方. 递增 本题考查了数学信息的解读能力，对学生分析问题、综合解决问题的能力要求较高。13、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是（）求小球落入袋中的概率；（）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望解：（）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故，从而；（）显然，随机变量，故，14、已知四边形ABCD是梯形，ABCD，ABAD，PA平面ABCD，QM且PA=AB=AD，CD=2AB，若点Q是线段PC的中点，(1)证明BQ 平面PAD；(2)若点 M是线段DC上一点，三棱锥C-BQM的四个侧面均为直角三角形，试确定点M的位置；(3)试求在(2)中，平面BQM把几何体分割成的两部分体积之比.分析：大家都认为08高考立体几何容易了，证明平行和垂直简单了，因此，本题要求考生能自主确定点的位置，并增加几何体的体积运算，考查了运算能力，转化能力，空间想象能力等等.QMN答案：(1)证明:取PD中点N，连接AN,QN由NQDC,DCAB,得NQAB,又DC2AB2NQ 四边形ABQN为平行四边形 ANBQ， BQ 平面PAD；(2) M是线段DC中点，AN平面PDC,BQ平面PDC, BQDCADDCBMDCDC平面BQM三棱锥C-BQM的四个侧面均为直角三角形；(3)设 AB=a，故.15、已知椭圆的离心率，左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，且与以为直径的圆关于直线对称（1）试判断直线与的位置关系； （2）若的面积为，求的方程 解：（1）由可设，则的方程为：，故的中点到的距离，又以为直径的圆的半径，即有，所以直线与相切（2）由的面积为得，设的中点关于直线：的对称点为，则，解得，所以的方程为：16、若数列an满足a1=100，当n2时，则数列an前200项的和为 .解：由题意知数列an的前20项成首项为100，公差为5的等差数列，从第21项起，奇数项均为，偶数项均为5，.17、在坐标平面内，已知两点，则与点的距离为1，且与点距离为3的直线有 条；解：与点距离为=1的直线即为以点为圆心，=1为半径的圆的切线，同理，与点距离为=2的直线即以为圆心，=2为半径的圆的切线，所以所求的直线即为两圆的公切线，又，所以两圆相离，它们有4条公切线；18、在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，则小于的概率为CABM解：设，则，设，当时，所以小于的概率为19、设是由正数组成的等差数列，是其前n项和（1）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明不等式成立；（2）是否存在常数k和等差数列，使恒成立（），若存在，试求出常数k和数列的通项公式；若不存在，请说明理由解：（1）证明=（2）设（p,q为常数），则，依题意有对一切自然数n成立由得，或；若代入有，而不满足，；由代入，代入得，将代入得，解得故存在常数及等差数列使其满足题意20、已知点A(2,1),B(1,2),且,则点P(x,y)的轨迹方程为y=-x+3 (1x2).分析：学生很容易想到利用结论：由且m+n=1得到P,A,B三点共线，故P的轨迹方程就是直线AB的方程y=-x+3。错误原因：忽视了0m,n1对x,y的限制。事实上，从基础知识和基本方法出发，则不易出错，过程如下：消元得整理得,即所以，21、设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆(1)求椭圆的离心率； (2)直线与圆相交于两点，且，求椭圆方程； (3)设点在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围解：（1）由条件可知， 因为，所以得： （2）由（1）可知，所以，从而半径为a，因为，所以，可得：M到直线距离为从而，求出，所以椭圆方程为：； （3）因为点N在椭圆内部，所以b3 设椭圆上任意一点为，则由条件可以整理得：对任意恒成立，所以有：或者解之得： 2 22、已知首项为1的数列满足：对任意的正整数，都有：，其中是常数（）求实数的值；（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，求证：，其中、解：（）由，及得 （）当时，有 设函数则当时，函数在区间上是增函数， 故 又从而对有 （）对， ， 两式相减，得， 23、在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在第二象限，半径为且与直线相切于原点,椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为.（）求圆的方程；（）圆上是否存在点，使、关于直线为圆心，为椭圆右焦点)对称，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（）由题意知：圆心，半径，所以圆的方程 4分（）由条件可知，椭圆， 7分 9分解法一：若存在，设直线的方程为即 11分设,则，解得，所以存在点，的坐标为. 14分 解法二：由条件知，设，则， 11分解得，所以存在点，的坐标为. 14分24、已知点P和点Q分别是函数和函数图像上关于直线对称的两点,则线段PQ长度的最小值为_答案: 解法一: 设是函数图像上任意一点.点P到直线的距离为,易求得,当时,的最小值为,线段PQ长度的最小值为.解法二: 设直线与直线平行且与曲线相切于点.,点M的坐标为.点M到直线的距离为,线段PQ长度的最小值为.25、用一个垂直于圆锥面的一条母线的平面截圆锥面得到一个椭圆,已知圆锥面的轴截面的中心角为,则椭圆的离心率为_答案：解: 如图,设BC为椭圆的长轴,过BC作圆锥面的轴截面,得到直角三角形ABC,它的内切球与BC切于点F,F是椭圆的一个焦点。设椭圆的长轴BC=2a ,焦距为2c 推广：26、已知圆轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点（点A在点B上方） （1）圆D的圆心在什么位置时，圆D与x轴相切； （2）在x轴正半轴上求点P，当圆心D在y轴的任意位置时，直线AP与直线BP的夹角为定值，并求此常数.（1）解：设D（0，a） （2）证明：假设存在点P（x0，0）,圆D的方程为. 解法一：设直线AP、BP的倾斜角分别为，则 直线AP与直线BP的夹角为定值,.,因为,所以点P的坐标为.，直线AP与直线BP的夹角为 解法二 ：的面积为 ,所以,点P的坐标为,直线AP与直线BP的夹角为27、下图给出了一个算法流程图。若给出实数a、b、c为输出的结果为b，则实数x的取值范围是 解答：流程图的功能是求实数a、b、c的最小值，则即 解得或答案：或本题考查流程图与一元二次不等式的求解的综合。既要考生读懂流程图，明白流程图的算法功能，也要考生顺利求解一元二次不等式。28、正方形的边长为1，分别为上的点，的周长为2 。ABQPDC（1）求的最小值：（2）求的大小；（3）求的面积的取值范围。解：（1）法一：设，则，当时， ，法二：设，则， 又，则 ，即（2）法一：设，则， 移项平方得 （）设，将（）式代入得， 法二：延长到，使，则，易得，而，（3） 又由（）得代入得 令则 （当时取等号） 29、若函数（）在P处的切线平行于函数在Q处的切线，则直线PQ的斜率为 解：,（） 当且仅当，又 当且仅当=2。由于函数（）在P处的切线平行于函数在Q处的切线，只能=2 P（0，0） Q（1，）本题主要考察：导数的几何意义，基本不等式，正余弦函数的有界性30、已知定义在R上的函数的图像有对称中心，且，则 。答案：0解析：函数的图像有对称中心（0，0），是奇函数。由知函数有对称轴，故函数是周期为2的周期函数，31、已知：集合。（1）证明：不存在，使得1，既是一个等差数列的前三项，又是一个等比数列的前三项。（2）是否存在，使得1，既是一个等差数列的第1、3、8项，又是一个等比数列的第1、3、8项？证明你的结论。（3）是否存在，使得1，既是一个等差数列的第r、s、t项，又是一个等比数列的第r、s、t项？证明你的结论。解：（1）由方程组的解为不符合题设，可证。（2）假设存在。由方程组，得，即设（），可证：当时，单调递减且；当时，单调递减且。，设，则。当时，递增，故，于是，在上单调递减。设，则，在上递增，即，所以。当时，递减，故，于是，在上单调递减。，在上递减，即，所以由函数（）的性质可知满足题设的不存在。（3）假设1，是一个公差为的等差数列的第r、s、t项，又是一个等比为等比数列的第r、s、t项。于是有：，从而有， 所以。设，同（2）可知满足题设的不存在。32、我们用和分别表示实数中的最小者和最大者（1）设，函数的值域为，函数的值域为，求；（2）数学课上老师提出了下面的问题：设，为实数，求函数（）的最小值或最大值为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数和的最值 学生甲得出的结论是：，且无最大值 学生乙得出的结论是：，且无最小值请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）解（1）， （4分） （2）若选择学生甲的结论，则说明如下， ，于是在区间上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数8分 所以函数的最小值是，且函数没有最大值（10分） 若选择学生乙的结论，则说明如下， ，于是在区间上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数8分所以函数的最大值是，且函数没有最小值（10 分）（3）结论：若，则； 若，则； 若，则， （写出每个结论得1分，共3分，证明为5分） 以第一个结论为例证明如下： ， 当时，是减函数， 当时，是增函数 当时，函数的图像是以点，为端点的一系列互相连接的折线所组成，所以有33、设函数的定义域为R，当时，且对任意的实数、，有（）求；（2分）()试判断函数在上是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在说明理由；（5分）（）设数列各项都是正数，且满足又设，试比较Sn与 的大小.（7分）解：（）令1分 2分() 又 当由1得故对于3分设则由已知得 5分函数在R上是单调递增函数. 6分函数在上存在最大值，f(x)max=f(0)=17分() 由得即函数是R上单调函数.8分数列各项都是正数，数列是首项，公差为1的等差数列，且.10分而12分当n1时， 当时， .14分F1xOyF234、设椭圆（）的两个焦点是和（），且椭圆与圆有公共点（1）求的取值范围；（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；（3）对（2）中的椭圆，直线（）与交于不同的两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围解：（1）由已知， 方程组有实数解，从而，（3分） 故，所以，即的取值范围是（4分） （2）设椭圆上的点到一个焦点的距离为，则 （）（6分） ， 当时，（7分） 于是，解得 （9分） 所求椭圆方程为（10分） （直接给出的扣3分） （3）由得 （*） 直线与椭圆交于不同两点， ，即（12分） 设、，则、是方程（*）的两个实数解， ， 线段的中点为， 又 线段的垂直平分线恒过点， ， 即，即 （14分） 由，得，又由得， 实数的取值范围是（16分）35、在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（1）求角A的大小;（2）求的值域.解：（1）由得，由正弦定理得得，（2）当角B为钝角时，角C为锐角，则，当角B为锐角时，角C为钝角，则，综上，所求函数的值域为.36、设数列的前项和为，已知，且，其中为常数.()求与的值；()证明：数列为等差数列；()证明：不等式对任何正整数都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（）由已知，得，.由，知 即 解得 ，.（）方法1由（），得 ， 所以 . -，得 ， 所以 . -，得 .因为 ，所以 .又因为 ，所以 ，即 ，.所以数列为等差数列.方法2由已知，得，又，且，所以数列是唯一确定的，因而数列是唯一确定的.设，则数列为等差数列，前项和.于是 ，由唯一性得 ，即数列为等差数列.（）由（）可知，.要证 ，只要证 .因为 ，故只要证 ，即只要证 .因为 ，所以命题得证.37、已知为函数图象上一点，为坐标原点记直线的斜率（）判断的单调性，并说明理由。（）求证：当时，； （）是否总存在正实数、，使得成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由（本题满分16分）解：（）依题意， .当时，；当时，.所以，在上递增，在上递减. 4分（）,记， ，所以在上为减函数，则 . ， ，即 . 10分（） 当时，且当时，又由（）知当时， 当时，则的图象如下图所示.1 a e b x0y 总存在正实数,且，使得. 即 ,即 ，此时. 16分注：若有其它解法，请酌情给分38、【原创题1】若无穷数列满足：“，”，则.【原创题1的参考解答】 ， ， ， 时，； 又由， 当时，； 当时，. .【原创题2】若数列满足：，则.【原创题2的参考解答】记函数.，点是函数的图象的对称中心，如果，必有，.【原题】通项公式为的无穷数列的第项最大.（近几年众多高考复习资料的一道流行题）【变式题1的参考解答】， （）当时，由（）得，所以；当时，由（）得，所以；当时，由（）得，所以.综上所述，正数的取值范围为.【变式题2】如果无穷数列对于，都有，求证为等差数列.【原题】已知等差数列对于，都有，求证.（课程改革前，人教版高中数学教科书上的习题）【变式题2的参考解答】，即：，;又由，为等差数列.40 、(本小题满分16分) 已知圆与轴交于两点，椭圆以线段为长轴，离心率 （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，点为圆上异于的动点，过原点作直线的垂线交椭圆的右准线交于点，试判断直线与圆的位置关系，并给出证明（3）设点在直线上，若存在点，使得（为坐标原点），求的取值范围解:（1）由题意，可设所求椭圆的方程为，易得，则有： 2分解之，得，从而有 3分所求椭圆的方程为 4分（2）直线与圆相切. 5分证明如下：易得椭圆的右焦点为，右准线为 6分设点，则有，又，直线的方程为，令，得，即，又， 10分于是有，故，直线与圆相切 11分（3）如图，设，则，即，即，而， 13分， 14分又由，得， ，于是有，整理，得，解得的取值范围是 16分41、上海港口是一个国际性的大港口，现有一艘远洋货轮以40km/h的速度从港口出发，30分钟后因故障停在海里。已知该货轮出发后，先按东偏北某个方向沿直线前进，以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变方向。如果前去营救，试求营救到货轮的概率。解：先求出货轮出故障的区域，如图，以A为原点，正东方向为x轴的正半轴，建立直角坐标系。设货轮的航向为APQ，依题设有：，由得因于是另一方面，由得所以，货轮出故障的区域为42、题目：若0 且sin+cos=1 则= /2 答案： sin+cos=sin(+/4)=1 sin(+/4)= /2 0 +/4=3/4 =/243、设数列是以为首项,为公比的等比数列,令,.（1）试用,表示和;（2）若,为等比数列时,求的值与数列的前的和;（3）是否存在实数对,使数列成等比数列?若存在求出实数对，并求数列的通项；若不存在，请说明理由。解：（1）设的前的和为，则。所以。所以，所以（2）因为，为等比数列，所以，所以，又，所以；，。（3）假设存在实数对,使数列成等比数列。由，所以解得：。此时数列成等比数列，。所以存在实数对,使数列成等比数列。44、已知定义在实数集R上的函数满足，则不等式的解集是 .解：令t=，令，则，在 0，+单调递减，由，有0，而，45、已知函数，直线若当时，函数的图像恒在直线的上方，则实数的取值范围是 解析：与，当时恒成立即，当时恒成立,利用导数求出右侧最大值；得46、模拟试题：新闻：在日本大地震中，日本东京电力公司3月19日向中国驻日本大使馆及三一重工发函，请求三一重工支援一台62米混凝土泵车，以对相关机组进行注水冷却作业。三一重工第一时间响应，免费提供一台价值为100万美元的62米泵车驰援日本。三一海外副总经理杨志华说：“本次支援日本的这台62米泵车主要将为4号机组注水，4号机组高达46米，三一重工62米泵车正好能满足这一要求。”问题：假设泵车高AB=3.2米，三段臂长BC=30米、CD=25米、DM=7米，4号机组是底边长为48米，高为46米的正四棱柱，注水方案要求如图：ABAF，DMAF，且出水口M至少伸入厂房宽度的处，问此方案是否可行？解：GHBMDFECAL过C作AF的平行线，交CH于L过M作AF的垂线交CL于N，设DCLHL46-33.2=12.8y=LN=CN-CL=25Cos+7-12.8CotNy= =0Sin=当Siny0Sin y0当Sin=ymax=12.4不可行47、：已知O是ABC的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1,若，则_解：设AC边上的中点为D，(1)、当时，=三点共线。又OA=OC,BDAC在ABD中，（2）、当x=0时，,又OA=OB=OC,ABC为直角三角形，综上，或48、已知由正数组成的数列中，其前项的和满足、成等差数列。求的表达式；设，若，试求正整数的取值范围；若对一切恒成立，试求实数的最大值。(供题：江苏省泗阳中学 唐兴中 )解：、成等差数列，即，又，则，为等比数列且首项为1，公比为3，则通项； ， ，即，；对一切恒成立，即对一切恒成立，设，则，当时，当时，,，的最大值为。49、数列中，当时，。求数列的通项公式；设，求数列的前项的和，并证明；是否存在正实数，使得对一切且恒有成立？若存在，求出的范围，若不存在，试说明理由。解：，（），是以为首项，为公比的等比数列，当时，时，又时， 。，当时 ，当时，又当时，所以；则，此式对任意正整数恒成立，所以；，设，则，从而（），即，所以 ，