§5 命题与证明.doc

5 命题与证明知识要点梳理1.有关概念命题.命题由题设、结论两部分组成，分成真命题和假命题.如果一个命题的题设和结论，分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称做互逆命题.公理、定理、逆定理、证明.2.几条公理、定理公理：两直线平行同位角相等.同位角相等两直线平行.三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”.全等三角形的对应边相等，对应角相等.定理：两直线平行内错角相等、同旁内角互补.内错角相等两直线平行.同旁内角互补两直线平行.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.逆命题成立.三角形内心.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.逆命题成立.三角形外心.三角形内角和定理和推论.三角形中位线定理.三角形全等：“AAS”.等腰三角形“等角对等边”；“等边对等角”；“等腰三角形的三线合一”.等边三角形判定和性质.直角三角形斜边、直角边定理“HL”.勾股定理及勾股定理的逆定理.30的锐角所对的直角边等于斜边的一半.斜边上中线等于斜边一半.3.反证法假设，推理，矛盾，结论.典型试题评析C F BE DGA例1 04山东如图5-1，已知ADEB，EDCGFB，GFAB.求证：CDAB. 证明：ADEB，DEBC.EDCDCB.EDCGFB，GFBDCB.CDAB.图5-1GFAB，CDAB.评析在证明过程应正确应用两直线平行的性质及判定定理，两直线垂直的判定条件.例2 如图5-2，AEAF，BFAC，CEAB，垂足分别为F、E，BF、CE相交于D，连AD.找出图中全等的三角形，并说明它们为什么全等.解：ABFACE.BFAC，CEAB，AFBAEC90，又AEAF，BAFCAE，ABFACE.（ASA）.DB CE FAAEDAFD.AEDAFD90，ADAD，AEAF，RtAFDRtAFD.（HL）DEBDFC.ADFADE，DEDF.图5-2又DEBDFC90，EDBFDC，DEBDFC.（ASA）ABDACD.ABFACE，BC，ABAC. 又DFCDEB，DCDB.ABDACD.（SAS）评析找图中的全等三角形注意不要遗漏.哪一对全等三角形先证，运用什么判定公理(定理)，要根据条件，认真分析.图中每对全等三角形都有不同的证明方法，请同学们细细品味.例3 06山东日照如图5-3，已知，等腰RtOAB中，AOB90o，等腰RtEOF中，EOF90o，连结AE、BF.A OFBDEC求证：AEBF；AEBF.证明：在AEO与BFO中，RtOAB与RtEOF等腰直角三角形，AOOB，OEOF.又AOE90BOE，BOF90BOE，AEOBFO.图5-3AEBF.延长AE交OB于C，交BF于D，则BCDACO，由知：OACOBF，BDAAOB90，AEBF.评析BOF可以看作是由AOE绕着0点旋转而成.欲证AEOBFO，已经有两边相等，只需证夹角或另一边相等即可.当两线段（角）在不同两个三角形时，一般运用全等三角形对应边（角）相等予以证明；当两线段（角）在同一个三角形时，就应该考虑运用“等角对等边”或“等边对等角”予以证明.基础优化训练一、填空题1.06福建南平命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_.2.05广东对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：ab；bc；ab；ac；ac，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题_.3.05江西如图，ab，则1_度.4.06年广东茂名七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知SBPC=1，请你根据七巧板制作过程的认识，回答下列问题：一只妈蚁从点A沿ABCHE所走的路线的总长是_（结果精确到0.01）；40160ab平行四边形EFGH的面积_.A E BC F G D第3题图第5题图第4题图二、选择题5.06江苏南通如图，ABCD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分BEF，EFG72，则EGF的度数是( ).A.36 B.54 C.72 D.1086.06天津改造如图，P、Q是ABC边上的两点，且BPPQQCAPAQ，则BAC度数为（ ）.A.90 B.120 C.135 D.1507.如图，AOPBOP15，PCOA，PDOA，若PC4，则PD等于（ ）.O D AC PBA.4 B.3 C.2 D.1B P Q CA第7题图第6题图三、解答题8.证明：两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直.PC DPD CA BA BPC DPC DA BA B 第9题图9.05江苏盐城改造如图，已知直线ABCD，分别探讨下列四个图形中，APC与PAB、PCD间有什么关系？并将你所得到的关系予以证明.10.（06甘肃张掖）如图，已知ABDC，ACDB.求证：11.（06云南）已知：如图，ABDE，且ABDE. (l)请你只添加一个条件，使ABCDEF，你添加的条件是_.CAF B D E(2)添加条件后，证明ABCDEF.A DB CO12第12题图第11题图第10题图12.06辽宁大连如图，E、F分别是ABCD对角线BD所在直线上两点，DEBF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）.连结_；猜想：_；证明：（说明：写出证明过程的重要依据）13.06广西贵港如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别在AD、CB的延长线上，且DEBF，连接FE分别交AB、CD于点H、G.观察图中有几对全等三角形，并把它们写出来；请你选择中的其中一对全等三角形给予证明.加油站聪明的你如果还有时间，请在上图中连接AF、CE，你将发现图中出现了更多的全等三角形.请再写出两对与不同的全等三角形（不用证明）.14.（06甘肃兰州）如图所示，在ABC中，D、E分别是AC和AB上的一点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD；OBOC.上述四个条件中，哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有的情形)；AHFBCGED选择小题中的一种情形，证明ABC是等腰三角形.ABCDEO第13题图第15题图第14题图15.（02河南改造）你还记得图形的旋转吗？如图，P是正方形ABCD内一点，PAa，PB2a，PC3a. 将APB绕点B按顺时针方向旋转，使AB与BC重合，得CBP.求证：PBP是等腰直角三角形；猜想PCP的形状，并说明理由.16.06辽宁旅顺口改造操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；在你经历说明的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.（如图）ANNC；（如图）DMAC. 第16题图四、拓展提高17.06江西问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：如图，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON60，则BMCN.如图，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON90，则BMCN.然后运用类比的思想提出了如下的命题：如图，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON108，则BMCN.任务要求请你从、三个命题中选择一个进行证明；请你继续完成下面的探索：如图，在正n（n3）边形ABCDE