§11 命题及其关系.doc

1.1 命题及其关系自 学 导 引1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.正确理解命题的结构,分清条件和结论.课 前 热 身(学生用书P1)1.一般地,在数学中我们把用语言符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做_.其中判断为真的语句叫做_,判断为假的语句叫做_.2.在数学中,“若p则q”是常见的_,命题中_叫做命题的条件,q叫做命题的_.名 师 讲 解(学生用书P1)1.命题的概念并不是所有的语句都是命题.只有能判断真假,且是陈述句的语句才是命题.例如,“x0”,由于x是未知数,无法判断该不等关系是否成立,所以它不是命题.对于“三角函数是周期函数吗?”等疑问句或其他的祈使句感叹句等都不是命题.2.命题的真假一个命题只有真假两种情形中的一种,即要么是真命题,要么是假命题,不存在既是真命题同时又是假命题的情形.3.命题的结构形式(1)习惯上一般用小写字母pqr等表示命题.如命题p:是无理数.(2)在数学中,常见的命题形式为:“若p则q”.其中p为命题的条件,q为结论.如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”,就可以改写为“若一个四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分”的形式.典 例 剖 析题型一 命题的概念例1:判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.(1)“等边三角形难道不是等腰三角形吗?”;(2)“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?”;(3)“一个数不是正数就是负数”;(4)“大角所对的边大于小角所对的边”;(5)“x+y为有理数,则xy也都是有理数”;(6)“作ABCABC”. 分析:解答本题,首先要根据命题的概念,判断是否是命题,若是,再根据条件和结论的逻辑关系判断真假.解:(1)通过反意疑问句,对等边三角形是等腰三角形作出判断,是真命题.(2)疑问句.没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题.(3)是假命题.数0既不是正数也不是负数.(4)是假命题.没有考虑在同一个三角形中.(5)是假命题.如 (6)祈使句.不是命题.规律技巧:判断一个语句是否是命题,关键在于能否判断其真假.一般地,陈述句“是有理数”,反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗?”都叫命题;而祈使句“求证 是无理数”,疑问句“是无理数吗?”,感叹句“向抗洪英雄学习!”等就不是命题.变式训练1:下列语句是否是命题,若是判断其真假,并说明理由.(1)x2+4x+40;(2)三角函数是周期函数吗?(3)一个正整数不是质数就是合数;(4)3x+56.解:(1)x2+4x+4=(x+2)20.对于xR,可以判断真假,它是命题,且是真命题.(2)不是命题,是疑问句,没有对三角函数是不是周期函数作出判断.(3)是假命题,整数1既不是质数,也不是合数.(4)不是命题,这种含有未知数的语句,未知数的取值能否使不等式成立无法判断.题型二 命题的结构例2:把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判断命题的真假.(1)acbcab;(2)已知xy为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2;(3)当 时,mx2-x+1=0无实根;(4)平行四边形对角线互相平分.分析:找准命题的条件和结论,是解决这类题的关键,要注意大前提的写法.规律技巧:一个命题要么是真的,要么是假的,但不能同时既真又假,也不能模棱两可无法判断其真假.当一个命题改写成“若p则q”的形式之后,判断这种命题的真假的办法有: 若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可确定“若p则q”是真;确定“若p则q”为假,则只需举一个反例说明即可.变式训练2:把下列命题写成“若p则q”的形式,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数;(2)垂直于同一平面的两平面平行;(3)偶函数的图象关于y轴对称;(4)当abc=0时,a=0或b=0或c=0;(5)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1.解:(1)若一个数是实数,则这个数的平方是非负数,是真命题.(2)若两个平面都垂直于同一个平面,则这两个平面平行,是假命题.(3)如果一个函数是偶函数,那么它的图象关于y轴对称,是真命题.(4)若abc=0,则a=0或b=0或c=0,是真命题.(5)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1,是真命题.题型三 命题的真假例3:(2008福建高考)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,bP,都有a+b、a-b、ab、 (除数b0),则称P是一个数域,例如有理数集Q是数域,有下列命题: 数域必含有0,1两个数; 整数集是数域; 若有理数集QM,则数集M必为数域; 数域必为无限集.其中是真命题的序号是_(把你认为是真命题的序号都填上).分析:仔细阅读题干,正确理解“数域”的定义.答案: 规律技巧:判断一个命题是假命题,只要举出一个反例即可,而要判断一个命题是真命题,一般要经过严格的推理论证.本题考查了推理论证能力,正确理解数域的定义和思维的严密性是解题的关键.变式训练3:(2008陕西高考)关于平面向量a,b,c有下列三个命题: 若ab=ac,则b=c; 若a=(1,k),b=(-2,6),ab,则k=-3; 非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60;其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号).题型四 命题意义的理解及应用例4:设p(x):x2-2x-30;q(x):(x-1)(x+2)0.为了使p(x),q(x)均为真命题,求x的取值范围.规律技巧:根据命题的真假求解问题时,一定要等价转化,否则会出错误.基础强化2.若AB是两个集合,则下列命题中的真命题是( )A.如果AB,那么AB=AB.如果AB=A,那么C.如果AB,那么AB=AD.如果AB=A,那么AB答案:A3.有下列命题: 面积相等的三角形是全等三角形; 若x,yR且xy=0,则|x|+|y|=0; 若ab,则a+cb+c; 矩形的对角线互相垂直.其中真命题共有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:仅有是真命题.答案:A4.设ab为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( )A.若ab与所成的角相等,则ab B.若a,b,则ab C.若a ,b,ab,则 D.若a,b,则ab 答案:D5.下列四个命题: 函数是定义域到值域的映射; 函数y=2x(xN)的图象是一些孤立的点; 已知a,b,c成等比数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列.其中错误的有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个6.命题“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”,条件p:_,结论q:_;是_(填“真”或“假”)命题.答案:一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 假7.给出下列语句: 菱形是平行四边形; 一个整数不是奇数就是偶数; 证明方程x