数学人教版八年级上册最短路径.docx

课题学习最短路径教学设计望城区书堂中学:蔡为一、教材分析地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。二、教学目标定位（1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。三、教法学法简介教育部普通高中数学课程标准修订组组长、博士生导师王尚志教授作了“关于普通高中数学课程标准修订”的专题报告，提出中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养。本节课将初步介绍数学抽象、数学建模、逻辑推理这三种数学方法的应用。四、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决。五、教学准备：多媒体课件，微课，几何画板六、教学过程设计一、创设情景 引入课题活动一：微课引入同学们，我们的生活与数学是紧密联系的，生活中的数学只待我们去认真的观察与思考。今天我们一起来了解一个与数学有关的历史故事。相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？二、自主探究 合作交流 建构新知观察思考，抽象为数学问题问题1同学们，这个历史故事里出现了那些与数学有关的关键词，我们怎么处理这些关键词？答：将A、B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线。问题2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点。设P 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点P 在l 的什么位置时，AP 与BP 的和最小(如图)。尝试解决数学问题强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P 是直线上的一个动点，当点P 在l 的什么位置时，AP与PB的和最小？ 问题3：如图点A，B 在直线l 的异侧，点P是直线上的一个动点，当点P 在l 的什么位置时，AP与PB的和最小？问题4：对于问题2，如何将点A“移”到l的另一侧A处，满足直线l 上的任意一点P，都保持PA 与PA的长度相等？问题5：精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”。你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点A吗？作法：(1)作点A 关于直线l 的对称点A；(2)连接AB，与直线l 交于点P。则点P 即为所求的点。尝试证明数学问题问题6你能用所学的知识证明AP BP最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点P(与点P 不重合)，连接AP，AP，BP，AP。由轴对称的性质知， AP AP，APAP APBP A P BP AB APBP APBP 在ABP中 ABAPBP AP BPAPBP即 AP BP 最短. 小组讨论：证明AP BP 最短时，为什么要在直线l 上任取一点P(与点P不重合)，证明AP BPAPBP？这里的“P”的作用是什么？反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间，线段最短”解决问题利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点P不重合)与A，B 两点的距离和都大于AP BP，就说明APBP 最小. P的代表的是除点P以外直线l上的任意一点三、变式训练：如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水(1) 若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？四、布置作业教材第93页第15题板书设计：13.4 最短路径问题数学抽象：、将AB两地抽象为两个点；、河流抽象为一条直线；、最短路径抽象为两条线段之和最小。数学建模：、最短路径