8.5空间中的垂直关系.ppt

第5课时空间中的垂直关系 1 直线与平面垂直 1 定义 如果直线l与平面 内的直线都垂直 则直线l与此平面 垂直 2 判定定理 一条直线与一个平面内的两条直线都垂直 则该直线与此平面垂直 3 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 基础知识梳理 任意一条 相交 平行 2 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 基础知识梳理 两个半平面 垂直于掕 3 平面与平面垂直 1 定义 如果两个平面所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 3 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内的直线与另一个平面垂直 基础知识梳理 直二面角 垂直于交线 垂线 基础知识梳理 思考 垂直于同一平面的两平面是否平行 思考 提示 可能平行 也可能相交 4 直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 当直线与平面垂直和平行 含直线在平面内 时 规定直线和平面所成的角分别为 基础知识梳理 90 和0 1 2009年高考山东卷改编 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 m 是 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件答案 A 三基能力强化 2 直线a与b垂直 b 平面 则a与 的位置关系是 A a B a C a D a 或a 答案 D 三基能力强化 3 如图 如果MC 菱形ABCD所在平面 那么MA与BD的位置关系是 三基能力强化 A 平行B 垂直但不相交C 异面D 相交但不垂直答案 B 三基能力强化 4 教材习题改编 ABC中 ABC 90 PA 平面ABC 则图中直角三角形的个数是 答案 4 三基能力强化 5 已知平面 和直线m 给出条件 m m m 1 当满足条件 时 有m 2 当满足条件 时 有m 填所选条件的序号 答案 三基能力强化 证明直线和平面垂直的常用方法有 1 利用判定定理 2 利用平行线垂直于平面的传递性 a b a b 课堂互动讲练 3 利用面面平行的性质 a a 4 利用面面垂直的性质 当直线和平面垂直时 该直线垂直于平面内的任一直线 常用来证明线线垂直 课堂互动讲练 课堂互动讲练 如图所示 AB为 O的直径 C为 O上一点 AP 面ABC AE BP于E AF CP于F 求证 BP 平面AEF 课堂互动讲练 思路点拨 证明BP 平面AEF 只需证明AF PB 课堂互动讲练 证明 AB为 O的直径 C为 O上的一点 BC AC 又PA 面ABC BC 面ABC PA BC 又PA AC A BC 平面PAC 课堂互动讲练 AF 平面PAC BC AF 又已知AF PC BC PC C AF 平面BCP 又PB 平面BCP AF PB 又BP AE AE AF A BP 平面AEF 课堂互动讲练 名师点评 线面垂直的定义 拓展了线线垂直的范围 线垂直于面 线就垂直于面内所有直线 课堂互动讲练 题目条件不变 图中有几个直角三角形 它们是什么 解 共9个 Rt PAC Rt PAB Rt PBC Rt ABC Rt PFA Rt CFA Rt PEF Rt PEA Rt AEB 课堂互动讲练 互动探究 证明面面垂直的主要方法是 1 利用判定定理 在审题时要注意直观判断哪条直线 课堂互动讲练 可能是垂线 充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边 勾股定理等结论 2 用定义证明 只需判定两平面所成二面角为直二面角 3 客观题中 也可应用 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面 则另一个也垂直于第三个平面 课堂互动讲练 课堂互动讲练 2010年陕西西安调研 如图 三棱锥A BCD中 AD BC CD两两互相垂直 M N分别为AB AC的中点 1 求证 BC 平面MND 2 求证 平面MND 平面ACD 课堂互动讲练 思路点拨 由MN BC 知BC 平面MND 由BC CD BC AD 知BC 面ACD 课堂互动讲练 证明 1 M N分别为AB AC的中点 MN BC 又 MN 平面MND BC 平面MND BC 平面MND 课堂互动讲练 2 BC CD BC AD BC 平面ACD 又 MN BC MN 平面ACD MN 平面MND 平面MND 平面ACD 课堂互动讲练 名师点评 本题体现了线面转化 同学们可以思考一下 若DN AC DM AC 我们可以推出几对面面垂直 课堂互动讲练 将平面图形折叠成立体图形时 应注意折叠前 后哪些量发生了改变 哪些没有发生变化 特别应注意寻找折叠前 后的那些没有发生变化的关系和没有变化的量 把平面图形的垂直关系运用到空间图形中去 又将空间中的有关问题放到平面中去计算 常可以使问题得以顺利解决 课堂互动讲练 课堂互动讲练 如图 四边形ABCD中 AD BC AD AB BCD 45 BAD 90 将 ABD沿对角线BD折起 记折起后点A的位置为P 且使平面PBD 平面BCD 如图 课堂互动讲练 1 求证 平面PBC 平面PDC 2 在折叠前的四边形ABCD中 作AE BD于E 过E作EF BC于F 求折起后的图形中 PFE的正切值 课堂互动讲练 思路点拨 根据翻折前后元素的关系变化 结合面面垂直的判定定理求解 课堂互动讲练 解 1 证明 折叠前 在四边形ABCD中 AD BC AD AB BAD 90 所以 ABD为等腰直角三角形 又因为 BCD 45 所以 BDC 90 折叠后 因为面PBD 面BCD 课堂互动讲练 CD BD 所以CD 面PBD 又因为PB 面PBD 所以CD PB 又因为PB PD PD CD D 所以PB 面PDC 又PB 面PBC 故平面PBC 平面PDC 课堂互动讲练 2 AE BD EF BC 折叠后的位置关系不变 所以PE BD 又面PBD 面BCD 所以PE 面BCD 所以PE EF 课堂互动讲练 课堂互动讲练 名师点评 翻折与展开是一个问题的两个方面 不论是翻折还是展开 均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化 元素间大小与位置关系 哪些变化 哪些不变化 这是至关重要的 一般来说 在翻折过程中 处在同一个半平面内的元素是不变的 弄清楚这一点是解决这类问题的关键 课堂互动讲练 对于这类问题应先把题目中已确定的位置 大小关系作出全面认识和正确的推理 再对变化不定的线面关系进行观察 尝试作出各种常见的辅助线 辅助面进行判断 另外还要灵活运用观察 联想 类比 猜想 分析 综合 一般化 特殊化等科学的思维方法 才能使开放性问题快速有效地解决 课堂互动讲练 课堂互动讲练 1 求证 不论 为何值 总有平面BEF 平面ABC 2 当 为何值时 平面BEF 平面ACD 课堂互动讲练 思路点拨 对于 1 证出EF CD 从而可证EF 面ABC 对于 2 主要在侧面ABC中求AE的长度 课堂互动讲练 解 1 证明 AB 平面BCD AB CD CD BC且AB BC B CD 平面ABC 2分 不论 为何值 恒有EF CD 4分 EF 平面ABC EF 平面BEF 不论 为何值 总有平面BEF 平面ABC 6分 课堂互动讲练 2 由 1 知 BE EF 又平面BEF 平面ACD BE 平面ACD BE AC BC CD 1 BCD 90 ADB 60 课堂互动讲练 课堂互动讲练 误区警示 对于 2 易错的地方是猜想E点位置为中点 再证平面BEF 平面ACD 课堂互动讲练 本题满分12分 如图 在矩形ABCD中 AB 2BC P Q分别为线段AB CD的中点 EP 平面ABCD 课堂互动讲练 高考检阅 1 求证 DP 面EPC 2 问在EP上是否存在点F使平面 课堂互动讲练 解 1 证明 EP 面ABCD EP DP 又ABCD为矩形 AB 2BC P Q分别为AB CD的中点 PQ DC且PQ DC DP PC 4分又 EP PC P DP 面EPC 6分 课堂互动讲练 2 如图 假设存在点F使平面AFD 平面BFC AD BC AD 平面BFC AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l 8分 EP 平面ABCD EF AD 而AD AB AD 平面EAB l 平面EAB 课堂互动讲练 AFB是平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角 10分 P是AB中点 且FP AB 当 AFB 90 时 FP AP 课堂互动讲练 1 空间的垂直关系有直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 它们之间存在相互转化关系 规律方法总结 2 当有面面垂直时 一般是在一个面内找 作 交线的垂线 则直线垂直于面 在证面面垂直