PI值计算方法1.doc

计算圆周率的一些公式 -|waruqi 发表于 2005-12-8 9:24:00 Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。还有很多类似于Machin公式的反正切公式:pi/4=arctg(1/2)+arctg(1/5)+ arctg(1/8) 1844.达塞利 = arctg(1/2)+ arctg(1/3) =2 arctg(1/3)+ arctg(1/7) =12 arctg(1/18)+8 arctg(1/57)-5 arctg(1/239)在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin公式就力不从心了。下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n)。（FFT算法不在此文讲诉）Ramanujan公式 1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。 1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为： 这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是： AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法 Gauss-Legendre公式： 初值： 重复计算： 最后计算： 这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。 Borwein四次迭代式： 初值： 重复计算： 最后计算： 这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表，它四次收敛于圆周率。Bailey-Borwein-Plouffe算法 这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1997年，Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40的公式： （此上文为转载并改编）计算pi的另一些公式:1、 作家勃朗爵士（1620-1684）4/pi=(3*3*5*5*7*7*9*9*)/(2*4*4*6*6*8*8*10*.,.)并由数学家瓦利斯于1655年变换为连分数：4/pi=1+ 122+ 322+ 522+2、pi=3+ 1 7+ 1 15+ 1 1+ 1 292+.=3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,.(南巴特.1770)由此得近似数：3/1，22/7，33/106，355/113，1039932/33102，104348/33215，.3、司徒.1833pi/2=1- 1 3- 2*31- 1*2 3- 4*5 1- 3*4 3-4、pi=2+1/3*(2+2/5*(2+3/7*(2+ （2+k/(2k+1)*(2+.)）).).(当k=2799时可精确到800位)5、pi/6=1/2+1/2*1/(3*23)+(1*3)/(2*4)*(1/(5*25)+6、e(pi*i)+1=0 (欧拉公式，也称世界上最杰出的公式)7、4/pi=1+ 1 3+ 4 5+ 9 7+.8、1+(1/2)2+(1/3)2+(1/4)2+.(1/n)2=pi2/69、1+(1/2)4+(1/3)4+(1/4)4+.(1/n)4=pi4/9010、1+(1/2)6+(1/3)6+(1/4)6+.(1/n)6=pi6/94511、1+(1/2)8+(1/3)8+(1/4)8+.(1/n)8=pi8/945012、1+(1/2)10+(1/3)10+(1/4)10+.(1/n)10=pi10/93555投针试验-计算的最为稀奇的方法之一 -|waruqi 发表于 2005-12-8 18:39:00 计算的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C蒲丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的蒲丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含的表示式如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/扔的次数越多，由此能求出越为精确的的值公元1901年，意大利数学