初中数学第11章《三角形》知识点+测试题(尖子用题-附参考答案).doc

初二上册知识点：三角形复习1、三角形的定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形._C_B_A 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，2、 三角形的表示 三角形ABC用符号表示为ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）ABC是三角形ABC的符号标记，单独的没有意义3、三角形的分类： 三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 （）（）等边三角形(1)按边分类：三角形直角三象形斜三角形锐角三角形大于0度钝角三角形（2）按角分类 4、三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线（在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线） 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法：（1）AD是ABC的BC上的中线.（2）BD=DC=BC.注意：三角形的中线是线段； 三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点 （注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃）中线把三角形分成两个面积相等的三角形（2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：（1）AD是ABC的BAC的平分线. （2）1=2=BAC.注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）用量角器画三角形的角平分线（3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段表示法AD是ABC的BC上的高线ADBC于DADB=ADC=90.注意：三角形的高是线段；锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点这点叫垂心）由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）5、三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： AD是DABC的角平分线； AD平分BAC，交BC于D；ABCDE图1 如果AD是DABC的角平分线，那么BAD=DAC=BAC. (2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：AE是DABC的中线；AE是DABC中BC边上的中线；如果AE是DABC的中线，那么BE=EC=BC.图2 (3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： AM是DABC的高； AM是DABC中BC边上的高； 如果AM是DABC中BC边上高，那么AMBC，垂足是E； 如果AM是DABC中BC边上的高，那么AMB=AMC=90. 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意： (1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.图4图3如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.图5图6图76、三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边7、三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180;图8(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.8、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180推论：直角三角形的两个锐角互余。推理过程：一、作CMAB，则4=1，而2+3+4=1800，即A+B+ACB=1800二、作MNBC，则2=B，3=C，而1+2+3=1800，即BAC+B+C=1800注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角9、三角形的外角的定义 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）如:ACD、BCE都是ABC的外角，且ACD=BCE. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.10、三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；（2）作CMAB由于B、C、D共线 A=1，B=2. 即ACD=1+2=A+B. 那么ACDA.ACDB.11、三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.关于三角形会经常遇到的题型：适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图8，在DABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则DAC=2B=2C或B=C=DAC.图9(2)基本图形二，如图9，如果CO是AOB的角平分线，DEOB交OA,OC于D,E，那么DDOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线等腰三角形.基本图形三，如图10，如果BD是ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线等腰三角形.当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12. 图11 图1112、多边形在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。（1）多边形的对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。（3） 正多边形 各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形（4） 多边形的内角和为 （n-2）*180度 多边形的外角和为 360度注：当求角度时应该想起 内角和 或者 外角和 或者 一个角的外角13、密铺所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。 （1）可单独密铺的图形1、所有三角形与四边形均可以单独密铺。2、正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。 3、对边平行的六边形可以单独密铺。 平面上有：完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与四边形组合）、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。（利用内角和的知识来计算，如：任意三角形内角180，则三个相同的任意三角形即可形成180，六个就可以密铺；同理，四边形内角360，四个就可以密铺；正多边形的顶角的整数倍等于180或360） 曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球（足球就是）。初二数学第11章三角形测试题班级 姓名 (时间150分满分120分)一、填空题:（每题1.5分，共21分）1、如图ABC的面积等于25cm2，AE=ED，BD=2DC则AEF与BDE的面积之和等于 cm2，四边形CDEF的面积等于 cm2 2、一个多边形的所有内角和与一个外角的和为1350，这个多边形的边数为 ，这个外角的度数为 。3、一个多边形被截去一个角后，变成一个六边形，则这个多边形原来的边数是 4、n边形的边数每增加一条，其内角增加 度，对角线会增加 条。5、两个正多边形的边数之比为1:2，内角和之比为3:8，这两个多边形的内角和分别为 、 。6、已知等腰三角形的周长为10，其各边长为整数，这个三角形的底边长为 。7、如右图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（）对8、平面上有5个点，其中任意三点都不在同一条直线上，则这些点共可组成 个不同的三角形 9、如右图，ABC中，A1，A2，A3，An为AC边上不同的n个点，若连接BA1、BA2 、BA3、一直连接到An，则图中共有 个三角形10、三角形的周长是20cm，最长边比最短边多6cm，次长边的长度是最短边的2倍，则这个三角形最短边的长为 11、如图，直角ABC的周长为2008，在其内部有五个小直角三角形，则这五个小直角三角形的周长为 12、一个凸n边形的内角中，恰有5个钝角。问n的最大值是 。13、若一个三角形的周长为p，则此三角形的最大边长度变化范围 。14、向一个三角形内加入2005个点，加上原三角形的三个点共计2008个点用剪刀最多可以剪出 个以这2008个点为顶点的三角形需要剪 刀。图2二、选择题：（每题2分，共44分）1、如图2，在ABC中，AD、BF、CE相交于O点，则图中的三角形的个数是（）A7个 B10个 C15个 D16个2、若几个能唯一确定一个三角形的量称为三角形的“基本量”下列各组量中一定能成为三角形的基本量的是（ ）A三个内角 B两条边与一个内角 C周长和两条边 D面积与一条边3、三角形的三个外角的平分线相交所组成的图形为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4、ABC中，A=BC，则ABC是（）A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、不等边三角形5、已知ABC的一个外角为50，则ABC一定是（）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形6、将一副直角三角板如图所示放置，使含30角的三角板的一条直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为（）A、45 B、60 C、75 D、857、若ABC中，2（A+C）=3B，则B的外角度数为何（）A、36 B、72 C、108 D、1448、如图，RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB=（）A、40 B、30 C、20 D、109、如图，在ABC中，A=52，ABC与ACB的角平分线交于D1，ABD1与ACD1的角平分线交于点D2，依次类推，ABD4与ACD4的角平分线交于点D5，则BD5C的度数是（）A、56 B、60 C、68 D、9410、如图，BE是ABD的角平分线，CF是ACD的角平分线，BE与CF交于点G，点BDC=140，BGC=110，则A的度数为（）A、70 B、75 C、80 D、8511、已知ABC的三个内角A，B，C满足关系式B+C=3A，则此三角形（）A、一定有一个内角为45 B、一定有一个内角为60C、一定是直角三角形 D、一定是钝角三角形12、若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是（）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定13、锐角三角形中，最大角的取值范围是（）A、6090 B、60180 C、6090 D、09014、如图，ABC中，A=60，CD、CE是ACB的三等分线，BD、BE是ABC的三等分线，则图中BDC的度数为（）A、90 B、100 C、120 D、13515、从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（ ） A. n个 B. （n-1）个 C. (n-2)个 D. (n-3)个16、 n边形所有对角线的条数有（ ） A. B. C. D. 17、下列给出的各组线段中，能构成三角形的是（ ） A、5，12，13B、5，12，7 C、8，18，7D、3，4，818、如图1，在ABC中，ABC，ACB的角平分线交于点O，则BOC=90+ 12A= 12180+ 12A如图2，在ABC中，ABC，ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则BO1C= 23180+ 13A，BO2C= 13180+ 23A根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n-1个点）（用n的代数式表示）BOn-1C=（） A、 2/n180+ 1/nA B、 1/n180+ 2/nA C、 n/n-1180+ 1/n-1A D、 1/n180+ n-1/nA19、一个三角形的周长是偶数，其中两条的边长分别是4和1997，则满足三角形的个数为（ ） A 、1个 B 、3个 C、5个 D、7个20、下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A、正六边形 B、正五边形 C、正四边形 D、正三边形21、一个正多边形它的一个外角等于与它不相邻的内角的 1/4，则这个多边形是（）A、正十二边形 B、正十边形 C、正八边形 D、正六边形22、若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等则代数式h（m-k）n的值 。A、16 B、24 C、32 D、60三、计算题：（1-10题，每题2.5分，1113每题3.5分，共35分）1、（2分）不等边三角形ABC两条高的长度分别是4和12，若第三条高的长是个整数，试求第三条高的长。2、已知a、b、c为ABC的三边长，b、c满足，且a为方程的解，求ABC的周长，并判断ABC的形状。3、如图，在ABC中，D是BC边上一点，1=2，3=4，BAC=63o，求DAC的度数？4、如右图，在ABC中，BAC420，B、C的三等分线分别交于D、E，求BDC、BEC的度数。5、如图，点C在线段AB上，DAAB，EBAB，FCAB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，AFB=51，求DFE的度数.6、如图，ABC中，ACB-B=90o，BAC的平分线交BC于E，BAC的外角CAD的平分线交BC的延长线于F，试判断AEF的形状。7、在中，AD是BC边上的中线，的周长比的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长。8、如图，ABC中，BM，BN三等分ABC，CM,CN三等分ACB，且A=54，求BNM度数9、如图，在三角形ABC中，AB=AC，D是BC上一点，BAD=40，E是AC上一点，AD=AE，求EDC的度数。10、三个精灵住在平面上的不同地点，它们的行走速度分别为每小时1千米、2千米、3千米。试问，应当在什么位置选择一个会面地点，使得它们由住处（沿直线）到达会面地点所需的时间之和最小？11、A、B、C、D是一个凸四边形的四个顶点，在ABCD所在平面上求一点P，使得PAPBPCPD最小。12、已知三角形ABC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，AD、BE交于点F，且AE=EF，请问BF=AC吗？13、从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新的多边形的内角和等于多少度？请画图说明四、证明题：（每题3.5分，共21分）1、如图，B、C、D在一条直线上，PBCABC，PCDACD。求证BPCBAC。2、设三角形两条高的长度分别是12和20，证明：这个三角形第三条高小于30。3、如图：AEB、AFD的平分线相交于O点。求证EOF（DABBCD）。4、如图，DEA的平分线与BCA的平分线相交于点F。求证：F（BD）。5、平面上有四个点A、B、C、D，其中任何三点都不共线。求证：ABC、ABD、ACD、BCD中至少一个内角不超过456、在ABC中，AB2AC。问：（1）、ABC中哪条边是最小边？（2）、证明：ABC中最小边大于周长的并且小于周长的。附加题：(满分10分)如图，在中，已知于点D，AE平分试探究与的关系；若F是AE上一动点：(1)若F移动到AE之间的位置时，,如图2所以，此时的关系如何？(2)当F继续移动到AE的延长线上时，如图3，中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论。参考答案：一、填空题：1、1010cm2 20/3cm2 连接DFAE=ED，BD=2DCAEF的面积等于EFD的面积，ABE的面积等于BED的面积，BDF的面积等于FDC的面积的2倍，ABD的面积等于ADC面积的2倍设AEF面积为x，BDE面积为y，则x+x+y+y+1/2(x+y)=25； 2y=22x+1/2(x+y)得出x+y=10解得x=5/3 y=25/3故AEF与BDE的面积之和等于（x+y）=10cm2，四边形CDEF的面积等于（x+1/2(x+y)）=20/3cm2 2、9 90 解：设这个外角度数为x，根据题意，得（n-2）180+x=1350 （1）解得：x=1350-180n+360=1710-180n，由于0x180，即01710-180n180，解得8.5n9.5， n=9， 将 n=9代入（1）式得 x=90 3、5 6 7 4、180 n-1解：n边形的内角和为（n-2）180=180n-360，增加一条边后的内角和为（n+1-2）180=180n-180，180n-180-（180n-360）=180，n边形的边数增加1条，其内角增加180n边形对角线的条数为n(n3)2n23n2条，边数增加1条后，对角线的条数为(n+1)(n2)2条，(n+1)(n2)2-n23n2=n-1n边形的边数增加1条，其对角线增加（n-1）条n-15、540 1440 解：设这两个正多边形的边数分别为n和2n条，根据多边形的内角和公式则有两多边形的内角和分别为180（n-2）和180（2n-2），由于两内角和度数之比为3：8，因此180(n2)3180(2n2)8，解得：n=5，则180（n-2）=540，180（2n-2）=1440，所以这两多边形的内角和分别为540和14406、2或4 解：设腰长为x，则底边为10-2x10-2x-xx10-2x+x，2.5x5，三边长均为整数，x可取的值为：3或4，当腰长为3时，底边为4；当腰长为4时，底边为2综上所述，该等腰三角形的底边长是2或47、32 8、10（ ） 9、10、7/2cm 解：设最短边是xcm，根据题意，得x+2x+x+6=20，解得x=7/2故这个三角形最短边的长为7/2cm11、2008 12、8设这个凸多边形的边数为n，其中5个内角为钝角，n-5个内角为直角或锐角（n-2）1805180+（n-5）90n9，取n=813、根据题意在ABC中，不妨设abc（最大边长度为c），根据三角形的周长计算，三角形三边关系和不等式的性质可得cP/2 ，c P/3，从而得出三角形的最大边长度的范围解答：解：在ABC中，不妨设abc，a+bc，a+b+c2c，即p2c，cP/2，另一方面ca且cb，2ca+b，3ca+b+cpcP/3因此这个三角形的最大边长度的范围为：P/3cP/214、4011 2005（若有n个点时，一定是有2n+1个三角形，用3n刀剪出）二、选择题：1、D根据三角形的概念，最小的有6个，2个组成一个的有3个，三个组成一个的有6个，最大的有一个，则有6+3+6+1=16个2、C只有知道周长和两边时，第三边已经确定，已知三边一定能组成唯一三角形 3、A 三角形的外角性质；三角形内角和定理4、A ABC中，A=BC，C60，A=B90，ABC是等腰三角形，故三角形是锐角三角形5、B一个外角为50，所以与它相邻的内角的度数为130，所以三角形为钝角三角形6、C 根据三角形三内角之和等于180求解7、C A+B+C=180，2（A+B+C）=360，2（A+C）=3B，B=72，8、D RtABC中，ACB=90，A=50，B=90-50=40， 将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则CAD=A， CAD是ABD的外角，ADB=CAD-B=50-40=109、A 提示：将角逐一依次等分公式： 180-（2的n次方-1）/2的n次方(180-A)10、C 连接BC，BDC=140，DBC+DCB=180-140=40，BGC=110，GBC+GCB=180-110=70，GBD+GCD=70-40=30，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，ABG+ACG=GBD+GCD=30， 在ABC中，A=180-40-30-30=8011、A B+C+A=180，B+C=3A，B+C+A=4A=180，A=4512、B 设三个角分别是x、y、z，令x=y-z（yz)，在三角形中，有x+y+z=180将x=y-z代入，即y-z+y+z=180，所以y=90，所以为直角三角形13、A 三角形中最大的角不能小于60，如果小于60，则三角形的内角和将小于180，又该三角形是锐角三角形，则最大角必须小于90，故最大角的取值范围是609014、B A=60，ABC+ACB=180-60=120， CD、CE是ACB的三等分线，BD、BE是ABC的三等分线， DBC+DCB=2/3（ABC+ACB）=2/3120=80， BDC=180-（DBC+DCB）=180-80=100提示：将全角等分公式：1/n180+ n-1/nA15、C多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n-3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形 16、C 17、A 18、D 19、B 设第三边是x，则1993x2001而三角形的周长是偶数，因而x=1995或1997或1999，满足条件的三角形共有3个20、C ( 正n边形的内角 (n-1)180/n,，n边形的中心角等于 360/n)21、B 角等于与它不相邻的内角的四分之一可知该多边形内角为144，外角36，根据正多边形外角和=360，利用36036即可解决问题22、D：n边形从一个顶点发出的对角线有n-3条，m=7+3=10，n=3，k=5，h=4；则h（m-k）n=60 (n边形从一个顶点发出的对角线有n-3条，共有对角线 1/2n(n3)条)三、计算题：1、解：设长度为4、12的高分别是ab边上的，边c上的高为h，ABC的面积是S，那么a=S/2，b=S/4，c=2S/h，又a-bca+b，解得3h6，h=4或h=5，当h=4时，不合题意，舍去故h=52、a=2 b=2 c=3等腰三形3、解：设1=2=x，则3=4=2x因为BAC=63，所以2+4=117，即x+2x=117，所以x=39；所以3=4=78，DAC=180-3-4=244、解：A=42，ABC+ACB=180-42=138，DBC+DCB=2/3138=92，BDC=180-92，求得BDC=885、AEF为等腰直角三角形 证明：过点A作AMCF于M AE平分BAC BAECAEBAC/2 AF平分CAD CAFDAFCAD/2 EAFCAE+CAFBAC/2+CAD/2（BAC+CAD）/2180/290F+AEF90 AMCF AEF+EAM90 FEAM ACB-B90 ACBB+90 ACBCAM+AMCCAM+90, CAMB EAMCAE+CAMBAC/2+B FBAC/2+B AEMBAE+BBAC/2+B FAEM 等腰直角AEF6、解：AE平分BAC，AF平分CAD EAF=EAC+CAF=1/2(BAC+CAD)=90EAF是直角三角形ACB-B=90BAC=180-ACB-B=180-(90+B)-B=90-2BBAE=1/2BAC=45-B AEC=BAE+B=45 EAF是等腰直角三角形7、解：如图，AD是BC边上的中线，BD=CD，ADC的周长-ABD的周长=AC-AB=5，又AB+AC=11，AC=（5+11）/2=8cm8、解：设MBC=x，MCB=yABC+ACB=180-54=126，即3x+3y=126，x+y=42BM，BN三等分ABC，CM，CN三等分ACB，CBN+BCN=2x+2y=2（x+y）=84在BCN中BNC=180-CBN-BCN=180-84=96，BM和CM是CBN和BCN的角平分线，NM也一定是角平分线（三个角平分线交于一点），BNM=1/2BNC=489、解：在ABC中，D为BC中点，AB=AC，BAD=30，ABC为等边三角形，AD为角平分线，ADBC；又AD=AE，DAE=30，ADE=75又ADBC，EDC=ADC-ADE=90-75=1510、略（因为超大纲，此题用全等三角形知识）11、点P是对角线AC和BD的交点,即点P同时落在AC、BD上，即PA+PB+PC+PD最小值=AC+BD.下面来证:假设P点不在对角线AC和BD上,则点P和AC、BD就构成了三角形，则有：PA+PCAC,PB+PDBD(三角形两边之和大于第三边). 即PA