09高数C2期末试卷B1及答案.pdf

一 填空题 每小题 2 分 共 16 分 1 2 1 1 1 1 2 baba 2 点 2 1 1 到平面01 zyx的距离为 3 级数 2 ln 1 1 n n n 是 填条件收敛 绝对收敛 发散 4 设xyzsin 则 dz 5 改变积分次序 dxyxfdy y 0 6 以 xx ececy 3 21 为通解的二阶常系数齐次微分方程为 7 若幂级数 0n n nx a 0 n a 在点2 x处条件收敛 则该级数的收敛域为 8 将 x xf 1 展开成 x 2 的幂级数 二 单项选择题 每小题 1 分 共 5 分 1 00 yxfx与 00 yxfy均存在是函数 yxf在点 00 yx处可微分的 条件 A 充分非必要 B 必要非充分 C 充分且必要 D 非充分且非必要 2 设 0 0 1 0 1 22 1 22 yxyxDyyxD则 A 1 2 DD xdxdyxdxdy B 1 2 DD xydxdyxydxdy C 1 2 DD dxdyxdxdyx D 1 2 DD dxdyyxdxdyyx 3 下列级数中收敛的是 A 1 1 n n B 1 3 sin2 n n n C 0 2 1 1 n n n D 1 1 n n n 4 一曲线在其上任一点处切线的斜率为 y x 2 则此曲线是 A 直线 B 抛物线 C 圆 D 椭圆 5 微分方程 x exyyy 2323的特解形式为 A x bexa B x cebxa C x bxexa D x cxebxa 三 每小题 7 分 共 21 分 1 求过点 1 1 1 且与直线 2 132 zyx zyx 垂直的平面的方程 2 设 xyyxfz 其中 f 具有二阶连续偏导数 求 yx z x z 2 3 设 z z x y 是由方程04 222 zzyx确定的隐函数 求 x z y z dz 四 每小题 6 分 共 18 分 1 求dxdyyx D 22 其中 D 为上半圆周 2 2xxy 及 x 轴围成的闭区域 2 求 xdxdydz 其中 为三个坐标面及平面1 zyx所围成的闭区域 3 求 dvyx 22 其中 是由曲面zyx2 22 及平面2 z所围成的闭区域 五 每小题 7 分 共 14 分 1 判别 1 2 n n n n n 的收敛性 2 求幂级数 1 1 n n xn的收敛域与和函数 六 每小题 7 分 共 14 分 1 求曲面364 222 zyx的切平面 使其平行于平面0 zyx 2 求抛物线xy 2 与直线2 yx围成的平面图形的面积 并求这一平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体 积 七 每小题 7 分 共 14 分 1 求微分方程 x x x y dx dysin 满足初始条件1 x y的特解 2 解微分方程 x eyyy66 答案 一 填空题 1 1 1 2 2 3 3 3 条件收敛 4 4 cxdyydxosxy 5 5 1 0 1 x dyyxfdx 6 032 yyy 7 7 2 2 8 8 0 4 0 2 2 1 2 1 n n n n x 二 1 B 2 C 3 B 4 D 5 B 三 每小题 7 分 共 21 分 1 111 321 kji n r 3 4 1 平面方程 1 4 1 3 1 0 xyz 即4360 xyz 2 ffxyyxff yx z yff x z 221211 2 21 2 dy z y dx z x dy y z dx x z dz z y F F y z z x F F x z zzyxzyxF z y z x 22 2 2 4 3 222 四 每小题 6 分 共 18 分 9 16 3 2 3 8 3 cos8 1 2 0 3 2 0 cos2 0 222 d dddxdyyx D 2 原式 1 0 1 0 1 0 xyx xdzdydx 1 0 1 0 1 x dyyxxdx dxxxx 2 1 2 1 32 1 0 24 1 3 16 2 2 1 2 0 3 2 0 22 2 dzdddvyx3 五 1 2 1 1 1 lim2 2 1 1 2 lim 1 1 1 e n n n n n n n n n n n n 故级数收敛 1 1 lim2 n n R n 1 1 n nx 发散 1 1 1 n n nx1发散 故收敛域为1 1 xS 1 1 n n nx 1 x 1 dxxS x 0 dxnx n n x 1 1 0 1n n x x x 1 1 x 1 xS 11 1 1 2 x x 六 1 364 222 zyxzyxF 则zFyFxF zyx 2 8 2 由已知 4 zyx 1 1 1 设t zyx 11 4 1 则有 tz ty tx 4 1 代入曲面方程 得36 4 1 2 22 tt 4 t 切点为 4 1 4 和 4 1 4 切平面为 9 zyx和9 zyx 2 抛物线 2 yx 与直线2 yx的交点为 1 1 和 4 2 故抛物线和直线所围城的平面图形的面积 2 1 2 2 dxyyS 2 9 平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 2 1 42 5 72 2 dyyyV cx x cxdxe cdxe x x ey x dx x dx x cos 1 sin sin 1 ln 11 由 1 x y得 1 C 特解为 1cos 1 x x y 七 2 x eyyy66 xx ececY rr 2 2 3