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正多边形的面积计算ABCDEFGa我们知道，正四边形（正方形）面积等于a2,正三角形的面积等于34a2。我不禁想到了：那么正五边形、正六边形呢？通过画图计算，我发现正六边形的面积公式比较容易推导，而正五边形的则复杂一些。ABCDEFGa如图是一个边长为a的正六边形。连接AC,DF,过B作BGAC。BG= a2,AC=3a。SABC= 12ACBG= 34a2。S正六边形= 34a22+a3a= 332a2。用类似的方法，我求得了正五边形的面积公式，不过结果十分复杂。我求得S正五边形=2sin54cos54+sin54sin72a2。我想化简这个结果。通过观察公式sin2=2sincos,我发现可以将2sin54cos54化简为sin108,即cos18。得到这个结果，我挺满意，又考虑能不能把sin54sin72也变成与cos18有关的形式。经过尝试，我进行了以下变形：sin54sin72=cos36cos18,而又有cos2=2cos2-1，所以cos36cos18=2cos318-cos18。所以2sin54cos54+sin54sin72=2cos318。S正五边形=2cos318a2。而利用黄金三角形，可以求得cos18=10+254。虽然这是根式的形式，但是代入原式会异常复杂，还不如三角函数的表示形式简明。我又想有没有能够适用于所有正多边形的公式，而不用屡次尝试化简三角函数。ABCDEO很快，我找到了一个普遍适用的新方法。作出该正多边形的中心O，连接OB，OC，过O作OEBC。设该正多边形为正n边形，边长为a。OB=OC,BOC= 360n, BE=CE=a2,BOE= 180n。OE= BEtanBOE= a2tan180n 。S正多边形= 12naa2tan180n= n4tan180na2。发现了这个结论，我很高兴，将n=3,n=4,n=6逐一带入，都与之前的结果相符。这时，我又联想到了圆。圆可以看成正无数边形，那么圆的面积公式S圆=r2与这个公式是否统一呢？我发现将边心距OE= a2tan180n记为h，那么a=2tan180nh。将其代入S正多边形=n4tan180na2得到S正多边形=ntan180nh2。将这个公式与S圆=r2类比，可得当正n边形变数无限大时，ntan180n就无限接近于。不过ntan180n似乎不能化简而我又想到了，前面我用OE来近似表示半径，那如果用OB来表示呢？同样，我求得OB= a2sin180n，记OB=h，a=2sin180nh。代入得S正多边形=nsin180ncos180nh2。同上，当正n边形变数无限大时，nsin180ncos180n也无限接近于。当ntan180n与nsin180ncos180n无限接近时，即有tan180nsin180ncos180n，又sincos=tan, cos2180
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