第11章随机变量的均值和方差.doc

学案65随机变量的均值和方差导学目标： 1.理解随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题自主梳理1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值E(X)_为随机变量X的均值或_，它反映了离散型随机变量取值的_(2)方差2V(X)_xpi2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_，其_为随机变量X的标准差，即.2均值与方差的性质(1)E(aXb)_.(2)V(aXb)_(a，b为实数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)_，V(X)_.(2)若XB(n，p)，则E(X)_，V(X)_.自我检测1若随机变量X的分布列如下表，则E(X)_.X012345P2x3x7x2x3xx2.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)2.4，V(X)1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为_和_3(2010课标全国改编)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为_4(2011浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.5随机变量的概率分布如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列若E()，则V()_.探究点一离散型随机变量的期望与方差的求法例1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的概率分布、期望和方差；(2)若ab，E()1，V()11，试求a，b的值变式迁移1编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.(1)求随机变量X的概率分布；(2)求随机变量X的数学期望和方差探究点二二项分布的期望与方差例2A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为. (1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的概率分布和数学期望变式迁移2(2010泰州模拟)在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是，每次命中与否互相独立(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的概率分布及的数学期望探究点三离散型随机变量期望与方差的实际应用例3购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为10.999104.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)变式迁移3(2010江苏)某工厂生产甲、乙两种产品甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元设生产各件产品相互独立(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的概率分布；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率1若ab，则E()aE()b，V()a2V()2若B(n，p)，则E()np，V()np(1p)3求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的概率分布求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的期望、方差，求的线性函数ab的期望、方差和标准差，可直接用的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010福州质检)已知某一随机变量的概率分布如下，且E()6.3，则a的值为_.4a9P0.50.1b2.设B(n，p)，若有E()12，V()4，则n、p的值分别为_3随机变量X的概率分布为X124P0.40.30.3则E(5X4)_.4(2010成都毕业班第一次诊断)已知抛物线yax2bxc (a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量为“|ab|的取值”，则的数学期望E()_.5(2011上海)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：x123P(x)？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E()_.6设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4.P(Xk)akb(k1,2,3,4)又X的均值E(X)3，则ab_.7(2010辽宁改编)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为_8(2010重庆)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_二、解答题(共42分)9(14分)(2011江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元令X表示此人选对A饮料的杯数假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求X的概率分布；(2)求此员工月工资的期望10(14分)(2011山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求的概率分布和数学期望E()11(14分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为，对乙项目投资十万元，取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量1、2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润(1)求1、2的概率分布和数学期望E(1)、E(2)；(2)当E(1)E(2)时，求p的取值范围学案65随机变量的均值和方差答案自主梳理1(1)x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平(2)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn平均偏离程度算术平方根2.(1)aE(X)b(2)a2V(X)3.(1)pp(1p)(2)npnp(1p)自我检测1 260.4 32004解析由题意知P(X0)(1p)2，p.随机变量X的概率分布为：X0123PE(X)0123.5解析由得，故V()(1)2(0)2(1)2.课堂活动区例1解题导引要求期望，需先求出概率分布，要求概率分布，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法第(2)小题注意性质E(ab)aE()b，V(ab)a2V()的应用解(1)的概率分布为01234PE()012341.5.V()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由V()a2V()，得a22.7511，即a2.又E()aE()b，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.或变式迁移1解(1)P(X0)；P(X1)；P(X3).随机变量X的概率分布为X013P(2)E(X)0131.V(X)(10)2(11)2(31)21.例2解题导引(1)准确理解事件“甲类组”的含义，把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示；(2)第(2)小题首先判断随机变量服从二项分布，再求其概率分布和均值解(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i0,1,2，Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i0,1,2.依题意有P(A1)2，P(A2).P(B0)，P(B1)2.所求的概率为PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2).(2)的可能值为0,1,2,3，且B.P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.的概率分布为0123P数学期望E()0123.变式迁移2解(1)记“油罐被引爆”为事件A，其对立事件为，则P()C()()4()5，P(A)1C()()4()5.故油罐被引爆的概率为.(2)射击次数的可能取值为2,3,4,5，P(2)()2，P(3)C，P(4)C()2，P(5)C()()3()4.故的概率分布为2345PE()2345.例3解题导引各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，投保人中出险人数B(104，p)，进而利用二项分布的有关性质求解解各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为，则B(104，p)(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当0，P(A)1P()1P(0)1(1p)104，又P(A)10.999104，故p0.001.(2)该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和支出10 00050 000.盈利10 000a(10 00050 000)，盈利的期望为E()10 000a10 000E()50 000，由B(104,103)知，E()10 000103，E()104a104E()5104104a1041041035104.E()0104a1041051040a1050a15(元)故每位投保人应交纳的最低保费为15元变式迁移3解(1)由题意知，X的可能取值为10,5,2，3.P(X10)0.80.90.72，P(X5)0.20.90.18，P(X2)0.80.10.08，P(X3)0.20.10.02，所以X的概率分布为X10523P0.720.180.080.02(2)设生产的4件甲产品中一等品有n(n4且nN*)件，则二等品有(4n)件由题设知4n(4n)10，解得n.又nN*，得n3或n4.所以PC0.830.2C0.840.819 2.故所求概率为0.819 2.课后练习区17 218， 315 452解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则E()1x2(12x)3xx24x3x2.6.7解析设事件A：“一个实习生加工一等品”，事件B：“另一个实习生加工一等品”，由于A、B相互独立，则恰有一个一等品的概率PP(A)P(B)P(A)P()P()P(B).8解析设此队员每次罚球的命中率为p，则1p2，p.9解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.(2分)P(Xi)(i0,1,2,3,4)(4分)即X01234P(7分)(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100，2 800,3 500.(9分)则P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2).E(Y)3 5002 8002 1002 280.(12分)所以此员工月工资的期望为2 280元(14分)10解(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，分别表示甲不胜A，乙不胜B，丙不胜C的事件因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.(2分)红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，(4分)因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(7分)(2)由题意知可能的取值为0,1,2,3.(9分)又由(1)知 F，E，D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，(11分)因此P(0)P( )0.40.50.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，P(3)P(DEF)0.60.50.50.15.由对立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4. (12分)所以的概率分布为：0123P0.10.350.40.15因此E()00.11