2011-2012经济类联考数学真题.pdf

2012201220122012 年经济类联考综合数学部分真题年经济类联考综合数学部分真题 二 数学单项选择题 本大题共二 数学单项选择题 本大题共 10101010 小题 每小题小题 每小题 2 2 2 2 分 共分 共 20202020 分 分 21 函数 1ln ln xxxf 的定义域是 A 1 B 0 C 1 D 1 0 22 极限 x xx x x sin 11 sinlim 0 A 1B 0C 1 D 不存在 23 设 2 arcsin xxf 则 xf A 2 1 1 x B 2 1 2 x x C 4 1 1 x D 4 1 2 x x 24 0 x是函数 xx exf 2 的 A 零点B 驻点C 极值点D 非极值点 25 不定积分 xdxxcossin不等于 A Cx 2 sin 2 1 B Cx 2sin 2 1 2 C Cx 2cos 4 1 D Cx 2 cos 2 1 26 设 4 0 lnsinIxdx 4 0 lncosIxdx 则 I J的大小关系是 A JIC JI D JI 27 设矩阵 21 12 A E为单位矩阵 2BABE 求B A 1 1 11 B 11 11 C 11 1 1 D 1 1 1 1 28 设向量组 123 线性无关 124 线性相关 则 A 1 必可由 234 线性表出 B 2 必可由 134 线性表出 C 3 必可由 124 线性表出 D 4 必可由 123 线性表出 29 设 随 机 变 量 X Y服 从 正 态 分 布 16 25 X NY N 记 12 4 5 pP XpP Y 则 A 只有 的个别值 才有 12 pp B 对任何实数 都有 12 pp 30 设随机变量X服从参数为 的泊松分布 若 1 2 1E XX 则参数 A 3B 1C 1D 2 三 数学计算题三 数学计算题 31 3931 3931 3931 39 本大题共 本大题共 9 9 9 9 小题 共小题 共 50505050 分 分 31 求极限 x ee xx x cos1 2 lim 0 32 求定积分dx x x e 1 ln1 33 已知函数 2 1 xxxf x 求 fx 34 求函数11232 23 xxxxf的极值 35 求由方程 arctan zyxxyz 的隐函数 yxzz 的 x z 和 y z 36 求矩阵 120 340 005 A 的伴随矩阵 A 37 求线性方程组 123 123 123 44 24 416 xxx xxx xxx 的通解 38 设三次独立试验中事件A在每次试验中发生的概率均为p 已知A至少发生一次的概 率为 19 27 求p 39 设连续型随机变量X的分布函数为 2 0 0 01 1 1 x F xAxx x 求 1 常数A 2 X的密度函数 f x 3 11 53 PX 01 0 x x 可得 1 0 x 22 极限 x xx x x sin 11 sinlim 0 A 1B 0C 1 D 不存在 答案 答案 A 考点分析 考点分析 本题考查第一个重要极限 无穷小的性质以及极限的四则运算 解析 解析 x xx x x sin 11 sinlim 0 x xx x xx sin 1 lim 1 sinlim 00 由 重 要 极 限 可 知 0 1 limsin1 x x x 由 于 0 lim0 x x 同 时 1 sin x 为 有 界 函 数 可 知 0 1 lim sin0 x x x 故原式1 故选A 23 设 2 arcsin xxf 则 xf A 2 1 1 x B 2 1 2 x x C 4 1 1 x D 4 1 2 x x 答案 答案 D 考点分析 考点分析 本题考查初等函数的求导公式以及复合函数求导法则 解析 解析 xxfarcsin 4 1 2 x x 24 0 x是函数 xx exf 2 的 A 零点B 驻点C 极值点D 非极值点 答案 答案 D 考点分析 考点分析 本题考查函数的零点 驻点以及极值点的定义和相互关系 解析 解析 由于 xx exf 2 恒正 故函数 f x无零点 又由于 2 21 xx fxxe 0 0fe 故0 x不是是函数 f x的驻点 而可导函 数的极值点必为驻点 可知0 x也不是函数 f x的极值点 故选D 25 不定积分 xdxxcossin不等于 A Cx 2 sin 2 1 B Cx 2sin 2 1 2 C Cx 2cos 4 1 D Cx 2 cos 2 1 答案 答案 B 考点分析 考点分析 本题考查不定积分及原函数的定义 解析 解析 由于 22 111 sincos2cossincos 242 xxxxx 由不定积分的定 义 可 知 A C D都 可 以 作 为 不 定 积 分 xdxxcossin的 计 算 结 果 而 2 1 sin 22sin2 cos2sincos 2 xxxxx 可知 xdxxcossin不等于Cx 2sin 2 1 2 故 选B 26 设 4 0 lnsinIxdx 4 0 lncosIxdx 则 I J的大小关系是 A JIC JI D JI 答案 答案 C 考点分析 考点分析 本题考查定积分的不等式性质 解析 解析 由于当0 4 x 时 2 sincos 2 xx 可知lnsinlncosxx 故由定积 分的不等式性质可知 4 0 lnsinIxdx 4 0 lncosIxdx 27 设矩阵 21 12 A E为单位矩阵 2BABE 则B A 1 1 11 B 11 11 C 11 1 1 D 1 1 1 1 答案 答案 B 考点分析 考点分析 本题考查逆矩阵的计算以及矩阵方程的求解 解析 解析 由于 11 1 1 AE 故 20AE 所以AE 可逆 1 1111 11 2 AEAE AE 所以 1 11 2 2 2 11 BABEB AEEBAE 28 设向量组 123 线性无关 124 线性相关 则 A 1 必可由 234 线性表出 B 2 必可由 134 线性表出 C 3 必可由 124 线性表出 D 4 必可由 123 线性表出 答案 答案 D 考点分析 考点分析 本题考查向量组线性表出以及线性相关性的性质 解析 解析 向量组 123 线性无关 根据性质 整体无关 部分无关 可知 12 线性 无关 又 124 线性相关 所以 4 可由 12 线性表出 所以 4 也可以由 123 线 性表出 29 设 随 机 变 量 X Y服 从 正 态 分 布 16 25 X NY N 记 12 4 5 pP XpP Y 则 A 只有 的个别值 才有 12 pp B 对任何实数 都有 12 pp 答案 答案 C 考点分析 考点分析 本题考查正态分布的常用性质 解析 解析 由 16 25 X NY N 有 0 1 0 1 45 XY NN 1 4 11 4 X pP XP 2 5 111 5 Y pP YP 其中 x 为标准正态分布的分布函数 由于标准正态分布的概率密度函数关于y轴对称 故 1xx 所以 12 pp 30 设随机变量X服从参数为 的泊松分布 若 1 2 1E XX 则参数 A 3B 1C 1D 2 答案 答案 C 考点分析 考点分析 本题考查数字特征的运算性质以及常见随机变量的期望与方差 解析 解析 由于 XP 故EXDX 可得 2 22 E XEXDX 再由 22 1 2 1 32 1 321E XXE XXE XEX 可得 2 2 10 解得 1 三 数学计算题 31 39 本大题共 9 小题 共 50 分 31 求极限 x ee xx x cos1 2 lim 0 考点分析 考点分析 本题考查等价无穷小和洛必达法则 解析 解析 x ee xx x cos1 2 lim 0 2 2 lim 2 0 x ee xx x x ee xx x 0 lim 2 1 11 lim 0 x 32 求定积分dx x x e 1 ln1 考点分析 考点分析 本题考查定积分的第一换元法 解析 解析 dx x x e 1 ln1 xdx e lnln1 1 e x 1 2 3 ln1 3 2 12 3 2 2 3 33 已知函数 2 1 xxxf x 求 fx 考点分析 考点分析 本题考查复合函数求导法则以及幂指函数导数的计算 解析 解析 2 1 x fxxx ln2 1 xx ex ln 2 ln1 1 xx x ex x 34 求函数11232 23 xxxxf的极值 考点分析 考点分析 本题考查求一元函数的求极值的方法 解析 解析 求函数的一阶导数 2 6612fxxx 并令其为零可得1 2xx 再求函数的二阶导 126fxx 1 180 2 180ff 故函数在1x 处取得极小值 在2x 处取得极大值 故 621ff 极小值极大值 35 求由方程 arctan zyxxyz 的隐函数 yxzz 的 x z 和 y z 考点分析 考点分析 本题考查多元隐函数偏导数的计算 解析 解析 对方程 arctan zyxxyz 两边同时求偏导 并注意到 yxzz 可得 2 1 1 z z x yzxy x xyz 整理可得 2 2 1 1 yzyz xyzz x xyxy xyz 由x和y的对称性可得 2 2 1 1 xzxz xyzz y xyxy xyz 36 求矩阵 120 340 005 A 的伴随矩阵 A 考点分析 考点分析 本题考查伴随矩阵的性质及计算方法 解析 解析 方法一 直接计算 1 1 11 40 120 05 A 1 2 12 30 115 05 A 1 3 13 34 10 00 A 2 1 21 20 110 05 A 2 2 22 10 15 05 A 2 3 23 12 10 00 A 3 1 31 20 10 40 A 3 2 32 10 10 30 A 3 3 32 12 12 34 A 则 112131 122232 132333 20100 1550 002 AAA AAAA AAA 方法二 先计算 1 A 对 A E作初等变换可得 120100120100 340010020310 005001005001 100210 100210 31 0203100100 22 005001 1 00100 5 故 1 210 31 0 22 1 00 5 A 又 120 12 340 52 510 34 005 A 所以 1 210 20100 31 1001550 22 002 1 00 5 AA A 37 求线性方程组 123 123 123 44 24 416 xxx xxx xxx 的通解 考点分析 考点分析 本题考查非齐次线性方程组通解的计算 解析 解析 对线性方程组的增广矩阵做初等行变换 1144111111111003 1124022801140114 141160552000000000 所以 该线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 但小于未知量的个数 故方程组有 无穷多解 原方程组的等价方程组为 1 23 3 4 x xx 即 1 23 33 3 4 x xx xx 所以原方程组的通解为 303 414 10 kk k 其中k为任意常数 38 设三次独立试验中事件A在每次试验中发生的概率均为p 已知A至少发生一次的概 率为 19 27 求p 考点分析 考点分析 本题考查独立重复试验以及二项分布的定义与性质 解析 解析 由题意知 pP A 设随机变量X为三次独立试验中事件A发生的次数 则 3 XBp 则 0033 3 19 1 1 0 1 1 1 1 27 P XP XC ppp 解得 1 3 p 39 设连续型随机变量X的分布函数为 2 0 0 01 1 1 x F xAxx x 求 1 常数A 2 X的密度函数 f x 3 11 53 PX 考点分析 考点分析 本题考查分布函数 密度函数的定义性质以及常见的公式 解析 解析 1 由于X为连续型随机变量 所以其分布函数 F x为连续函数 故 F x应在1x 处连续 又 1 0 1 1FA F 所以1A 2 0 0 01 1 1 x F xxx x 2 2 01 0 xx f xF x 其他 3 11111116 0 5335925225 PXFF 2011201120112011年经济类联考综合数学部分真题年经济类联考综合数学部分真题 二 数学单项选择题 本大题共二 数学单项选择题 本大题共 10101010 小题 每小题小题 每小题 2 52 52 52 5 分 共分 共 25252525 分 分 21 设 2 arccosf xx 则 fx A 2 1 1x B 2 2 1 x x C 4 1 1x D 4 2 1 x x 22 不定积分 2 1xx dx A 2 1xC B 3 2 1 1 3 xC C 2 1xxC D 3 2 1 1 3 xxC 23 函数 32 69f xxxx 那么 A 1x 为 f x的极大值点B 1x 为 f x的极小值点 C 0 x 为 f x的极大值点D 0 x 为 f x的极小值点 24 设函数 f x在开区间 a b内有 0fx 且 0fx m是大于1的整数 则必有 A T T T T TTTTTTTT AB A BAB A BAB A BAB A BB m mm AB A BAB A BAB A BAB A B C TTTTTTTTTTTT AB ABAB ABAB ABAB ABD A B A BA B A BA B A BA B A B 27 设线性无关的向量组 1234123412341234 可由向量组 12s12s12s12s 线性表示 则必有 A 12s12s12s12s 线性相关B 12s12s12s12s 线性无关 C 4s D 4s 28 若线性方程组 123 123 231 243 xxx xxkx 无解 则k A 6B 4C 3D 2 29 设随机变量X服从参数为 的指数分布 若 2 72E X 则参数 A 6B 3C 1 3 D 1 6 30 设随机变量X的分布函数 0 0 1 01 2 1 1 x x F xx ex 求随机变量X的 概率密度 37 设随机变量服从正态分布 1 2N Y服从泊松分布 2P 求期望 23EXY 38 求齐次线性方程组 1234 1234 1234 20 3630 51050 xxxx xxxx xxxx 的全部解 要求用基础解系表示 39 确定k为何值时 矩阵 100 10 011 k A A A A可逆 并求逆矩阵 1 1 1 1 A A A A 第二节第二节真题解析真题解析 二 数学单项选择题 本大题共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 21 设 2 arccosf xx 则 fx A 2 1 1x B 2 2 1 x x C 4 1 1x D 4 2 1 x x 答案 答案 D 考点分析 考点分析 本题考查导数计算的复合函数求导法则 解析 解析 根据复合函数求导法则 2 24 2 12 1 1 x fxx x x 故选 D 22 不定积分 2 1xx dx A 2 1xC B 3 2 1 1 3 xC C 2 1xxC D 3 2 1 1 3 xxC 答案 答案 B 考点分析 考点分析 本题考查不定积分计算的第一类换元法 凑微分法 解析 解析 根据换元法 2 1xx dx 22 1 11 2 x dx 令 2 1tx 则原积分变 为 1 2 tdt 1 2 1 2 t dt 3 2 1 2 2 3 tC i 3 2 1 3 tC 故 2 1xx dx 3 2 2 1 1 3 xC 故选 B 23 函数 32 69f xxxx 那么 A 1x 为 f x的极大值点B 1x 为 f x的极小值点 C 0 x 为 f x的极大值点D 0 x 为 f x的极小值点 答案 答案 B 考点分析 考点分析 本题考查函数极值与导数的关系 解析 解析 根据极值点的判别定理 本题中 2 3129fxxx 由 0fx 得两个驻点 1x 或3x 由 160f 知 1x 为 f x的极小值点 在0 x 处 由于 00f 可知0 x 不为 f x的极值点 故选 B 24 设函数 f x在开区间 a b内有 0fx 且 0fx 则 yf x 在 a b内 A 单调增加 图像上凹B 单调增加 图像下凹 C 单调减少 图像上凹D 单调减少 图像下凹 答案 答案 D 考点分析 考点分析 本题考查函数的单调性与凹凸性 解析 解析 根据单调性定理 0fx 故函数 yf x 在 a b内单调减少 根据函数 凹凸性与二阶导数的关系 0fx m是大于1的整数 则必有 A T T T T TTTTTTTT AB A BAB A BAB A BAB A BB m mm AB A BAB A BAB A BAB A B C TTTTTTTTTTTT AB ABAB ABAB ABAB ABD A B A BA B A BA B A BA B A B 答案 答案 C 考点分析 考点分析 本题考查矩阵及行列式的运算法则 解析 解析 由转置及矩阵乘法的运算法则可知 T T T T TTTTTTTT AB B AAB B AAB B AAB B A 故 A 错误 一般来说 矩 阵乘法不满足交换律 也即AB BAAB BAAB BAAB BA不一定成立 2 2 2 2 AB ABABAB ABABAB ABABAB ABAB不一定等于 22222222 A BA BA BA B 可知 B 错误 在行列式的运算法则中 A B A BA B A BA B A BA B A B一般也不成立 可知 D 错误 行列式的运算法则可知 TTTTTTTTTTTTTTTT AB A B ABAB A B ABAB A B ABAB A B AB 故选 C 27 设线性无关的向量组 1234123412341234 可由向量组 12s12s12s12s 线性表示 则必有 A 12s12s12s12s 线性相关B 12s12s12s12s 线性无关 C 4s D 4s 答案 答案 C 考点分析 考点分析 本题考查向量的线性表出和线性相关性 解析 解析 由定理可知 若向量组 t12121212 可以由向量组 s12121212 线性表出 且 t12121212 线性无关 则有ts 故选 C 28 若线性方程组 123 123 231 243 xxx xxkx 无解 则k A 6B 4C 3D 2 答案 答案 A 考点分析 考点分析 本题考查线性方程组有解的条件 解析 解析 对增广矩阵做初等行变换得 12311231 2430062kk 由于线性 方程组无解 可知最后一个方程必为矛盾方程 123 000 xxxd 可知6k 故选 A 29 设随机变量X服从参数为 的指数分布 若 2 72E X 则参数 A 6B 3C 1 3 D 1 6 答案 答案 D 考点分析 考点分析 本题考查常见随机变量的数字特征 解析 解析 2 2 72E XD XEX 因为 XE 所以 1 EX 2 1 DX 代入得 1 6 选 D 30 设随机变量X的分布函数 0 0 1 01 2 1 1 x x F xx ex 得到单调增区间为 1 01 由 0fx 得到单调减区间为 10 1 由 0fx 得到驻点0 1 1xxx 又 040f 故 0 1f 为极大值 1 1 0ff 为极小值 32 计算定积分 1 2 0 56 dx xx 考点分析 考点分析 本题考查定积分的计算 解析 解析 111 22 2 11 000 9 ln2ln3ln 56238 dxdxdx xx xxxx 33 设 cos2fxxx 且 02f 求 f x 考点分析 考点分析 本题考查原函数与导数的概念以及不定积分的计算 解析 解析 2 cos2sinfx dxxx dxxxC 故 2 sinf xxxC 又 02f 得 C 2 故 2 sin2f xxx 34 设 zz x y 是由方程0 xyzxyz 所确定的隐函数 求 z x 和 z y 考点分析 考点分析 本题考查隐函数求导 解析 解析 对方程0 xyzxyz 等号两边同时关于 x 求偏导得 10 zz yzxy xx 整理得到 1 1 zyz xxy 同理得 1 1 zxz yxy 35 已知某函数的需求函数为10 5 Q P 成本函数为502CQ 求产量为多少时利润 最大 考点分析 考点分析 本题考查导数的经济学应用以及函数最值的计算 解析 解析 收益 需求 价格 故本题中的收益为10 5 Q Q 而利润 收益 成本 故本题中的利润为 2 10502850 55 QQ F QQQQ 求导可得 2 8 5 Q F Q 令 0F Q 可得20Q 又当20Q 当20Q 时 0F