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华南理工大学高数（上）期末考题参考答案一、 填空题（每小题3分，共15分）1.设，则 .2. .3.已知的三个顶点的坐标为,则 .4.曲线的弧长等于.5.二、 选择题（每小题3分，共15分）1. 设则.（）； （）； （）； （）.2.设则时，（ ）.（）与是等价无穷小量； （）与是同阶但非等价无穷小量；（）是比高阶的无穷小量； （）是比低阶的无穷小量.3.设在上严格单调减少，在处有极大值，则（）.（）在处有极小值；（）在处有极大值；（）在处有最小值；（）在处有既无极值也无最值；4.下列函数中，在定义域上连续的函数是（ ）（） （）（） （）5.若连续曲线与在上关于轴对称，则积分的值为（ ）（）； （）； （）； （）三、 解答下列各题（每小题7分，共28分）1. 设参数方程，求.解 因为 所以 2. 求曲线在拐点处的切线方程.解 因为 ，令得当时，当时，且，则点是曲线的拐点；又，所以曲线在拐点处的切线方程是： 3. 计算积分.解 4. .解 解法一 （参看p201例21） 解法二 设 ，则，代入得四、（8分）确定常数的值，使函数在处连续且可导.解 由于在处连续，且， 所以 即 由于在处可导，且 所以 即，时在处连续且可导.五、（8分）已知的一个原函数是，求.解 六、（8分）设在上可导，且.试证：存在，使.证 由积分中值定理有 ；设 则满足：在上连续；在内可导；由洛尔定理，则至少存在一点，使，即 ，即证 七、（8分）证明方程在内有且仅有一个实根.证 设 则在上连续，在内可导，且 即在上单调递增；又 由零点定理知，方程在内有且仅有一个实根.八、（10分）已知曲线与曲线在点有公共切线，求（1）常数的值及切点；（2）两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.解 （1）由条件知满足 ，解之得. （2）由（
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