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本章主要内容5 1正弦信号与相量5 2电路的相量模型5 3阻抗与导纳5 4相量分析的一般方法5 5正弦稳态电路的功率5 6三相电路 第五章正弦交流电路 5 1正弦信号与相量 正弦交流电 各量 电压 电流 电动势 随时间按正弦规律变化 以正弦电流为例 对于给定的参考方向 正弦量的一般解析函数式为i t Imsin t 一 正弦量的三要素1 振幅 最大值 正弦量瞬时值中的最大值 叫振幅值 也叫峰值 用大写字母带下标 m 表示 如Um Im等 其中 T 表示正弦量变化一周所需的时间 称为周期 单位为秒 s f 表示正弦量每秒钟变化的周数 称为频率 单位为赫兹 Hz f 50Hz 称为我国的工业频率 简称 工频 周期和频率互成倒数 即 3 初相 i t Imsin t 正弦量解析式中的 t 称为相位角 t 0时 相位为 称其为正弦量的初相 2 角频率 角频率 表示正弦量在单位时间内变化的弧度数 即 单位为rad s或1 s 如下图正弦量的三要素 幅值为Um 角频率为初相为 二 相位差 相位差指两个同频率正弦量的相位之差 如 两个同频率的正弦量u1 t U1msin t 1 u2 t U2msin t 2 12 t 1 t 2 1 2 相位差 相位差 初相之差 由此得 同频率正弦量的几种相位关系 超前关系 12 1 2 0且 12 弧度 称第一量超前第二量 滞后关系 12 1 2 0且 12 弧度 称第一量滞后第二量 即 称第二量超前第一量 12 1 2 0 称这两个正弦量同相 同相关系 反相关系 12 1 2 称这两个正弦量反相 例 判断下图正弦量的相位关系 解 a u和i同相 b u1超前u2 c i1和i2反相 d u和i正交 三 正弦量的有效值 一直流电流I和一交流电流i分别通过同一电阻R 在同一个周期T内所产生的热量相等 那么这个直流电流I的数值就叫做交流电流i的有效值 由此得出 交流电流的有效值为 同理 交流电压的有效值为 正弦交流电流的有效值为 由此得出有效值和最大值关系 例 电压有效值为 V 则最大值为 四 正弦量的相量表示法 1 复数的运算规律 复数的加减运算规律 两个复数相加 或相减 时 将实部与实部相加 或相减 虚部与虚部相加 或相减 如 相加 减的结果为 A1 A2 a1 jb1 a2 jb2 a1 a2 j b1 b2 复数乘除运算规律 两个复数相乘 将模相乘 辐角相加 两个复数相除 将模相除 辐角相减 如 复数有两种表示法 实部与虚部的形式 模与辅角的形式 欧拉公式 1 j j 2 正弦量的相量表示设有一复数它和一般的复数不同 它不仅是复数 而且辐角还是时间的函数 称为复指数函数 因为 可见A t 的虚部为正弦函数 这样就建立了正弦量和复数之间的关系 为用复数表示正弦信号找到了途径 式中同理 把这个复数分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量 特别应该注意 相量与正弦量之间只具有对应关系 而不是相等的关系 例已知u1 141sin t 60o V u2 70 7sin t 45o V 求 求相量 2 求两电压之和的瞬时值u t 3 画出相量图 解 1 2 3 相量图如图所示 3 两个同频率正弦量之和 设有两个同频率正弦量 方法 1 写出相应的相量 并表示为代数形式 2 按复数运算法则进行相量相加 求出和的相量 3 作相量图 按照矢量的运算法则求相量和 5 2电路的相量模型 一 KCL和KVL的相量模型 二 基本元件的相量模型 1 电阻元件根据欧姆定律得到 上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的 相量 波形图如图所示 其相量关系为 图电阻元件的电压 电流相量及波形图 2 电感元件 电感元件上电压 电流之间的相量关系式为 由上式可得 U LI XLI 上式表明电感上电流滞后电压为90 通常把XL L定义为电感元件的感抗 它是电压有效值与电流有效值的比值即XL L 对于一定的电感L 当频率越高时 其所呈现的抗感越大 反之越小 在直流情况下 频率为零 XL 0 电感相当于短路 图电感元件的波形 相量图 电感元件的波形 相量图如图所示 可以看出 电感上电流滞后电压为90 3 电容元件电容元件上电压 电流之间的相量关系式为 将上式改写为 通常把XC 定义为电容的容抗 电容元件上 电流振幅为电压振幅的 C倍 图电容元件的波形 相量图 以上表明电容电流超前电容电压90 可以用相量图或波形图清楚地说明 如图所示 1 复阻抗 设由R L C串联组成无源二端电路 如图4 8所示 流过各元件的电流都为I 各元件上电压分别为uR t uL t uC t 端口电压为u t 5 3阻抗与导纳 上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律 Z为该无源二端电路的复阻抗 或阻抗 它等于端口电压相量与端口电流相量之比 当频率一定时 阻抗Z是一个复常数 可表示为指数型或代数型 即 式中 Z 称为阻抗的模 其中X XL XC称为电抗 电抗和阻抗的单位都是欧姆 称为阻抗角 它等于电压超前电流的相位角 即 Z 称为该电路的阻抗 是复阻抗的模 Z是一个复数 所以又称为复阻抗 为阻抗角 是复阻抗的幅角 复阻抗 阻抗的单位都为 Z是一个复数 所以又称为复阻抗 复阻抗的另一形式 它们之间符合阻抗三角形 Z的实部为R 称为 电阻 Z的虚部为X 称为 电抗 阻抗三角形 2 复导纳 图RLC并联电路 对于如图所示R L C并联电路 根据相量形式得KCL 得到 Y为无源二端电路的复导纳 或导纳 对于同一电路 导纳与阻抗互为倒数 Y 称为导纳模 它等于阻抗模的倒数 对于同一电路 导纳模与阻抗模也互为倒数 称为导纳角 导纳角等于电流与电压的相位差 它也等于负的阻抗角 相量法的实质是将正弦稳态的电压和电流用相量表示 元件的参数用阻抗或导纳表示 在复数领域内分析正弦稳态电路 所以 对于一般网络 前面各章介绍的各种方法和定理也都完全适用 即把电阻性网络分析方法中的电阻换成阻抗或导纳 5 4相量分析的一般方法 5 5正弦稳态电路的功率 一 瞬时功率p R L C元件的功率和能量1 电阻元件的功率正弦稳态电路中 在关联参考方向下 设电阻元件电流电压 IR t Imsin tAuR t ImRsin t Umsin tV则瞬时功率为 pR t u t i t 2URIRsin2 t URIR 1 cos2 t W由于cos2 t 1 故pR t URIR 1 cos2 t 0 其瞬时功率的波形图如4 10所示 由图可见 电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的 而且pR t 0 说明电阻元件是耗能元件 电阻的平均功率 与直流电路相似 2 电感元件的功率在关联参考方向下 设流过电感元件的电流为则电感电压为 其瞬时功率为 上式表明 电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的 且pL t 的值可正可负 其波形图如图所示 图电感元件的瞬时功率 从图上看出 当uL t iL t 都为正值时或都为负值时 pL t 为正 说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来 反之 当pL t 为负时 电感元件向外释放能量 pL t 的值正负交替 说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换 电感消耗的平均功率为 电感消耗的平均功率为零 说明电感元件不消耗功率 只是与外界交换能量 3 电容元件的功率在电压 电流为关联参考方向下 设流过电容元件的电流 电压为 其瞬时功率为 图电容元件的瞬时功率 从图上看出 pc t 与pL t 波形图相似 电容元件只与外界交换能量而不消耗能量 电容的平均功率也为零 即 电感元件以磁场能量与外界进行能量交换 电容元件是以电场能量与外界进行能量交换 二 有功功率P 平均功率 三 无功功率Q 四 视在功率S 五 功率因数 单位 伏 安 V A 常用的单位还有千伏 安 kV A 功率三角形 P Q S之间存在如下关系 工程上为了计算方便 把有功功率作为实部 无功功率作为虚部 组成复数 称为复功率 用表示复功率 即 P jQ 六 共轭匹配 与最大功率传输相似 只改变XL 保持RL不变 当XS XL 0时 即XL XS PL可以获得最大值 令 改变RL 使PL获得最大值的条件是 得RL RS 所以负载获得最大功率的条件为 即 最大功率为 例 一R L串联的电感线圈 用电压表测端口的电压为50V 电流表读数为1A 功率表的读数为30W 工频情况下求R L值 解 另解 一 三相对称正弦交流电压 1 三相电源及其连接 三相正弦电压源是三相电路中最基本的组成部分 由三相交流发电机的三相绕组产生 5 6三相电路 三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合 且单相交流电源的频率相等 幅值 最大值 相等 相位彼此相差120 三相正弦电压的解析式 为相电压的有效值 三相正弦电压的向量图 三相正弦电压的向量关系 三相正弦电压的波形 三相电源的连接 将三相电源按一定方式连接之后 再向负载供电 通常采用星形连接方式 如图所示 低压配电系统中 采用三根相线和一根中线输电 称为三相四线制 高压输电工程中 由三根相线组成输电 称为三相三线制 每相绕组始端与末端之间的电压 也就是相线和中线之间的电压 叫相电压 其瞬时值用u1 u2 u3表示 通用up表示 图星形连接 任意两相线与相线之间的电压 叫线电压 瞬时值用u12 u23 u31表示 通用ul表示 由于u12 u1 u2u23 u2 u3u31 u3 u1其次 作出线电压和相电压的相量图 如图所示 图星形连接线电压相电压的相量图 所以同理 一般写为 作星形连接时 三个相电压和三个线电压均为三相对称电压 各线电压的有效值为相电压有效值的倍 且线电压相位比对应的相电压超前30 由于构成等腰三角形 所以 2 三相负载的星形连接 三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式 负载的星形连接 图三相负载的星形连接 在负载星形连接时 线电流等于相电流 即若三相负载对称 即Z1 Z2 Z3 Zp 因各相电压对称 所以各相电流相等 即 I1 I2 I3 IYP 由基尔霍夫电流定律知 同时 三个相电流的相位差互为120 满足 略去电线上的电压降 则各相负载的相电压就等于电源的相电压 这样 电源的线电压为负载相电压的倍 即 UYP为星形联接负载相电压 三相电路中 流过每根相线的电流叫线电流 即I1 I2 I3 用表示 方向规定为由电源流向负载 而流过负载的电流叫相电流 用IYP表示 其方向与相电压方向一致 流过中线的电流叫中线电流 用IN表示 其方向规定由负载中点N 流向电源中点N 这样 对称的三相负载作星形联接时 中线电流为零 这时 可以省略中线而成为三相三线制 并不影响电路工作 如果三相负载不对称 各相电流大小就不相等 相位差也不一定是120 中线电流不为零 此时就不能省去中线 否则会影响电路正常工作 甚至造成事故 所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外 中线上不准安装熔丝和开关 负载的三角形连接 如图所示 将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间 称为三相负载的三角形连接 不论负载对称与否 各相负载承受的电压均为对称的电源线电压 图三相负载的三角形连接 对于对称三相负载 相电压等于线电压 即 同时 各相电压与各相电流的相位差也相同 即三相电流的相位差也互为120 各相电流的方向与该相的电压方向一致 由KCL知 作出线电流和相电流的相量 如图所示 相电流 图三角形连接线电流和相电流的相量图 从图中看出 各线电流在相位上比各相电流滞后30 由于相电流对称 所以线电流也对称 各线电流之间相差120 可以看出 Il 2I12cos30 所以 这些说明 对称三相负载呈三角形连接时 线电流的有效值为相电流有效值的倍 线电流在相位上滞后于相电流30 3 三相电路的功率三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总和 P P1 P2 P3Q Q1 Q2 Q3S S1 S2 S3当三相负载对称时 各相功率相等 总功率为一相功率的三倍 通常 相电压和相电流不易测量 计算三相电路的功率时 是通过线电压和线电流来计算 不论负载作星形连接还是三角形连接 总的有功功率 无功功率和视在功率 计