第四课时 历届抽屉原理真题-答案.doc

抽屉原理真题解答2014（1）设集合，集合是的子集，且集合中任意两数之差都不等于6或7。问集合中最多有多少个元素？（2）设集合，集合是的子集，且集合中任意两数之差都不等于6或7。问集合中最多有多少个元素？【解答】（1）构造的下列13个子集：，（中每一个数恰好属于2个子集）。由于从中任取7个元素，它们分别属于上述13个子集中的14个子集，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7。因此，中任意7个元素都不能同时属于集合。即中最多只有6个元素。 4分又中任意两数之差都不等于6或7。集合符合要求。 集合中最多有6个元素。 7分（2）由（1）知，任意连续13个正整数中最多只有6个数满足任意两数之差都不等于6或7。由于，因此，集合中最多只有个数满足任意两数之差都不等于6或7。 11分又显然集合是集合的子集，且集合中任意两数之差都不是6或7。集合中有930个元素。 集合中最多有930个元素。 14分2013对任意的实数，定义，其中表示不超过的最大整数。 （1）求函数的值域 （2）设，是任意给定的个互不相等的实数。 求证：存在某个正整数， 使得 【解答】（1）当为整数时，由，知，。此时，。 2分当不是整数时，由知，可见不超过的最大整数为，即。 由的定义，可知，。此时，。 ，的值域为。 6分（2）设由（1）知，对任意的正整数，（，），当时，或1。即。当时，。 。 。 12分 ，中，至少有一个数不大于。不妨设。 存在正整数（），使得。 14分2012在直角坐标平面内有2012个点，记这2012个点组成的点集为，已知点集中任意两点的连线与坐标轴既不平行也不重合。证明：在点集中，存在两点，使得以为对角线，且边与坐标轴平行或重合的矩形内（不包括边界）至少含有点集中的402个点。20112011对一个（3行，列）的格阵中的每一个方格用红，蓝两种颜色中的一种染色。如果对任意一种染色方案总可以找到由2行3列相交出的同色的6个方格（2行可以不相邻，3列也可以不相邻），求的最小值。2010证明：任给15个互不相同的两位数种，总可以找到4个互不相同的数 ，使得。证明1：不妨设这15个数为，且，令，为1,2,314 则， 由 得，最小为10，最大为99，故，由于,若不能找到4个数满足，（即）则中最多只能有连续两项相同，从而，矛盾 由抽屉原理得： 当时，总可以找到不连续的（），使得，从而，即有4个互不相同的数,使得。证明2：不妨设这15个数为，且任选两个数，作差：，（即大数减小数），则共有个差，又不同两位数之差的范围为共89种情况，由抽屉原理，至少有16对，使得。若，且则有4个互不相同的数且，若这16对都满足，且，则的可能取值为，由抽屉原理，必有，从而，即有4个互不相同的数,使得。2009已知集合是集合的含有个元素的子集，且对集合的任意三个元素均有不能整除。求的最大值。20092008设（n为正整数），若S的任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差等于25，求n的最大值。2007求最小的正整数，使得集合的每一个元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂. 从1024-2007 任意两个数相加都不是2的幂 2048两数和4014 共2007-1024+1=984个数 然后从16-32任意两个数加也不是2的幂 32两数和64 共32-16+1=17个数 16-32，1024-2007这些数中，任意两数和都不为2的幂(两组数