函数经典习题.docx

函数经典习题曹老师于4月2日晚灯下草1. 已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: . (1)求的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若,求数列的前项和.1. （1）解：令，则 令，则 （2）证明：令，则， 令，则 是奇函数。 （3）当时，令，则 故，所以，故2已知函数对任意实数恒有且当x0，(1)判断的奇偶性；(2)求在区间3,3上的最大值；(3)解关于的不等式解（1）取则取对任意恒成立 为奇函数.（2）任取， 则 www.ks5u 又为奇函数 在（，+）上是减函数.对任意，恒有而在3，3上的最大值为6（3）为奇函数，整理原式得 进一步可得 而在（，+）上是减函数， 当时， 当时，当时， 当时, 当a2时，3 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。()求的值；()若,且对任意正整数,有, ,求数列an的通项公式； ()若数列bn满足，将数列bn的项重新组合成新数列，具体法则如下：，求证：。解：()令，得，令，得，由、得，又因为为单调函数，()由（1）得，()由Cn的构成法则可知，Cn应等于bn中的n项之和，其第一项的项数为1+2+(n1)+1=+1，即这一项为2+11=n(n1)+1Cn=n(n1)+1+n(n1)+3+n(n1)+2n1=n2(n1)+=n3 当时，4设是定义域在上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.（l）求证在上是减函数；（ll）如果，的定义域的交集为空集，求实数的取值范围；（lll）证明若，则，存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.解：（1）奇函数的图像上任意两点连线的斜率均为负 对于任意且有，从而与异号，在上是减函数（2） 的定义域为 的定义域为 上述两个定义域的交集为空集， 则有： 或解得：或故c的取值范围为或（3） 恒成立， 由(2)知：当时， 当或时，且 此时的交集为，当 且 ， 此时的交集为故时，存在公共定义域，且当或时，公共定义域为，当时，公共定义域为.5已知函数满足，求的值。解：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。所以将上式中的x用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。6设二次函数满足，且图象在轴上的截距为1，被截得的线段长为，求的解析式。解：解法一：设.由得，化简得 ；又， ；又由已知得 ；由得，解法二：，故的图象有对称轴，可设依题意可设设，有，解法三：的图象有对称轴，又，与轴的交点为故可设，（其余略）。7设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1），令，有，.再令，有， （2）,又是定义域上单调函数， 当时，由，得，当时， 由，得，化简，得，即，数列为等差数列. ，