线性代数_作业册_习题册_答案_青岛理工大学.doc

第1章 行列式第1节 二阶与三阶行列式 第二节全排列及其逆序数第三节n阶行列式的定义第四节对换1.求下列各排列的逆序数：(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13(2n-1)24(2n) (4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2（11;17; ;）2. 已知排列为偶排列，则 (8,3) .3.计算下列各阶行列式：(1) (2) (3) 2000; 0; 4abcdef4. 设，则的展开式中的系数为 -1 .5 求二次多项式，使得 ，解 设，于是由， 得 求如下：，所以 ，故 为所求。第5节 行列式的性质 第六节 行列式按行（列）展开 第七节克拉默法则1.阶行列式，则展开式中项的符号为( D ). （A）- （B）+ （C） （D）2.如果，求 -123. 已知，计算 -14. 计算行列式 -505.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式） (1) ,其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0; (2) ; (3) 利用递推公式来求递推公式为=(4) (5) 6.问l，m取何值时，齐次方程组有非零解？ 7.某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表所示：商品月次ABCD总利润140608010027.424060909027.6350608010028.945060909027.9求每类商品的销售利润率。（去掉） 第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 第二节 矩阵的运算1. 以下结论正确的是（ C ）（A） 若方阵A的行列式，则。（B） 若，则。（C） 若A为对称矩阵，则也是对称矩阵。（D） 对任意的同阶方阵A,B有2. 设A=，B=，C=，计算(1) 2A-3B+2C 3设A=，B=，求AB-BA 4设A=，B=，计算ABT，BTA，ATA，BBT+ABT; ; ; ; 5若，那么 6为三阶矩阵，则 2 7已知，则 .8为2005阶矩阵，且满足，则 0 9 计算解： 设 ， 则 ，假设， 则 ，于是由归纳法知，对于任意正整数n，有 10证明：若A和B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换(略)11证明：若A和B都是n阶对称矩阵，则A+B，A-2B也是对称矩阵（略）12已知A=PLQ 其中P=，L=，Q=QP=E，计算A2n，A2n+1 （n为正整数） ； 第三节 逆矩阵 第四节 分块矩阵13设A、B都是n阶矩阵，问：下列命题是否成立？若成立给出证明；若不成立举反例说明(1) 若A、B皆不可逆，则A+B也不可逆；(2) 若AB不可逆，则A，B都可逆；(3) 若AB不可逆，则A，B都不可逆；(4) 若A可逆，则kA可逆（k是常数） （略）14设P-1AP=L，其中P=，L=，求An （略）15设A为3阶矩阵，且 ，求. 16（1）若方阵A满足 ，试证A+E可逆，并求. （略）（2）设A是n阶矩阵，且，又，试证A+E不可逆 （证明行列式等于零）17解矩阵方程 ，其中，。 18求下列矩阵的逆矩阵：(1) ； (2) ； 19利用逆矩阵解下列方程： (1) 20设Ak=0 (k为正整数),证明：(E-A)-1=E+A+A2+Ak-121设方阵A满足方程A2-2A+4E=0证明A+E和A-3E都是可逆的，并求它们的逆矩阵22设方阵A满足A2-A-2E=0证明：(1) A和E-A都可逆，并求它们的逆矩阵；(2) (A+E)和(A-2E)不同时可逆23设幂零矩阵A满足Ak=0（k为正整数），试证明E-A可逆，并求其逆矩阵24设A是实对称矩阵，且A2=0，证明A=025设A=，其中B是n阶可逆阵，C是m阶可逆阵证明A可逆，并求A-126用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵 ； ； 第3章 矩阵的初等变换与线性方程组第一节 初等矩阵 第二节矩阵的秩1求矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式。3； 2设，问为何值，可使（1）（2）（3） ； 3用初等矩阵判断方阵是否可逆。若可逆，求解：因为，所以，故不可逆，即不存在。4 用初等矩阵解矩阵方程，其中，.解： 5 用初等矩阵求 其中 解：（上阶梯形），有此可看出 25设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，证明：(1) 若|A|=0，则|A*|=0；(2) |A*|=|A|n-1（略）第三节 线性方程组的解一. 判断题；选择；题空题 1. 若都是的解，则是的一个解.( ) 2. 方程组基础解系的个数等于. ( ) 3. 若方程组有非零解，则方程组必有无穷多解.( 错 ) 4. 与为同解方程组. ( ) 5. 方程组有无穷多个解的充分必要条件是有两个不同的解. ( ) 6. 当( D )时，齐次线性方程组一定有非零解. （A）；（B）；（C）；（D）.7. 方程组的系数矩阵记为，若存在三阶方阵，使得，则 ( A ) .（A）且； （B）且；（C）且；（D）且.8. 设方程组有解，则其增广矩阵的行列式= 0 .9. 若有解，则常数应满足条件 和等于零 .10. 已知方程组无解，则 -1 .11. 求方程组 的通解. 通解为12设，问方程组什么时候有唯一解？什么时候无解？什么时候有无穷多解，并在有无穷多解时求解.解：有唯一解；无解；无穷多解，解为。第四章向量组的线性相关性第一节 n维向量1设,求.解：2设其中, , ,求解 由整理得3已知+=(2,1,5,2,0)，-=(3,0,1,-1,4)，求，解： 第二节 向量组的线性相关性1设,证明向量组线性相关.证明 设有使得，则(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2) 若线性无关,则由知此齐次方程存在非零解，则线性相关. 综合得证.2设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明 设则因向量组线性无关,故，因为故方程组只有零解，则所以线性无关3利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:.解： ，所以第1、2、3列构成一个最大无关组第三节 向量组的秩1求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:, , .解： 秩为2,最大线性无关组为.2设向量组a1，a2，at (t2)线性无关，令b1=a2+a3+at,，b2=a1+a3+at，bt=a1+a2+at-1证明：b1，b2，bt线性无关3设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.4设向量组:的秩为,向量组:的秩向量组: 的秩,证明 证明 设的最大线性无关组分别为，含有的向量个数(秩)分别为,则分别与等价，易知均可由线性表示，则秩()秩(),秩()秩()，即设与中的向量共同构成向量组，则均可由线性表示，即可由线性表示，从而可由线性表示，所以秩()秩(),为阶矩阵，所以秩()即.5. 设A是nm矩阵，B是mn矩阵，nm，E是n阶单位阵，若AB=E，证明：B的列向量组线性无关.6设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明若组线性无关令则有，由定理知，由组:线性无关知，故，又知为阶矩阵则。由于向量组:能由向量组:线性表示,则，综上所述知即若令,其中为实数，则有，又,则由于线性无关,所以即 （1）由于则(1)式等价于下列方程组: ，由于所以方程组只有零解.所以线性无关，证毕.第四节 向量空间1 试证:由所生成的向量空间就是.2 证明 设 于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间就是.2验证为的一个基,并把用这个基线性表示.解 由于，即矩阵的秩为3，故线性无关，则为的一个基.设，则，故设，则，故线性表示为，第五节 线性方程组的解的结构1求齐次线性方程组的基础解系.解： 所以原方程组等价于取得；取得因此基础解系为2设,求一个矩阵,使,且.解 由于,所以可设则由 可得,解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵3求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为.解显然原方程组的通解为,() 即消去得 此即所求的齐次线性方程组.4设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量且，求该方程组的通解解 由于矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得 为其基础解系向量，故此方程组的通解：，5设都是阶方阵，且，证明证明 设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量(1) 当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时,，结论成立(2)当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而的列向量组的秩,即,此时,结论成立。综上,6求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.(2) 7设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: 线性无关.证明 反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数使得下式成立: (1)其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的，产生矛盾。由于为特解，为基础解系，故得而由(1)式可得故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得产生矛盾,假设不成立, 故线性无关.8.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足.证明也是它的解.证明 由于是非齐次线性方程组的个解.故有 而即 （）从而也是方程的解第五章 相似矩阵及二次型第一节 预备知识：向量的内积1试用施密特法把下列向量组正交化：(1)；(2)解(1)根据施密特正交化方法:令， ，故正交化后得: (2)根据施密特正交化方法令 ，故正交化后得 2下列矩阵是不是正交阵:(1); (2)解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵3设与都是阶正交阵，证明也是正交阵证明 因为是阶正交阵，故，故也是正交阵第二节 方阵的特征值与特征向量求下列矩阵的特征值和特征向量:(1); (2);并问它们的特征向量是否两两正交?解 (1)，故的特征值为当时,解方程,由 得基础解系所以是对应于的全部特征值向量当时,解方程,由 得基础解系所以是对应于的全部特征向量，故不正交(2)，故的特征值为当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量， ，所以两两正交第三节 相似矩阵 第四节 对称矩阵的相似矩阵1设方阵与相似，求.解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即2设都是阶方阵，且，证明与相似证明 则可逆 则与相似3设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为， , 求.解 根据特征向量的性质知可逆,得:可得，得4试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:(1);(2)解(1)故得特征值为当时，由 解得 单位特征向量可取:当时,由解得 单位特征向量可取: 当时,由解得单位特征向量可取: 得正交阵，(2)，故得特征值为当时，由解得此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量单位化得当时,由 解得 单位化:得正交阵 5(1)设，求；(2)设,求解(1)是实对称矩阵，故可找到正交相似变换矩阵，使得，从而因此 (2)同(1)求得正交相似变换矩阵使得第五节 二次型及其标准形1用矩阵记号表示下列二次型:(1);(2)(3)解(1)(2)(3)2求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1) ;(2) 解(1)二次型的矩阵为，故的特征值为当时, 解方程，由，得基础解系. 取当时，解方程，由，得基础解系取当时，解方程，由，得基础解系取，于是正交变换为，且有(2)二次型矩阵为，故的特征值为当时，可得单位特