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教你运用“三线合一”性质江西 黄永源“三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：如图，ABC中，ABAC，D是BC上的一点.（1）若AD是等腰ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角BAC的平分线，AD是底边BC上的高线；（2）若AD是等腰ABC顶角BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC上的高线；（3）若AD是等腰ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角BAC的平分线，AD是底边BC上的中线.显然，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们，由此及彼.例1如图，在ABC中，ABAC，BDCD，DEAB于E，DFAC于F，求证：DEDF.分析：依题意，DE和DF分别为点D到BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在BAC的平分线上，这只要证明AD是BAC的平分线.证明：连接AD.ABAC，BDCD，AD是等腰ABC底边BC上的中线.AD平分BAC.DEAB于E，DFAC于F，DEDF.说明：本题的解答过程中，运用了等腰ABC底边BC上的中线AD是顶角BAC的平分线的性质.例2如图，ABC中，ABAC，BDAC于点D，求证：CBDBAC分析：为了得到BAC，可考虑作BAC的平分线这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系证明：作BAC的平分线AE交BC于点E，那么BACABAC，AE平分BAC，AE是等腰ABC顶角BAC的平分线AEBC于点EAEC90，C90，BDAC于点D，BDC90，CBDC90CBDBAC说明：本题的解答过程中，运用了等腰ABC顶角BAC的平分线是底边BC上的高线的性质.例3如图，在ABC中，ABAC，D在BA的延长线上，E在AC上，且ADAE，求证：DEBC.分析：注意到ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与BC垂直.要证明DEBC，应先证明DE与这条高平行.证明：过A作AFBC于F.ABAC，AFBC于F，AF是等腰三角形ABC底边BC上的高线.AF平分BAC.BAC2BAF.ADAE，DAED.BACDAED2D.BAFD，DEAF
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