几何、三角函数精讲与习题讲解.doc

几何、三角函数精讲与习题讲解1.面积公式(p是周长的一半)2.面积定理 等底等高的三角形的面积相等. 等高(比)的两个三角形的面积之经等于底(高)之比.3.等积变换 一个图形经过变形,但面积保持不变,这种变形称为等积变换.平面几何的几个重要定理平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质; 四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点-重心,三角形内到三边距离之积最大的点-重心;简单的等周问题: 在周长一定的边形的集合中，正边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的边形的集合中，正边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 梅涅劳斯定理及其逆定理若一条直线截ABC的三条边（或他们的延长线），所得交点分别为，则有.结论反过来也成立.托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：若四边形ABCD内接于圆,则有广义的托勒密定理在四边形ABCD中,有:,并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时,等号成立.塞瓦定理：设分别是边上的点,则三线共点的充要条件是:. MQRACPB西姆松定理及其逆定理:若从外接圆上一点作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为，则三点共线.反过来也成立. 这条直线叫西姆松线.三角形五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五重心:三角形三条中线的交点.ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G的连线(中线)必平分对边.中线长的计算.(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍. (3).外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点).ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC.(2)A=.如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了.内心: 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.(2)A的平分线和ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为BCI的外心).(3)BIC=90+A，CIA=90 +B，AIB=90+C.垂心: 三角形三条高线所在的直线的交点.ABC的垂心一般用字母H 表示，它具有如下的性质：(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC，BHAC，CHAB。(2)若H在ABC内，且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F，则A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六组四点共圆.(3)ABH的垂心为C,BHC的垂心为A,ACH的垂心为B.(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍.例1.如图,在四边形中,的面积比是3:4:1, 点分别在上,满足,并且共线,求证:与分别是和的中点.(1983年全国高中联赛题)提示：设 利用面积得图中的一些线段比.对DEC运用梅涅劳斯定理可得关于的方程,解方程即可.例2(1999年全国联赛第二试试题)如图,在四边形中,对角线平分,在上取一点,与AC相交于点F,延长交于,求证:.例3. AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQAB.分析：延长EP到K，使PK=PE，连KF、AE、EF、BF，直线PQ交AB于H.因EQF=AQB=(1)+(+2)=ABF+BAE=QFP+QEP， 又由PK=PE=PF知K=PFK，EQF+K=QFK+QEK=，从而E、Q、F、K四点共圆.由PK=PF=PE知，P为EFK的外心，显然PQ=PE=PF.于是1+AQH=1+PQF=1+PFQ=1+AFP=1+ABF=90.由此知QHAH，即PQAB.例5.如图所示，在ABC中，AB=AC，有一个圆内切于ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是ABC的内心.分析：设小圆圆心为，与ABC的外接圆切于D，连A，显然APQ，且ABC为等腰三角形， 所以A过ABC的外接圆，D在A的延长线上，从而O为ABC的顶角BAC的平分线的点，下面只需证OB平分ABC.为此，连接OB、PD、QD，由对称性易知，OD平分PDQ,而APQ=PDQ,PQBC，故APQ=ABC，PDQ=ABC，由P、B、D、O四点共圆得PBO=PDO=PDQ.所以PBO=ABC.于是O为ABC的内心.说明：本题还可证明O到ABC的三边距离相等.思考练习7.如图所示，已知ABC的高AD、BE交于H，ABC、ABH的外接圆分别为O和O1，求证：O与O1的半径相等.分析:过A作O和O1的直径AP、AQ，连接PB、QB，则ABP=ABQ=90.故P、B、Q三点共线.因H是ABC的垂心，故D、C、E、H四点共圆，AHE=C.而AHE=Q，C=P，故P=Q，AP=AQ.因此O与O1的半径相等。说明：由本题结论，可得垂心的另一个性质：若H是ABC的垂心，则ABH=BCH=CAH=ABC.三角函数的三角变换一、 巧用关系式例1 已知sincos=，求。解析：将切化弦，实现化简的目的，然后再求值。原式=例2 已知sin+cos=，求tan的值。法1：，sincos=0，又，sin0，cos0，sincos0，sincos=，sin=，cos=，tan=。法2：由法1可得sin0，cos0，sincos=，sin与cos为方程的两个根，sin=，cos=，tan=。点评：方程的思想在三角函数的求值中经常用到，例如，已知sin=2cos，求sin与cos的值，其思路为列方程组：即可。例3 求证：。证明：由1+2 sincos立即想到，进而可以约分达到化简的目的。左边=右边。点评：由于，从方程的的观点来看，sin+cos ，sin cos ，sincos这三个量被两个方程联系在一起，因而知其中三者之一必可求其余两个式子，如设sin+cos=t，则sincos=（t1），这样的变换思想在三角函数中应用比较广泛。当题目中涉及多个名称的函数时，注重“弦、切” 互化思想。例4 已知函数y=2 sincos+sincos（），求y的最大值和最小值。解析：设t= sincos，则2 sincos=1t，于是y=t+t+1=，又t= sincos=，且，当时，当t=1