投篮问题建模.doc

数学建模竞赛论文摘要在激烈的篮球比赛运动中，投篮得分是整个比赛中的主要得分方式，因此篮球运动员的投篮命中率的高地一定程度上直接影响了一场比赛的胜负。本文就是通过对已知数据的计算与整合，并通过建立三种投篮方式的数学模型来分析三种投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素，从而为投篮训练和篮球竞赛策略提供科学的建议。我们对不同的投篮方式根据其在比赛中的实际效果采用了不同的数学模型使得计算结构更加科学可靠。首先，在第一模型即罚篮的数学模型中，我们通过建立运动学方程的方法找到影响罚篮的两个关键因素即出投角度，和出球速度。在这里我们通过对出球角度的研究确定了不同高度时投篮所需的最小速度都小于8m/s,这样合理的假设了运动员的出球速度是在89m/sz之间。并通过罚篮中篮球命中蓝框中心所允许的偏差计算出出投角度所允许的最大偏差明显大于出球速度的最大偏差，也就是说改变出头角度是篮球命中的可能性更大一些，故训练中我们应该着重注意出球的角度。其次，在第二个二分球投球的模型中，由于出投位置的不确定，增加了距离参数L和出投高度h，因此，我们用入篮篮球的运行区域的面积大小来刻画命中率。我们从改变距离和高度对入球角度区间改变量大小上来分析得到，改变出头距离时入球的角度区间明显大于改变出投高度时入球的角度区间。因此可以看出在投二分球时应该尽量使得出球位置靠近篮框。接着，在第三模型中，由于出投位置较远，并且球在空中运行时间较长，运行速度偏快，导致空气阻力的影响很大，因此不能够忽略空气阻力，我们在前面模型的基础上加入水平空气阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也适当懂得增加。最后建立起模型通过给定数据来研究出球高度，和出球角度对命中率的影响问题。 最后，运用我们所建立的模型分析得出2012年出台的篮球新规则的三条改变不仅增加了篮球的观赏性同时也很好的体现了球员个人的表现力关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差一问题的重述：图1.投篮示意图 图2.篮球场地示意图规则改变前的篮球场地示意图规则改变后的篮球场地示意图高。二问题分析（1） 在研究罚篮时，由于罚篮采用定点投篮方式故出球高度基本有球员身高决定，要研究投篮命中是出球角度和出手速度哪个起主要作用只需，分别给定一个出手速度v和出手角度根据不同的出球高度计算出篮球的角度和速度的最大偏差，取偏差较大的即是增加命中率的主要因素。（2） 研究二分球投篮问题时，可根据入球区域的最大面积来描述命中率，通过解积分曲线的方法求出入球区域A，根据入球偏差求出所需的角度的范围。（3） 研究三分球投篮时，由于球速大，考虑加入空气阻力的影响建立模型。 三模型假设（1） 模型I，II中忽略空气阻力。（2） 模型中不考虑打板入球的情况。（3） 模型II中不考虑防守队员防守影响命中率的情况。（4） 投求的运动曲线和篮框中心在同一平面内。（5） 出手后不考虑球的自身旋转。四符号说明L：篮球出手点到篮框的水平距离，其中在模型I中L=4.6m. 模型III中L=6.75m。H: 篮框的高度，H=3.05m.D: 篮框的直径，D=45cm.d: 篮球的直径，d=24.6cm.h: 运动员的出手高。一般在1.82.7m之间v：运动员的出球速度，一般在89m/sg: 重力加速度，g=9.8m/s2：篮球的出手角度：篮球的入射角度五模型的建立与求解 对三种投篮方式进行,建模，1.考虑罚篮这种头球方式，运用物理中抛射运动的知识。建立模型： 水平方向上： 竖直方向上： 消去t，得到. （1） 在罚篮中如果只考虑球心正中蓝框中心这种情况：则公式中y=H-h，x=L.带入整理得： （2） 这个公式表示了投篮命中所需要的条件。不难看出投篮命中率主要由h,v,这三点决定。对于罚篮，采用定点投篮方式，故对于每个篮球运动员h是确定的，所以命中率主要取决于出手速度v，和出手角度.，公式（2）中不难看出给定h，每一个v对应两个，并且若要（2）式有意义，则必须满足 （3）解得： 这样可此得出给定一个出手高度h，必然对应一个最小速度v。并且它是h的减函数。带入参数可算出实际罚篮时所需的最小速度。 另外球入篮框的入射角度也可由公式（1）求出： （4）与（1）式联立得： （5） 以上讨论的均是球心正中蓝心得情况，在实际投篮中由于篮球直径小于篮框直径，故存在一定偏差使得即使球心没有命中蓝心球也能命中，以蓝心为原点，设可允许的偏差最多为，则可以计算出： （6） 此时出手高度没变，但是由于入球位置由L变为L+，x成为变量带入（1）式得。 若v是一个确定值，那么可以用x对求导。 将d x和d用，来替换，整理得： （7） 同理若确定，上式对v求导并做合理替换可以得到： （8） 这样我们可以通过计算角度和速度他们的最大偏差与相对偏差来确定出手角度与出手速度哪一个偏差更大，也就是说通过训练更容易提高命中率。 2.第二种投篮方式，在投篮距离L为1.25m和6.75m之间的投篮（1.25m内为合理冲撞区，我们认定为在这里投篮命中率为100%）。 即得二分的投篮方式。此时投篮方法多样，可采用跳投，定点投篮，抛投等。但出手后篮球运动轨迹仍符合力学规律，我们仍可用罚篮中所用的轨迹方程即，公式（1），但此时，出手距离L，与出手高度h,均为变量。因此投篮命中率我们该用篮球在运动中可允许最大偏差的两条弧线与篮框所围面积的大小来表示。不放射为A（q）。两条最大偏差弧线分别为O ，O则不难验证，O过点（L-，H-h），O过点（L+，H-h）。则由公式（1）我们可分别写出O，O的弧线方程： （9） （10） 直线，的方程分别为： （11） （12） 所以， （13） 由公式（13）可知越大tan就越大则，就越大由公式（2）知道，由v唯一确定，而v不能无限增大，故tan只能在一定范围内变化。设曲线过点（L，H-h）带入公式（2）得到： （14） 其中v满足 并且： 可见tan是的减函数，当最小时tan最大。由公式（3）的解可知tan的最大值为： （15） 实际中L的范围是（L+，L-），为方便计算这里看成是R=，即假设那么我们就得到入射角的的范围是：（16） 由此公式我们就可以根据不同的位置与出手高度计算出使篮球命中的入射角范围。从而经过比较，得出哪一个因素才是主要因素。3.最后建立第三个模型： 三分球的投射中，要考虑空气阻力的影响，在这里我们只考虑水平方向上的空气阻力影响，因为投篮时对求运动的阻力主要体现在水平方向上。通常阻力与速度成正比，设比例系数为k。则篮球在水平方向上的运动可由微分方程表示：X(0)=0用数学分析的方法可以求解得：通过泰勒展开式并略去e二次方以上的项（这是由于投篮运动中k，与t较小）这样得到了更为简单的运动方程。 与模型I的运动方程相结合，投三分球时求的运动方程为：若球心正中蓝心则方程过点（L,H-h）其中L固定为6.75m。方程变为： 消去t,得： 这就是投三分球时篮球的运动轨迹不难看出，他与出高度和出手速度，和出手角度有关系。4.计算结果与MATLAB附录： 取出手高度在1.82.1之间运用MATLAB程序结果如下：end 计算结果： h m m/s1 .8 7.6789 1.9 7.5985 2.0 7.5186 2.1 7.4392可以看出最小速度v随着高度的增加而减小，切最大没有超过8m/s,我们在前面去v=89m/s是合理的。我们取v=8m/s是出手高度在1.8m2.0m得到出手角度。在MATLAB中的附录及结果为：H=3.05；g=9.8;L=4.6;v=8;for h=1.8:0.1:2.0= 180/pi*actan(v2/g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v2*(H-h+g*L2/2v2)end计算结果填入下表： v m/s h m 8 1.8 62.4099 8 1.9 63.1174 8 2.0 63.7281最后，我们用v=8m/s时高度分别为1.8m和2.0m时所对应的的角度，利用公式（7）（8）算出最大偏差，MATLAB中的附录为：L=4.6；V=8;g=9.8;D=0.45/2;D=0.246/2;=62.4099;=(g*L-v2*sin(*pi/180)*cos(*pi/180)*(D-d)/(L*(v2-g*l*tan()a*pi/180)=(g*L-v2*sin(*pi/180)*cos(*pi/180)*v*(D-d)/(g*L)同理算=63.7281.计算结果填入下表： h/m v/m/s 1.8 62.4099 8 -0.7562 0.0528 2.0 63.7281 8 -0.71 0.0601从结果中看到，出手角度的最大偏差明显大于出手速度的偏差，也就是说罚篮时对出手速度的要求更为严格，而出手角度相对允许有较大误差。所以才篮球训练时，球员应着重注意在保证出手速度大于8m/s的同时，准确把握出手角度。二分球投篮时的取出手高度在1.82.7m（有跳投的情况），出手位置距蓝框中心水平距离在1.756.75m。根据公式（16）在MATLAB中的附录及计算结果为：H=3.05;R=0.225;for h=1.8:0.1:2.1 for L=1.75:1:4.75a=atan(H-h)./(L+R)+sqrt(H-h)./(L+R)2+1)*180/pib=atan(H-h)./(L-R)+sqrt(H-h)./(L-R)2+1)*180/piendend计算结果填入下表： 1.752.753.754.751.861.165164.670356.395358.168853.728354.762552.052052.72121.960.105763.509955.567157.243353.067854.034251.507852.12972.058.998662.274254.720056.289852.398453.293750.958851.53202.157.844160.960453.854955.309151.720652.541550.405450.9284从表格中我们可以看到在高度确定的时候，随着距离L的增加入球角度的范围逐渐缩小。而保证出球距离不变，高度的改变几乎不影响入球所需角度的区间大小。因此我们可以得出在影响二分球投篮的距离，和高度两个因素中，我们应该着重的注意出球距离，即在比赛中应该尽量保证在离篮框较近的地方出手投篮，这与实际情况也是相符合的。问题（3）中考虑到实际中篮球运动员的身高与臂展都差不多，因此在这里臂长我们取k=1.7m2.0m，由过小将导致入球角太小球无法进入篮框，太大将使出手速率过大，无法达到，因此这里我们的出球角度选=3060.在MATLAB中的附录及结果为：六结果分析：通过对三个模型的建立与求解，在罚篮问题中我们得到结果为出手角度和出手速度是影响命中率的主要因素，并且出手角度相对于出手速度所需的偏差较大，即允许的误差较大，更能够帮助选手提高命中率，在实际篮球运动中也是选手大多比较注意自己的投篮出手角度。二分球投篮的模型中，我们得到结论投篮位置即篮球出手时与篮板的水平距离主要影响篮球的命中率，此外出手速度和角度也都会影响命中率但位置更重要，确切的说就是离篮板越近的位置出手命中率的提高会越明显，这显然与我们的认识相符合。对于第三个模型我们通过在罚篮模型的基础上加上空气阻力的影响来从新建立了篮球运行轨迹方程。得到结论是命中率受出头高度，与角度影响较大，应主要注意这两个方面的练习。总之，通过这次的数学建模对投篮问题的讨论我们可以看出，在篮球选手基本技能和心理素质良好的前提下，我们可以根据我们在比赛中所处的实际情况合理的选择三个模型中的任何一个来选择合理的角度一出手高度，这样更科学的增加我们比赛投篮的命中率七由已建模型分析新规则改动后对篮球比赛的影响： 2012年中国篮球协会修订了篮球规则的新改变，主要是以下三方面的改变：1.限制区（3秒区）改成4.9米乘以5.8米的矩形，并在限制区内以篮圈在地面的投影点为圆心以1.25米为半径画一个半圆（见附图），设为进攻合理冲撞区，进入该区域内（冲撞区的线属于该区域）发生的身体接触如果造成犯规，则判为防守的犯规。这一点的改变主要是增加了合理冲撞区是的进攻方在篮下小范围内的入球变得更加简单。是的外围球员更多的可以选择将球传入给内场的球员或选择自己带球突破增加得分的效率。此外根据所建立的模型可以知道，当篮球出手位置越离近篮板则命中率更高。另外严格设置三秒区。就是为了在比赛中增加更多的扣篮，分流篮下拥挤的人群，让比赛显得更好看和刺激。2.三分线区域扩大，由原来的6.25米半径扩大为6.75米。这点的改变由模型三我们可以得到三分线区域的扩大使得投三分求的命中率减低，这样讲有效的减少外围球员三分球的命中率，使得球员跟多的选择带球突破或依靠更多传接配合实现内场入球同时也可以增加更多的扣篮这一篮球比赛中最刺激的入球方式的机会。同时扩大三分线对于一些命中率高的运动员更多的展现自己投三分球水平的机会。使其更容易于与其他运动员的水平拉开距离。加强篮球比赛的明星效应，给比赛带来更多乐趣。八模型推广与评价：本文所用的模型是建立在三种得分方式的基础上，通过对具体投篮问题中具体情况的详细分析，给出了满足不同情况下有效提高投篮命中率对出手角度和出手速度的要求。本模型用数学语言即数字、图表以及公式符号等来表达出一实际问题，更科学具体地分析了投球过程中影响命中率的两个条件对命中率的具体影响所在。此外，模型通过具体的公式计算得出适合投篮的最佳出手角度和速度范围，使这三者之间的相互关系有了数据的支持和保障。同时，本模型最终结论和结果给了篮球运动员们合理训练的科学依据，也方便研究人员在此基础上 展开对投篮运动的深入研究。此