高等代数专题研究辅导2.doc

高等代数专题研究例1 求剩余类环的多项式方程的根。解 设多项式方程为因为， ， ，所以剩余类环的多项式方程的根为多项式方程的根。例2 如果整环R是因式分解惟一环，则R中不可约元素也是素元素证明 设a是R中不可约元素。证明 若abc，则因为a是不可约元素， 所以， 若，则(a,bc)1，这与abc矛盾 所以，或(a,b)a，或(a,c)a，所以，ab或ac，故a为素元素例3 证明剩余类环是交换环证明：剩余类环是有限环，任取中的元素，有则剩余类环是交换环。例4 求f(x)=x3x2x+1的重因式.解 显然只要求出f(x)与f(x)的公因式即可.f (x)=3x22x1这时 可令 r(x)=x1f (x)=(x1) (3x+1)所以x1是f (x)与f (x)的最大公因式，x1是f (x)的2重因式； 1是f(x)的2重根例5 有4套相同的课本，每套有6本不同的书籍，从每一套中取一本书，共有多少种取法？分析 这是可重复组合的例子，即从n个元素中取出r个元素的组合数为解 实际就是6本书里取4本书，且允许重复取，所以，共有 种例6 试求多项式(x1+x2+x3+x4+x5)10展开合并同类项后的项数以及的系数解 展开后每一项都是10次的项，它的不同项实际上是从5个元素取10个元素（允许重复取）的方法数，所求项数为项 的系数为例7 试求多项式(x1+x2+x3+x4+x5)10展开合并同类项后的项数以及的系数解 展开后每一项都是10次的项，它的不同项实际上是从5个元素取10个元素（允许重复取）的方法数，所求项数为项 的系数为例8 求1到1000的整数中不能被14且不能被21整除的数的个数 解 设S=1,2,3,1000，A,B分别表示S中能被14和21整除的整数集合则，所求为例 9 某人从楼下到楼上要走11阶楼梯，每步可走一阶或二阶，问有多少种不同走法解 第一步有两种情况： 则f(n)=f(n1)+f(n2) f(11)=f(10)+f(9) 最后，得f(11)=144 例10 设x，y，z为非负实数，且满足9x2+12y2+5z2=9求f(x,y,z)=3x+6y+5z的极大值分析 利用柯西不等式可以求出某式的极大（极小）值或最大（最小）值 （1） 若所给的式子含有带平方项的和式，则多考虑用柯西不等式（2） 求某式的极大（极小）值或最大（最小）值用放缩法。当求极大值或最大值时，用不等式放到最大，则等号成立时，求得结果。当求极小值或最小值时，用不等式缩到最小，则等号成立时，求得结果。解 利用柯西不等式3x+6y+5z3x1+ 所求极大值是81例11 设x，y，z为非负实数，且满足3x+2y+z=9,求f(x,y,z)=xyz的极大值分析 利用均值不等式也可以求出某式的极大（极小）值或最大（最小）值 （1）若所给的式子含有一次乘积项，则多考虑用均值不等式（2）求某式的极大（极小）值或最大（最小）值用放缩法。当求极大值或最大值时，用不等式放到最大，则等号成立时，求得结果。当求极小值或最小值时，用不等式缩到最小，则等号成立时，求得结果。解：利用均值不等式，当时，即例12 若,求的最小值。解 设，已知是下凸函数，对任意的且，有高等代数专题研究期末辅导第1章 考核要求1.熟练掌握集合的概念，着重掌握幂集、积集合和万有集合等概念。 2.理解映射的定义、性质。掌握求映射的合成和逆映射的方法。了解置换等概念。 3.了解代数体系与代数运算的概念及性质。知道代数系统同态和同构的概念。 4.了解自然数的定义，掌握自然数的运算。 5.掌握各种归纳法及其简单应用。着重掌握第一（第二）数学归纳法 第2章 考核要求 1.熟练掌握常用的不等式的解法和不等式的证明方法。 2.掌握柯西不等式和均值不等式及其应用。 3.理解凸函数定义和性质，掌握它们的某些应用。 第3章 考核要求 1.了解环的定义，理解整环的概念，知道环的分类。 2. 掌握可逆元素的定义，掌握素元素、不可约元素和相伴元素的概念及相关结论。 3. 了解公因式的概念，熟练掌握整系数多项式因式分解的方法。 4. 了解多项式的代数定义和分析定义的异同。掌握代数元和超越元的求法。 5. 知道代数基本定理及相关结论。 6. 会一元三次和四次多项式根的求法，以及多项式零点的估计方法。 7.了解重因式和单因式定义，掌握其判别法。 第4章 考核要求 1. 理解加法原理和乘法原理。熟练掌握初等排列和组合。 2. 掌握可重复排列与组合。了解排列组合模型，熟练掌握排列组合公式。 3. 理解筛法原理，掌握其初等证明方法及其简单应用。 4.了解递推公式原理、扰乱排列等的概念。 5.知道抽屉原理，会简单应用 例 已知，解不等式解：方法1： 设所给不等式的定义域为，即欲使，则必有把实数分为区间因为已知，所以只需在讨论。显然在内，；在内，；在内，又因为，所以不等式的解为方法2：设根据所给不等式知，因为，所以，.所以.求等价于 或分别求解得 ，或，则不等式的解为例2 设x，y，z为非负实数，且满足x+2y+5z=6求f(x,y,z)=xyz的极大值解：利用均值不等式x+2y+5z 当x=2y=5z时，得x=2,y=1,z=时，xyz的极大值是1 定义：（1）如果函数f(x)满足条件：对任意x1与x2，有其中且，则称f(x)是上凸函数（2）如果函数f(x)满足条件：对任意x1与x2，有其中且，则称f(x