高等数学(交大)教案第一章.doc

第一章 微积分的理论基础内容及基本要求：1、理解函数的概念2、理解复合函数的概念，了解反函数的概念3、掌握基本初等函数的性质及其图形4、会建立简单实际问题中的函数关系式5、理解极限的概念（对极限的N、定义可在学习过程中逐步加深理解）6、掌握极限的四则运算法则7、会用两个重要极限求极限8、解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等阶无穷小求极限9、理解函数在一点连续的概念10、了解间断点的概念，并会判断点的类型11、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）学习重点：函数概念；复合函数概念；极限概念；极限四则运算法则；两个重要极限；函数连续概念。学习难点：极限概念。第一节 函数一. 函数的概念及其表示法1.函数的定义 设与是变量,是给定的一个数集.按照一定的法则总有确定的数值与之对应,则称是的函数,记作.其中为函数的定义域, 是自变量, 是因变量.处的函数值记为,即.称为函数的值域.单值函数与多值函数: 如果自变量在定义域内任取一个值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数称为单值函数,否则称为多值函数.本书一般指单值函数.2.定义域的求法(1)实际问题由实际意义确定:如自由落体运动,则其定义域为.(2)数学式子由算式有意义的自变量的一切实数值所确定:如,其定义域为.3.函数的图形建立直角坐标系后,点的集合:称为函数的图形.4.特殊函数(1)绝对值函数:.(2)符号函数:(3)取整函数:表示不超过的最大整数.如.(4)分段函数:在自变量的不同范围中,用不同式子表示的同一个函数称为分段函数.如绝对值函数,取整函数,符号函数都是分段函数.两个不同式子的分界点称为分段函数的分段点.二. 线性函数的基本属性1.改变量 对于函数，当自变量在其定义域内从一点变为异于的点时，相应地，函数值从变为，我们称为自变量在处的改变量，简称为自变量的改变量，记作，称为函数在处相应的改变量，简称为函数的改变量，记作.2.均匀变化与非均匀变化 对线性函数，无论自变量从哪里开始变化，只要它的改变量一样大，则函数的改变量也一样大。换句话说，线性函数随自变量的变化是均匀的，即.三. 复合函数与反函数1.复合函数 设函数的定义域为,函数在上有定义,而 ,且,那末,对通过函数有确定的与之对应,对于这个通过有确定的与之对应,从而得由复合而成的复合函数,记作,而为中间变量.注意 (1)不是任二个或二个以上的函数都复合成一个复合函数.如,就不能复合成一个复合函数.(2)任一复合函数都可以分解成一些简单函数的复合.此点在求复合函数的导数时很重要.如函数可分解成:2.反函数 设函数定义域为,值域为.对,总与对应,这样就确定了一个以为自变量的函数,称为的反函数,记作,也记作 .相对于反函数,原来函数称为直接函数.注意(1)单值函数的反函数不一定是单值函数;但当直接函数不仅单值且单调时,其反函数必为单值函数.(2) 和的图形关于直线对称.四. 初等函数与双曲函数1.基本初等函数.幂函数:,(是常数).指数函数: ,特别地:.对数函数:,特别地:.注意:指数函数与对数函数互为反函数.三角函数:.反三角函数:.2.初等函数由常数与基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的并且用一个式子表示的函数,称为初等函数.如都是初等函数.3.双曲函数与反双曲函数.双曲函数双曲正弦:,奇函数,图形过原点且关于原点对称.在内,当时,当时, .双曲余弦:,偶函数,图形关于轴对称.在内,在内.时,当时, .双曲正切:.奇函数,图形过原点且关于原点对称.在内,且,当时,; 当时, .即为的两条水平渐进线.性质:.反双曲函数反双曲正弦:,(单值).反双曲余弦:,(主值.反双曲正切:.函数举例:例1 设,求.解 ;.例2 设,求.解 ,即.例3 设,且,求及其定义域.解 ,所以.又,所以由(1)得;由(2)得,即的定义域为.例4 设的图形关于直线与对称,则为周期函数.证明 (关于对称) (关于对称),即为周期函数.五.函数的参数表示与极坐标表示1.函数的参数表示 把与的函数关系通过变量间接地表示为上式称为与函数关系的参数表示式，也称为此曲线的参数方程，称为参变量，也称为参数。2.函数的极坐标表示 在平面上选取一条具有起始点（称为极点）和长度单位的半直线，称为极轴，这样在此平面上就建立了极坐标系。对平面上任一点，将线段的长度记为，成为极径，极轴到射线的转角记作，称为极角。如果限制，那么平面上除极点外任一点便有唯一的有序数组与其对应；反之，任给一数组，以为极角，为极角，必有唯一的点与之对应。因此，我们把称为点的极坐标。点的直角坐标与极坐标之间有如下关系第二节 数列的极限一. 数列1.数列无限多个数有次序地排成一列称为数列,记为.数列中的每一个数称为数列的项,第项称为数列的一般项.数列也可看作自然数的函数:.在几何上,数列也可看作数轴上的一系列点.2.子数列设数列.在中第一次抽取,第二次抽取第次抽取得新数列,称为数列的子(数)列.二. 数列的极限:1.引例:刘徽的割圆术.2.数列极限的定义设数列.观察当无限增大时,数列的项的变化趋势.具体写出来是:当无限增大(即要多大就有多大)时,一般项无限接近(要多近就有多近)于常数,此时称数列的极限为零,或数列收敛于零.由此有定义(描述性定义)当无限增大时, 数列与常数无限接近,称数为数列的极限,或称数列收敛于.记作,或.下面我们对数列来具体分析:要使与的距离小于,即.则,取,当时,即从第11项开始,所有项与的距离小于.取,要使,则.取,则当时, ,即从第101项开始,所有项与的距离小于.,要使.取则当时, .即从项开始, 所有项与的距离小于.用精确的数学语言,有定义 给定数列和常数:,当时,有成立,则称常数为数列的极限,或称数列收敛于常数,记为,或.如果数列没有极限,则称数列是发散的.注意 (1)反映了数列中项与常数的接近程度.由于可以任意小,此时反映了与常数无限接近(要多近就有多近),不是越来越近.(2)反映了数列中与常数接近的项的范围,即从项开始,所有项与的距离小于.因此是的函数.一般地, 越小,则越大.(3) 主要是对于给定的,能够找到一个,使得与的距离小于,而前项是否与的距离小于没有任何影响.(4) 是否存在才是关键,不必找最小的.(5) 的几何意义:由定义: ,当时,有,即全部落在的邻域内.例1 证明.分析:由注(3)的思路:从不等式解出,从而确定.证明 ,要使则.取,则当时,有所以.有时,由解出是非常麻烦.由注(4)可知,此时可将不等式适当放大(不能太大),即由解出,从而确定.则当时,有故注:这里的适当放大意思是放大后还可小于.例2 证明.证明 ,要使此时直接解出很难.将适当放大,所以,取即可.或如下放大:则.取即可.三. 收敛数列的性质定理1(极限唯一性定理) 如果数列,则其极限必唯一.证明 设.取.由则,当时,有.由,则,当时,有.取,则当时,有解得 矛盾.定理2（有界性） 收敛数列必有界.但有界数列不一定收敛.证明 设则给定,当时,有.则,取.则对任意的,有即数列必有界.反之,数列是有界的(因为),但不存在(为什么?见下面的解释).定理3（保号性），则，使得，恒有其中为某一正常数。例3解三. 数列极限的有理运算法则定理4：推论1 常数因子可以提到极限记号外面.推论2 四. 数列极限的判定法则1.夹逼准则准则 如果数列及满足下列条件:那末数列的极限存在, 且.证： 上两式同时成立, 例4：解： 由夹逼定理得2.单调有界准则 则称此数列单调增加；或者称此数列单调减少准则 单调有界数列必有极限.几何解释:例5：证： (舍去)五.子数列及其与数列的关系定理5(数列与子数列关于收敛的关系) 如果则其任一子数列必收敛,且注(1)逆否命题:如果数列的某一子数列发散或某两个(或两个以上)子数列收敛,但极限不同,则数列必发散.例6 证明数列是发散的.证明 取两个子列:奇子列:,显然.又偶子列: ,显然.因为,所以不存在.(2)如果数列的奇子列与偶子列均收敛于同一极限,则数列必收敛.第三节 函数的极限主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即(1);(2).一.自变量趋于变大时函数极限的概念 .即自变量无限接近时,无限接近于.包括和.定义 (1)设当时有定义.,当时,有成立,则称为当的极限,记为或.(2)设当时有定义. ,当时,有成立, 则称为当时的极限,记为或.(3) 设当时有定义. ,当时,有成立, 则称为当时的极限,记为或.注:(1) 的几何意义:(2) .(3) ,则为曲线的水平渐进线.例1 证明.证明 ,要使则.取,则当时,有即.例2 求.解 ,所以不存在.同理,所以不存在.记住:均不存在.二. 自变量趋于有限值时函数的极限,即自变量无限接近时,无限接近于.定义定义 设在内有定义.,当时,有成立,则称为当时的极限,记作 或 .注(1)由极限的定义知,当时是否有极限与在处是否有定义无关.(2)反映了与的接近程度.由于可以任意小,故与可无限接近.(3)反映了自变量与的接近程度.(4)给定,问题是是否存在.如果存在,则当时以为极限;否则, 的极限不存在.因此,只要确定一个,而不必找出最大的.一般地,如果越小,则也越小.(5) 的求法是由不等式接出(不是解,取即可.同数列极限,如果解较困难,可将适当放大,即再解出.(6)几何意义:当,即时, 有.(7)显然有.例3 证明.证明 在处无意义,但极限存在.,要使取,当时,有即.例4 证明.证明 ,要使 (解出几乎不可能)将适当放大,怎么放呢?因为时,不妨设,即,.从而解得.取,则当时,有,即.左、右极限: ,.(1)左极限: (或)当时,有成立.(2)右极限: (或)当时,有成立.(3)左、右极限与函数极限的关系:.注:如果在处的左、右极限至少有一个不存在或都存在但不相等,则不存在.该结论经常用来讨论分段函数在分段点的极限是否存在.例5 求符号函数当时的极限.解 为的分段点.因为,所以不存在.三. 函数极限的性质与运算法则1.性质. 唯一性定理 若存在,则极限唯一. 局部有界性定理 若在某个过程下,有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后有界. 局部保号性定理 如果,且(或),则存在,当时,有 (或)证明 设,取,则,当时,有.注:如果取,则,当时,有.保序性推论：.夹逼准则如果当(或)时,有那末存在, 且等于.2.运算法则定理1 设,则.注意:(1)运用该公式时与的极限必须同时存在,否则出现错误.如,但是错误的,虽然结论是正确的.(2)该结论可推广到有限个函数的情形.即.定理2 设,则.注意:(1)也必须注意定理的条件.如是错误的,虽然结论是正确的.是错误的.结论为.(2)该结论也可推广到有限个函数的情形.即.(3)特殊情形:,.定理3 设,则.注意:定理的条件,否则出现错误.如是错误的.事实上.是错误的.事实上,当时,是无界函数,而不是无穷大.由于数列极限是函数极限的特殊情形,故以上的运算法则对数列极限也是成立的.推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2四.例题现在运用极限的运算法则可求一些简单函数的极限.1.有理函数的极限(1)有理整函数的极限设,(),则.(2)有理分函数的极限.则由于,由商的极限知() 当时, .() 当时, .() 当时,先分解因式,约去极限为零的公因子,再根据()、()两种情形求极限.例6 例7 , (因为)(3) .(a)当时.(b)当时.(c)当时,由(2)有.综上有例8 .2.杂例例9 .例10 例11 .例12 .例13 .例14 .由以上知不存在.例15 .例16 .五. 复合函数的极限定理 设,且,又,则.(在定理中,将换成或,而把换成,结论仍成立).例17 .例18 .因为,且,所以原式=0.例19 .六. 两个重要极限1.(型)注意 (1)与的区别,(另一个);(2)令,则该极限变形为 .(3)一般地,有(常用情形),其中.例20 例21 例22例23 2.,型.注意 (1)等价形式:令,则.所以.(2),型.(3)一般形式:例24 求.解:方法一 方法二例25 注意 对型,可用下面简便方法计算:设,则.例26 例27 第四节 无穷小量与无穷大量一. 无穷小量及其阶的概念1.无穷小量的概念如果在自变量的某一变化过程中,的极限为零,则称在自变量的变化过程中为无穷小量.由此定义 设在(或)时有定义.(或),当(或)时,有,则称当(或)时为无穷小量,记作(或.如,则当时为无穷小量.,则当时为无穷小量.注意:区别无穷小量与很小的数:无穷小量是函数当(或)时与数0无限接近, 的函数值可能等于0也可能不等于0;很小的数是一个确定的数,它不能小于任意给定的正数.2.无穷小量与极限的关系定理 其中.3.无穷小量的性质性质1 有限个无穷小量的和还是无穷小量.证明 设,即,当时,有;,当时,有.取,则当时,有.#性质2 有界函数与无穷小量的乘积还是无穷小量.如,则.证明 设在内有界,即.,则,当时,有.取,则当时,有.#由性质2可得(1)常数与无穷小量的乘积还是无穷小量.(2)有限个无穷小量的乘积还是无穷小量.但请注意:(1)无限个无穷小量的和不一定是无穷小量.(2)无限个无穷小量的乘积不一定是无穷小量.4.无穷小量的比较定义: 例1解：例2解：常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如二.无穷小的等价代换定理(等价无穷小替换定理)：证：例3解: = 8注意: 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换.例4错解: =0解: 例5解: 三.无穷大量1. 定义如果当(或)时,可以无限增大,则称当(或)时为无穷大量.即定义 设在(或)时有定义. (或),当(或)时,有,则称当(或)时为无穷大量,记作.注:(1)区别无穷大量和很大的数.(2)无穷大量并不表示函数的极限存在,仅表示函数的性态(或变化趋势).(3)若改为,则称当(或)时为正无穷大量,记作.若改为则称当(或)为负无穷大量,记作.(4) ,则在(或)时为无界函数;但反之不然.如在内无界(取则),但当时不是无穷大量.(取,则).(5)几何上,表示直线是曲线的铅直渐进线.(6),令,则.2.无穷大量与无穷小量的关系当时,.即无穷大量的倒数是无穷小量,无穷小量的倒数是无穷大量.两个无穷小的商不一定是无穷小,可以是无穷小,无穷大,常数,由此产生了无穷小的比较.第五节 连续函数一. 函数的连续性概念与间断点的分类1.函数的连续性概念(1)定义 设在内有定义.如果,则称在处连续.由于,故,当时,则.所以,从而由此有定义 设在内有定义.如果(即当时的极限等于该点的函数值)则称在处连续.定义(语言) 设在内有定义.,当时,有则称在处连续.(2)左连续、右连续定义 (1)设在上有定义.如果 (或)则称在处右连续.(2)设在上有定义.如果 (或)则称在处左连续.注意 在处连续在处既左连续又连续.该结论主要用于讨论分段函数在分段点处的连续性.2.连续函数如果在开区间内每一点均连续,则称在内连续. 称为的连续区间.如果在开区间内连续,且在处右连续,处左连续,则称在上连续. 称为的连续区间.几何上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线.例1 设,求使得在处连续.解 在处连续,则,且 .所以 解得例2 证明在内连续.证明 ,则,所以,因为,所以.又,所以即在内连续.3. 间断点及其分类设在内有定义.如果满足下列三种条件之一:(1)在处无定义;(2)在处有定义,但不存在;(3) 在处有定义,且存在,但.则称在处不连续,点称为的不连续点或间断点.根据在间断点函数的不同性质状态,可将间断点分成以下两大类:.第一类间断点左、右极限都存在的间断点,称为第一类间断点.(1)可去间断点如果是的间断点,且,则是的可去间断点.显然,如果定义,则在处连续.例3 在处无定义,点为的间断点.但.如果补充定义,即则在处连续.(2)跳跃间断点如果是的间断点,且,则是的跳跃间断点.例4 讨论在处的连续性.解 为的分段点,从而因为,所以为的间断点,且为第一类的跳跃间断点.第二类间断点函数的不是第一类间断点的任何间断点,称为函数的第二类间断点.例5 ,是其间断点,且所以是的第二类间断点,也称是的无穷间断点.例6 ,是其间断点,且时,不存在, 在内无限振荡,故为的第二类间断点,也称为的振荡间断点.例7 设.求(1)的间断点,并指出间断点的类型；(2) 的连续区间.解 (1)显然为的间断点.又,所以为的第一类跳跃间断点.(2) 的连续区间为例8 讨论的连续性,若有间断点,并指出间断点的类型.解 ,当时,.当时,显然所以显然在内连续.又所以为的第一类可去间断点.如果重新定义则在处连续.二. 连续函数的运算法则与初等函数的连续性1. 连续函数的运算法则由极限的运算法则,有定理 如果在处连续,则函数也在处连续.定理 (反函数的连续性)如果在区间上单调且连续,则其反函数在对应的区间上单调且连续.定理 (复合函数的连续性)设在处连续,且,在处连续,则复合函数在处连续.2. 基本初等函数的连续性结论1 基本初等函数在其定义域内都是连续的.3.初等函数的连续性结论2 初等函数在其定义区间内都是连续的.例9 的定义域为是一个离散点集,对这样的点不谈连续性.注意在处连续的必要条件