概率论复习题.doc

1. 设A,B两厂产品次品率分别为1和2，若已知两厂产品分别占总数的60和40,现从中任取一件,发现是次品，求此次品是A厂生产的概率.解：记A=此产品是次品，B=此产品是A厂生产，C=此产品是B厂生产P(A)=P(B)P(A|B)+ P(C)P(A|C)=0.6*0.01+0.4*0.02=0.014P(B|A)= P(B) P(A|B)/P(A)=0.6*0.01/0.014=3/7（贝叶斯公式P21）2. 设随机变量X在区间2,5上服从均匀分布，求对X进行三次独立观测中，至少两次的观测值大于3的概率.解：X在区间2,5上服从均匀分布，即X的密度函数为F(x)=1/3 , 2x5 ；0 ，其他所以 P（3x5）=1/3dx=2/3记A=至少两次的观测值大于3则 P(A)=20/27（均匀分布P41）3. 已知的联合分布列 0 1/3 1-1 0 1/12 1/3 求（1）；(2)；（3）.0 1/6 0 0 2 5/12 0 0解：（1）=-1*5/12+0*1/6+2*5/12=5/12（2）EY=0*7/12+1/3*1/12+1*1/3=13/36E(Y2)=0*7/12+1/9*1/12+1*1/3=37/108DY= E(Y2)-(EY)2=37/108-(13/36)2=275/1296（3）EXY= -13/36(方差P83)4(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.解：（1）记A=4个球全在一个盒子里则P(A)=C(4，4)*5/54=1*5/54=125 （2）记B=恰有一个盒子有2个球 则P(A)=C(4，2)*5*4*3/54=6*5*4*3/54=72/1255(本题10分) 设随机变量的分布密度为(1) 求常数A; (2) 求P(1)； (3) 求的数学期望.解：（1）因为f(x)是一密度函数，所以A1/(1+x)dx=1解得 A=1/(2ln2)(2) P(1)=P(01)+ P(0)=1/2ln2（1+x）dx+0=1/2(3)E =1/2ln2（1+x）xdx=3/(2ln2)-1（连续型随机变量P40，数学期望P80）6(本题10分) 设二维随机变量(,)的联合分布是1=24500.050.120.150.0710.030.100.080.1120.070.010.110.10(1) 与是否相互独立? (2) 求的分布及；解：（1）与不相互独立证明： 1 2 4 5 0 1 2 P 0.15 0.23 0.34 0.28 p 0.39 0.32 0.29由于p11=0.05,而p0.=0.39,p.1=0.15，易见p11 p0.*p.1由此，由定义知与不相互独立（2）* 0 1 2 4 5 8 10 P 0.39 0.03 0.17 0.09 0.11 0.11 0.10所以，=3.16（边缘分布P54 随机变量的独立性P59）7(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90，其他9盒为20.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？解：记A=该种子能发芽，B=该种子来自来自发芽率高的1盒，C=该种子来自来自发芽率低的1盒则有分解 A=BACA依假设，P（B）=0.1,P(C)=0.9,P(A|B)=0.9, P(A|C)=0.2所以，P(A)=0.1*0.9+0.9*0.2=0.27 （全概率公式P20）P(B|A)= P(B) P(A|B)/P(A)=0.1*0.9/0.27=1/3（贝叶斯公式P21）8(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.解：记X为他在游戏中的收益，则X的分布律为X 90 80 70 60 -140 P 0.3 0.21 0.147 0.1029 0.2401EX=90*0.3+80*0.21+70*0.147+60*0.1029+(-140)*0.2401=26.659(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5，某人要采购一批零件，他希望以95的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：,)解：不考10.袋中有大小、重量等完全相同的四个球，分别标有数学1，2，2，3，现从袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分别以X、Y记第一次和第二次取得球上标有的数字。求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X，Y的边缘分布；（3）判断X与Y是否独立。解：（1）XY123101/61/1221/61/61/631/121/60（2）X 1 2 3 Y 1 2 3 P 1/4 1/2 1/4 P 1/4 1/2 1/4（3）由于p21=1/6,而p2.=1/2,p.1=1/4，易见p21 p2.*p.1由此，由定义知X与Y不相互独立11.设连续型随机变量X的概率密度函数为： （1）求X的分布函数F解：（1）当x1时,F(x)= (-,x) 0dx+(0,1) 2xdx+(1,x) 0dx=1 0 , x1（2）P(0.3X2)= (0.3,1) 2xdx+(1,2) 0dx=0.91(P47 15 P40 例12)12（15分）对某一目标依次进行了三次独立的射击，设第一，二，三次射击命中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7，试求：（1）三次射击中恰好有一次命中的概率(8分)；（2）三次射击中至少有一次命中的概率(7分)。解：（1）0.4*0.5*0.3+0.6*0.5*0.3+0.6*0.5*0.7=0.36 （2）1- 0.6*0.5*0.3=0.9113设随机变量X的密度函数连续，试求：（1）常数A,B；（2）X的分布函数F(x)；（3）求的密度函数。(每小问各5分)解：（1）B=2,A=1(2)(3)14（10分）设一盒内有2件次品，3件正品，进行无放回的抽取，每次取一件产品，用X记第一次抽取所取得次品的个数，Y记第二次抽取所取得次品的个数，试求（X,Y）的联合分布律。不做，差不多的题，哈哈15（20分）设二维随机变量（,）的联合密度函数为：，试求：（1） 常数c；(4分)（2） E(),E(),D(),D()。(16分)16（10分）一个袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球，现采用不放回方式从中摸球两次，每次一个，求：（1）第2次才取到白球的概率； （2）第2次取到白球的概率。(每问各5分)解：（1）记A=第2次才取到白球则P(A)= 7*3/(10*9)=7/30（2）记B=第2次取到白球则P(B)= 7*3/(10*9)+ 3*2/(10*9)=3/1017设随机变量X的密度函数为，（1）试确定常数c；(5分)（2）求X的分布函数F(x)；(7分)（3）求P|X|2；(5分)（4）求的密度函数。(8分)18（10分）设二维随机变量（,）的联合分布律为： 12341000200304（1） 求,的边缘分布律；(6分)（2） 求的分布律。(4分)19：某产品的质量指标，若要求，问允许最多为多少？（附：）20：对球的直径作测量，设其值于上均匀分