沈阳理工大学线性代数B部分复习题答案.doc

线性代数B部分复习题答案一、填空题1、；注意项的行标排成标准排列，项的符号取决列标排列的逆序数。2、由自然数19组成的排列213i69j85为偶排列，试确定i=7，j=4.3、用对角线法则，仅挑出，注意副对角线以及与副对角线平行线上元素之积取负号。4、若这是范德蒙行列式，套用其结果5、设，若AB=BA，则，y=2；6、设，；7、8、设n阶行列式D=det(aij)中，元素aij的代数余子式是Aij ，则；这是代数余子式重要性质。9、若n元齐次线性方程组Ax=O有n个线性无关的解向量，则A=O；因Ax=O有n个线性无关的解向量，故基础解系所含解向量个数n-R(A)=n，从而R(A)=010、若 线性相关，则11、设A是56阶矩阵，如果A有一个3阶子式不为零，而所有4阶子式全为零，则A的秩是3；12、设齐次线性方程组AX=O的同解方程组为，则方程组的基础解系为.13、当的秩为1.14.设方阵A满足，则据教材P43推论15、在矩阵A的左端乘以一个初等矩阵，相当于对矩阵A施行了一次相应的初等行变换.16、-2417、二、是非题1、设A、B为n阶方阵，且AB=O ，则必有或；（ ）据方阵行列式性质，注意：方阵取行列式后变成数了。2、设A为mn矩阵，若AX=AY，且AO，则X=Y； （ ）注意：通常矩阵运算不满足消去律3、若矩阵A、B满足AB=O ，且，则必有； （ ）但即A可逆时，才有消去律。4、若矩阵A、B满足AB=O ，则必有A=O，或； （ ）5、设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有 ；（ ）据行列式性质2，36、将行列式对换某两列后，再将其中一列的倍数加到另一列上，行列式的值不变； （ ）7、设A为n阶方阵，若，则； （ ）据8、若矩阵A满足AT= -A，则； （ ）因，故不一定为0.9、若A可逆，则A的伴随矩阵A*也可逆； （ ）证：10、若A的伴随矩阵A*可逆，则A也可逆； （ ）11、设A、B、C均为n阶方阵，且ABC=E，则CAB=E； （ ）据教材P43推论及可逆定义12、向量组线性相关的充要条件是每一向量可由其余向量线性表示；（ ）教材P87线性相关等价定义至少有一个向量可由其余向量线性表示，但不一定是每一个.13、若1可由2,3,n线性表示，则向量组1,2,n是线性相关的；( )据教材P87线性相关等价定义14、n+1个n维向量必线性无关； （ ）据教材P89定理5(2)15、4个5维向量不一定线性相关； （ ）据教材P89定理5(2)16、若向量组1,2,n是线性相关的，则1可由2,3,n线性表示；（）据教材P87线性相关等价定义至少有一个向量可由其余向量线性表示，但不一定是1.17、一个线性无关向量组的任何部分组都线性无关； （ ）据教材P89定理5(1)18、设A=BC，若C的列向量组线性相关，则A的列向量组也线性相关；(难些) （ ）证故A的列向量组也线性相关19、向量组B：b1，b2，bl与向量组A：a1，a2，am等价的充要条件是R（a1，a2，am）= R（b1，b2，bl）. （ ）20、 若齐次线性方程组AX=O只有零解，则AX=b（bO）有唯一解；（ ）因AX=O只有零解（设），故，但。21、若非齐次线性方程组AX=b（bO）有惟一解,则AX=0只有零解；（ ）因AX=b（bO）（设）有惟一解，故，从而AX=0只有零解。据教材P71定理3和定理4.22、设A为n阶方阵，且R(A) n -1，则； （ ）(难些)因R(A) n -1，故A的n-1阶子式全为零，即,而。23、若A是矩阵,则齐次线性方程组AX=0必有非零解.( ) (难些)因，故齐次线性方程组AX=0有非零解.这里用到教材P71定理和定理4和可乘条件。24、若齐次线性方程组有两个不同解，则该方程组必有无穷多解.( ) 三、计算题带有参变数的非齐次线性方程组解的讨论，并在有无穷多解时，求通解1.当为何值时，非齐次线性方程组（i）有惟一解，（ii）无解，（iii）有无穷多解，并在有无穷多解时求其通解.解：系数行列式为 2分（1） 当且时，从而方程组有惟一解； 4分（2） 当时，增广矩阵 所以R(A)=2，R(B)=3，方程组无解. 6分（3）当时，增广矩阵所以R(A)= R(B)=1，方程组有无穷多解.可得通解 （x2，x3R） 10分2.设 为何值时，方程组有唯一解？无解？方程组有无穷多解？并求它有通解。解： 将方程组的增广矩阵B用初等行变换化为行阶梯矩阵 所以（1）当且时，R(A)=，从而方程组有惟一解；（2）当时，R(A)，方程组无解. （3）当时，R(A)=，方程组有无穷多解，此时增广矩阵可得通解 （x3R），即四、证明题 侧重复习矩阵对称性、可逆及向量组线性相关性的证明（5）设向量组a1,a2,a3线性无关，证明向量组b1=a2-a1,b2 =2a3-a2，b3=a1-a3也线性无关.利用线性无关定义证明：设有一组数x1，x2，x3使x1 b1+x2 b2 + x3 b3=O，即x1(2-1)+x2 (2 3-2)+ x3 (1-3)=O， 即（x3- x1）1 +（x1- x2）2+(2 x2- x3) 3=O 2分因1,2,3