2007年高考数学试卷评析及2008年数学高考复习探讨.doc

DBFQ SYY CYPT SFCF 2007年高考数学试卷评析及2008年数学高考复习探讨 10月2021日，参加了2008年湖南省高考备考研讨会，现将大会专家的报告整理如下，供各位同仁参考，达到共同提高的目的。 一、2007年数学高考试卷评析 2007年是湖南省自主命题的第四年，数学试卷充分发挥了作为基础学科的作用，既考查了中学数学基础知识的掌握程度，又考查了进入高校继续学习的潜能，在去年命题工作的基础上作了总体上调整，理科客观题较2006年降低了难度，但主观题保持了稳定的风格，总体难度略有下降。较2006年均分下降了两分多。而文科调高了试卷的整体难度，在客观题上出现了多处与理科相近的试题，而主观题在概率应用题，解析几何综合题和数列综合题出现了姐妹题，试题较接近2003年国家考试中心的试题的风格，从而使考生从2006年文、理试题差异大，到2007年几道把关试题的进口完全相同，仅仅能力出口略有差别，文科学生很不适应，总之，命题在深化能力立意，积极改革创新上均作了大胆的探索，兼顾了数学基础，思想方法、思维、应用和潜能多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽了题材，选材多样化，宽角度，多视点地考查了数学素养，多层次地考查了思维能力，形成了湖南省命题的独特风格。 11试题题型平衡，突出对主干知识的考查，重视对新增内容的考查。 2007年的文、理科试卷保持了2006年的题型，题量及分值，保持了各主干知识及新增内容的试题的大致比例(见表)，保持了考查风格，对基础知识的考查平谈中见深刻，不刻意追求知识点的覆盖面，在试题设计创新上下了功夫。2006年、2007年题型、题量考查主要内容的分值统计表 项目 题型、题量及分值 考查主要内容所占分值数量 年份 选择填空解答集合选择函数方程不等式数列三角二项式排列组合 立体几何平面向量解析几何导数概率统计复数2006年10题50分5题20分6题80分理5分文7分理12分文21分理18分文12分理21分文16分理10分文9分理23分文24分理10分文9分理24分文28分理11分文12分理16分文12分 2007年10题50分5题25分6题75分理5分文5分理15分文15分理18分文18分理17分文17分理5分文10分理17分文22分理5分文5分理28分文28分理18分文13分理17分文17分理5分 试题关注高中数学课程改革，结合使用教材实际情况，汲取新课程中的新思想，新理念， 进一步考查新增内容，其中理科有4、5、7、14、17、19、2l等题共计约46分，文科2、7、，14、17、21等题共计约40分，文、理科较2006年均有所增长(2006年理37分，文33分)与教材所在课时的比例比较，更突出了新增内容的考查。 12充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出较好的层次性。 文 、理科考生在数学思维方面的水平有差异，而对数学的要求也不相同，2007年的试题较好地关注了这种特点，在文、理考查内容大致相同的情况下，在考查方式、能力层次等方向进行了较好的区别，全卷仅有选择题10题相同，在解答题中理16与文16(同为三角函数题)相比，文科考题更常规和传统，理17题文17题(同为概率题)相比，理科第(2)小题考虑的情形要多，而且还要计算随机变量的期望与方差，增加了一个能力考查点，理科19题与文科19题(同为解析儿何题) 相比，文科把理科的第(2)问由探究性问题，改为给出结论后验证! 在文、理科试题中，又采用大题设多问的方式来进行层区分，各问之间层次分明，难度逐渐加大，每道题的第1问起点较低，易于动手，这种试题有较好的区分度，能很地发挥高考的选拔功能! 但2007年文科试题与理科试题比较，虽然有较大区别，但有的试题在题设条件完全一样的情况下(如文、理17题，文、理19题及文20题和理21题)设置问题时，文科的首问台阶几乎与理科相同，这样导致文科考生大部分感觉入手难，从而导致今年文科生均分较去年下降6分多，而且高分的人数锐减，这也许是命题出题者的一种策略。 13重视对数学思想的考查 数学新课标明确提出把数学思想方法归入“双基”的范畴，并确定了一些重要的基本数学思想方法，2007年的试题突出了这方面的考查，注重了通性通法的考查，淡化了解题技巧，文、理试卷考查的主要数学思想有：数列结合的思想，如文科第7、8、14题，理科第6、14、19等题；转化与化归的思想，如文科第19、20、21等题，理科第9、19、20、21等题，分类与整合的思想，文科有第10、20等题，理科第10、20等题；特殊与一般的思想，如理科第15题，或然与必然的思想如文科17题，理科17题；有限与无限的思想，如理科第7题。 14深化能力立意，考查考生的学习潜能 高考旨在选拔已经合格的毕业生中那些素质好，基础扎实，能力强，发展潜力大，将来有机会继续深造的学生，以能力立意是多年来新高考命题的指导思想，2007年，深化了这一思想。 许多试题都处在知识网络的交汇点，解答这类试题，考生需要综合思考，灵活运用所学各类知识和方法进行推算，如理科的第4题综合考查了函数与向量的知识，而向量知识着重考查了数量积运算及垂直的条件，只要学生知识运用得当，解答就会自然流畅，理科21题，以数列和函数为知识为载体设置条件，提出问题采用了低起点多台阶的形式，第(1)问解答数列本身问题，第(2)问则对已知数列提问探索它为单调递增数列的条件，属于条件探索性问题。但第(3)问把数列与解析几何科率综合起来，但证明过程中，为了比较两个式子大小，又运用了构造函数的方法，通过以导数为工具研究其单调性，然后运用单调性判定两个式子大小，在最后一问中，考查了创新思维能力，以其思维跨度大，构造性强而形成综合性，文科的第21题，一改近两年通过对给出的一元三次函数求导，再研究其单调性然后逐渐解决各级问题的风格，而在第(1)问以通过条件中的三次函数载体，考查二次函数的综合问题(即区间根问题)，即化归到传统的二次函数问题。第(2)问提出的问题更是独具匠心，解答者必须把条件中y=f(x)在点A(1，f(1)处的切线穿过函数y=f(x)的图象这一几何特征，等价转化为代数问题，第(3)问打破常规，不是直接给出A、B两点的纵坐标均为函数的极值。而是以几何语言叙述的形式呈现，创设了新颖的情境，以上试题在较高层面上考查了学生阅读能力，理解能力和解决问题的能力。考查考生学习新的数学知识的能力是2007年试题的一个亮点，如文、理的第10题，考生面对如此情境新颖的试题，如果不具有良好的心理素质。把抽象问题具体化，正难则反，从反面思考，否则很难得分。审题和选择思路与方法是破解本题关键，若本题采用枚举法，就会有麻烦!由此可见，理解与领悟知识，才能灵活运用知识，重视产生知识过程中形成的方法与思想，才能形成内化能力，以此能自如地解决新问题，这体现考试了学习能力和未来运用学习获取知识发展自己的能力。 从能力立意角度讲，2007年的试题还突出了对考生数学思维能力的考查，许多试题若能先想清楚找到合适的解题思路和方向后再动手，则解答会较容易，否则陷入繁琐的运算之中，如理科第6、9、14题文科第7、8、14等题通过画图或利用已知条件提供的图形，数形结合后迅速解答。对于理科第15题，敢于从特殊出发，尝试找到规律，然后形成结论。试题中还设计了一些探索性试题，为考生提供了展示能力的空间，如：文科第20题第(2)问，属条件探索性问题，为考生提供了探索的空间，让学生体会人们认识数学规律和解决数问题的全过程，探索性问题由于解法不确定性，问题开放性，从而提升了试题的能力考查，也产生良好的区分度。 15重视应用题设计、考查、数学应用意识。 2007年湖南试卷在文、理各设计了两道应题，其中文科第7题以处理水文观测后的数据为模型，重点考查统计知识，文、理的第17题条件完全一样，而且设置问题第(1)问相同，第(2)问文理仅考查一种隋形的概率计算，而理科须计算出发生各种情况的概率，并求期望，同2006年比较，应该说保持了稳定，理科第19题是一个函数背景应用题，与2006年相似之处是以函数为背景，不同之处今年建立函数模型后，重点考查二次函数最值，无理函数用导数工具讨论最值，而且最后一问是一个探索性问题，坡度较大，由此可见，中学数学的核心能力和主干知识是高考考查重点。我们既要抓热点，更要落实重点知识复习，这是高考中不会回避的。 2007年应用题，较2006年保持了背景公平这一特点，但问题的表述更朴实，所以考生阅读上困难少了许多，但应用问题考查建模后落脚到数学方法的运用上，所以，加强考生应用意识培养只是破解应用题的一方面，更主要的是注重数学思维能力和数学素养的提高，达到解决应用题的最终目的。 二、2008年数学高考复习探讨 (一)复习的两个基本原则1、以纲为纲，明晰考试要求 所谓“纲”，主要指考试说明和教学大纲。简单地说，考试说明就是对考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。教学大纲则是编写教科书和进行教学的主要依据，也是检查和评定学生学业成绩、衡量教师教学质量的重要标准。研究考试说明和教学大纲，既要关心考试说明中调整的内容，又要重视数学5种版本考试说明的比较。我们可以结合上一年的高考数学评价报告，对考试说明进行横向和纵向的分析，发现命题的变化规律。 2、以本为本，把握通性通法 近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。正如教育部考试中心命题处处长任子朝所说的“不能借口能力考查和理论联系实际而弱化、淡化基础知识、基本理论”。有的知识点看起来在课本中没有出现过，但它属于“一捅就破”的情况，出现的可能也是有的。“注意通性通法，淡化特殊技巧”，就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。例如，将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根方式、韦达定理、两点间距离公式等可以编制出很多精彩的试题。这些问题考查了解析几何的基本方法，也体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想。尽管剩下的复习时间已经不多，但我们仍然要注意回归课本。只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。在求活、求新、求变的命题的指导思想下，高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查课本上的原题，但对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到“影子”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效。 (二)按考查要求进行下面三方面的复习 1、数学基础知识 (1)函数和导数 函数是高中数学的主干，也是高考考查的重点，高中阶段函数划分为三个阶段，并不断升化，第一阶段主要学习函数概念，函数的图象和性质以指数函数和对数函数为例，重点学习反函数和函数的关系，函数的单调性，奇偶性；第二阶段，是以三类三角函数为例，学习函数的奇偶性和周期性；第三阶段，则是在学习函数的极限、函数的连续性的基础上，重点学习函数的导数、最终落在导数的应用：研究极值、最值等，旧课程卷将函数与不等式及数列结合起来，而新课程卷是把函数与导数相结合，发挥导数的工具作用。 复习建议：熟练掌握(一次函数、二次函数、反比例函数、打钩函数、指数函数、对数函数)的图象和性质，其它函数问题可通过寻找背景函数使问题得到顺利解决；理解函数概念及其定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，从而为顺利解决抽象函数问题打下基础；从两个方面培养学生学会透过函数看问题：一是会讨论已知函数的性质并能运用性质解决问题(如运用单调性求极值、解不等式等)；二是能通过数学建模将实际问题转化为函数问题，即函数化思想；数学思想与方法：i)对应思想：函数是一种特殊的对应，反函数是逆对应，可不求反函数解决反函数问题；ii)从函数角度看方程，从方程角度看函数；iii)有限与无限的思想 (2)数列 虽然在大纲中数列只有12个课时，但高考中数列有相当重要的位置。 数列问题，注意一般数列的概念和性质，重点研究等差数列和等比数列，掌握通项公式和求和公式，以及形成这些公式的思想与方法，对于理科学生，通过考生对数列问题的解答，可考查其演绎推理的能力，课本上公式也是常考知识点。 复习建议：数列的概念：等差与等比数列的概念、通项公式及求和公式，培养学生运用方程的思想解决数列问题；数列求和的几种方形法：公式法、分组并项法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法；对于理科学生，重视递推数列的通项性质以及和的性质，在是否求递推数列通项的选择上考查学生的逻辑推理能力；数列的通项以及和的不等问题，要求会选择恰当的方法解决问题(不等式法、函数单调性法、数学归纳法)，培养学生代数推理能力 (3)不等式 掌握不等式的性质，简单不等式的解法，不等式的证明与不等式的应用，新教材删去了无理不等式、指数不等式和对数不等式的解法，只保留了二次不等式，分式不等式及绝对值不等式的解法，平均值不等式由原来的三个正数降低为2个正数，这主要是导数工具引入，拓展了求函数最大(小)值的空间，形成互补性。 复习建议：重视不等式的性质，它是重要不等式的产生以及不等式运算与推理的重要依据；熟练运用算术几何平均值不等式解决问题，重视它的拓展性结论及其运用，重点训练恒等变形能力，创设运用不等式的情境(配凑技巧)；发挥不等式的工具性：i)用不等式解决函数问题；ii)用不等式的证明方法证明数列不等式问题：注意不等式与函数的交融，会通过函数观点(构造模型函数)看不等式问题 总之，不等式在高考中单独命题可能性小，但作为工具解决问题的作用不会降低，即不等式的工具性。 (4)三角函数 在新高考中，三角函数把旧高考同角8个公式删为3个，删去了余切诱导公式，删去了半角公式，积化和差与和差化积公式，删去了反三角函数与简单三角方程的绝大部分内容，只保留了反正弦、反余弦、反正切的意义与符号表示，而简单的三角方程只要求由已知三角函数值会求角，这主要是新增了平面向量、极限和导数，它们的工具性作用替代了三角函数的工具性作用。 三角函数主要是两类题型，一种是三角函数式变换后求值、化简及证明，另一种是三角函数的图象与性质。 (5)立体几何 高考试卷对空间想象能力的考查集中在立体几何试题上，由于新教材编制了A、B两种版本：在B版中增加了空间向量的方法，开拓了解决立体几何问题的空间，也拓宽了高考命题的思路。总体上讲，由于引入空间向量，对于适合于建立空间坐标系的问题，将几何元素间的关系数量化，加上近三年命题中保持了一题两解的特点，使得用空间向量的方法解立体几何问题带来了优势。 (6)解析几何 解析几何新高考要求与旧高考要求变化不大，删去了极坐标和参数方程，但增加了线性规划内容，对于线性规划，2007年全国及各省市基本考查了一道客观试题，解析几何的核心内容直线、圆、圆锥曲线，仍旧是新高考的热点内容，但由于新高考增加了平面向量内容，而平面向量又可以用坐标表示，因此，以坐标为桥梁，使向量的有关运算和解析几何的坐标运算产生了联系，可以使向量及其有关运算为工具，来研究解决解析几何的有关问题，主要是直线的平行、垂直、点的共线、定比分点及平移等(尤其是湖南省教育出版社编制的一套新课表高中教材，整个解析几何都是用平面向量为工具处理的)，这就给解析几何实现在知识网络的交汇处设计能力试题提供了良好的素材。 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，即利用代数的方法研究解析几何的基本特点和性质，因此，在解决解析几何问题的过程中，计算占了很大的比重，对运算能力要求较高，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础，而在计算中要根据题目的要求，利用曲线的性质将计算简化或将某一个“因式”作为一个整体处理，这样可大大简化运算，它的依据是“模块”思想，即“换元法”。 解析几何除考查概念、基本元素及基本关系外，还突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般等思想方法。(7)概率与统计 概率与统计是高中数学新课程的重要学习内容，在生产与生活中有着广泛的应用。我省自主命题四年，每年文、理都考一道解答题，概率的复习一定要以课本为本，新教材要求，文科考生须掌握三种概率计算方法及简单的统计知识，统计内容每年都是以客观题出现，而对于理科考生，还须了解和掌握离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望和方差、抽样方法、总体分布的估计、正态分布，线性回归等，对于理科考生，未来高考中，会提升考生学会用统计方法解决生产与生活中的实际问题。 2、数学思想与方法 (1)函数与方程的思想。 (2)数形结合的思想。 (3)分类与整合的思想。 (4)化归与转化的思想 (5)特殊与一般的思想 通过对个例的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，由实践到理论，这就是由特殊到一般的认识过程，但这不是目的，还需要用理论指导实践，用所得的特点和规律解决这类事物发展的新问题。这就是由一般到特殊的认识过程。这种由特殊到一般，再由一般到特殊反复认识的过程，就形成了特殊到一般的思想。我们数学中常用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想方法的集中体现。高考中设置一些通过构造特殊函数，特殊数列，寻找特殊点、特殊位置，取特值等解决的问题，都是突出考查特殊与一般的思想。 (6)有限与无限的思想 有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章可循，并积累了一定的经验，而对无限的研究是将它转化为对有限的研究，这就形成了解决无限问题的必经之路，反之，当积累了解决无限问题的经验之后，又可以将有限问题转化为无限问题来解决，这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法称之为有限与无限的思想。 有限与无限思想的考查刚刚起步，新高考是在考查其他数学思想方法中同步考查有限与无限的思想，使用数学归纳法证明时，体现了有限与无限的思想，研究函数极值，在极值定义中对极值的描述中，从另一个角度体现了有限与无限的思想，定义中的“附近”和“所有”都含有有限与无限的辩证关系，而新高考命题更重视从概念和方法出发，考查蕴含其中的数学思想方法，即我们复习中，既要重视课本中的概念、定理、性质的直接或灵活运用，还要重视产生概念、公式，证明定理、性质所产生的数学思想与方法。 (7)必然与或然的思想 随机现象的两个基本特征，一是结果的随机性，即同样重复的实验，所得到的结果并不相同，以至于试验之前不能预料试验的结果，二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验发生的频率“稳定”在一个常数附近，概率研究的的随机现象，研究的过程是“偶然”中寻找“必然”，然，后再利用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这集中体现的就是必然与或然的数学思想。 (三)数学三轮复习的对策与方略 1、一轮复习按考点分课时逐个复习，夯实基础知识与基本方法。 一轮复习中值得注意的几个问题 (1)课堂教学的模式化提升课堂教学效率 (2)课后练习的反馈、评价、落实，以保证考点复习的实效性 (3)每周一练，形成对一周知识与方法的整理，回顾检测以验证目标的完成情况 (4)每章一考，全面检查章节复习的成果，阶段性检测知识与能力所达到目标的情况 (5)教材选取的互补性，除课堂教学用书，另外准备一本按考点编拟的较基础、导向性好的考点训练册，交叉训练，形成互补 2、二轮复习分专题讲座，同时与专题训练相结合，分块整合进行综合复习，注重数学思想与方法的提升和综合能力的培养。 二轮复习中值得注意的几个问题 专题讲座分两步走：先按知识模块整合，按章节或多章节整合，形成内部交叉综合能力，再介绍数学思想方法，形成考生内化能力。专题讲座与“模块”综合检测相结合，二轮复习应把训练与专题讲座摆同等地位，此时还不宜进行综合考试 3、二轮复习的几个训练环节：小题训练短卷训练模拟训练查漏补缺训练，其中模拟训练和模拟考试不宜过多，5至6次较好 。 (四)、高三数学复习值得注意的六个问题 1、弃题海，重过程，反璞归真抓复习 2、合理切入，科学备考 (1)回归课本，夯实基础 (2)突出主干知识，加强薄弱环节 (3)精选典型习题，克服复习倦怠 (4)提高理解和运算能力 (5)强化思想与方法 3、构建知识网络，寻找交叉点整合 (1)三角与向量的交融 (2)解析几何与向量的交融 （3）数列与解析几何交融 （4）数列与不等式交融 项不等式问题的常规处理方法：i)不等式证明的一般方法(比较法、基本不等式法、放缩法等)； ii)数学归纳法：iii)构建函数，利用函数的单调性；iv)先求通项，利用通项求解 和不等式问题的常规处理方法：i)合理放缩后裂项相消；ii)裂项无效，化归等比：iii)迭代放缩 (5)概率与方程、概率与递推数列的交融 (6)函数、导数与不等式的交融 (7)函数与数列交融 (8)立体几何与方程的交融(解决立几探索性问题有两种思路：一种是先猜后证，另一种是运用方程化归为代数问题) 4、重视意志和品质培养，加强心理素质教育 5、学会反思，提高复习效率 6、养成良好解题习惯，规范答题 引导学生对自己的思考过程进行反思 引导学生对题意的理解进行反思 引导学生对题目所涉及的数学思想方法进行反思 引导学生对解题的思路、推理、运算和语言表述进行反思 (5)引导学生对解题活动中有所关联的问题进行反思 、引导!学生对数学活动的结果进行反思，对结果的反思可进一步探讨解法，挖掘规律，引申结论。 附 高考数学主干知识，解题基本策略 (一)三角函数1高考命题特点 (1)立足基础，难度偏易； (2)主考变形，注重求值； (3)强调通法，淡化技巧； (4)内容简洁，运算适度2解题基本策略 (1)切弦互化，统一角度，变异为同； (2)高次降幂，复角拆分，整体把握； (3)找出差异，抓住联系，促进转化； (4)化边为角，化角为边，变式消元： (5)将三角式变形为只有一处含自变量； (6)分离参数研究参数取值范围； (7)注意公式的逆向运用和变式运用： (8)注意在原函数定义域内求解3考题基本类型 (1)求含非特殊角的三角式的值： (2)求含未知角的三角式的值： (3)以三角形为背景求值； (4)确定三角函数的基本性质： (5)三角函数的图象性态分析； (6)求三角函数中参数的值或取值范围； (二)空间直线与平面1高考命题特点 (1)突出主线，考点分散； (2)一证一算，一题两法； (3)注重基础，题意简明； (4)难度中等，方法常规2解题基本策略(1)从数量关系中发掘位置关系； (2)利用直觉思维提出合理猜想再论证；(3)对角和距离应先“找”后“作”； (4)运用方程思想求值；(5)运用转化思想进行挪移； (6)以面面垂直为背景作平面的垂线；(7)通过移图、补形、展开分析图形特征 (8)适当利用向量法解题 3考题基本类型(1)空间线面位置关系的判定与证明； (2)空间角的分析与计算；(3)空间距离的分析与计算； (4)探索性问题 (三)概率与统计1高考命题特点 (1)重点突出，主考概率： (2)注重原理，强调双基；(3)背景朴实，贴近实际； (4)难度稳定，设问常规2解题基本策略(1)认清随机事件所属的概率类型； (2)运用方程思想建立概率关系：(3)利用对立事件的概率关系简化概率运算； (4)利用分解与合成思想求期望：（5注意二项分布的期望与方差的简单计算：(6)将正态分布问题转