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由一道习题引发的思考探索二元一次方程组解的情况内容摘要：对一道二元一次方程组解的情况习题，是简单地呈现最后的结果？还是给学生讲解理由？我选择了后者，首先引入一种新的解二元一次方程组的方法，在求解的过程中产生矛盾，撞击学生思维的火花；围绕矛盾设置由浅入深的问题，直至得出最后结论，并用所归纳的结论解决问题。学生经过探索、独立思考、合作讨论、总结归纳等数学活动和思维过程认知能力得到提高。同时也使自己的教学水平提高，达到教学相长的效果。关键词： 系数行列式； 解的情况； 唯一解；无穷多解 ；无解一、情景描述苏科版七年级教材下册10.3解二元一次方程组，运用代入、加减消元法求解二元一次方程组，例题和习题中的方程组都是有解的，教材没有对二元一次方程组解的情况讨论。在辅导课上，徐渺，吕园等几位同学问我一个问题，题目内容是“当m ，n取什么值时，方程组 有唯一解？有无穷多解？无解？”他们说看不懂题目，不知道题目是什么意思。如何解答这个问题？是直接告诉结论把答案呈现给他们，还是给他们讲解理由？若讲解如何才能让他们理解透彻？二、反思与分析为了解决上述问题，进一步提高学生的认知能力，根据七年级学生的心理特征和认知特点，我给他们提供了当二元一次方程组有解时的另一种解法。首先我们引入一种运算 定义：二阶行列式，例如下面我们用一种新方法来解二元一次方程组 例（教材苏科版七下P91）解二元一次方程组 分析：方程右边为常数为4，方程右边为常数为-5；我们把方程、中未知数x、y的系数按照原来的位置，构成二阶系数行列式；把系数行列式中x的系数所在列换成方程、中常数，可得行列式；把系数行列式中y的系数所在列换成方程、中常数，可得行列式，根据行列式计算方法，可得；。解：方程组的二阶系数行列式做相应的常数替换；方程组的解可以表示为： 所以方程组的解为 此种解法所得答案和课本结果一样，注意未知数求解的表示中，分母都为二阶系数行列式， 求x时只需把二阶系数行列式中的未知数x的系数换为对应方程的常数后作为分子，求y时只需把二阶系数行列式中的未知数y的系数换为对应方程的常数后作为分子，可以求解方程组的解。（学生感到惊奇，非常想用新方法一试身手。）通过新解法的呈现，激发了学生的求知欲望。请你仿照上述解法解方程组（教材苏科版七下P90例2）几位学生按照新解法很快求解出方程组的解。并和课本例题答案对照，结果一样。（学生快乐地学习，感觉到成功的喜悦）“很好，你们真棒”我适时给学生鼓励和表扬，接着我又提出问题：“由上面解二元一次方程组解的表达式，若二元一次方程组有解，解是由什么决定的？你对二元一次方程组的解有何新的认识？”（几位学生讨论后认为若二元一次方程组有解，解是由二元一次方程组本身的系数和常数唯一决定的。）很好，请你用上述方法解二元一次方程组学生用新方法解题 （学生说：“咦，分母怎么为0了，未知数x值算不出来啊。” 学生产生困惑）解题产生了矛盾，撞击学生思维的火花，进一步激发了学生的求知欲和探索欲望。这时我适时引导学生说：“刚才我们解题的时候，虽然我们没有判断系数行列式的值是否为0；实际上它们系数行列式分别为； ，都不为0，所以我们可以把解唯一地表示出来，而的系数行列式，此时方程组可能无解，也可能有无穷多个解。”接着我继续提问由上面两个方程组：1、你认为二元一次方程组满足什么条件时有唯一解？学生讨论后回答：“二元一次方程组二阶系数行列式不为0时，方程组唯一解。”2、系数行列式为0时，方程组可能无解，也可能有无穷多个解，那么什么时候无解？什么时候有无穷多个解？请你继续考察方程组我们把式两边同乘以2，得方程，这与式相矛盾，此时方程组无解。计算后知道系数行列式，用两方程的常数替换未知数x（或y）后得到行列式，计算的值是否为0 ？你有何结论？ 学生计算讨论后回答：，若，且常数替换未知数x后得到行列式，方程组无解。3、请继续考察方程组我们首先计算系数行列式 ,我们把式两边同乘以3，得方程，这与式完全相同，两个二元一次方程实际上是同一个二元一次方程了，由于一个二元一次方程有无穷多解,所以此时方程组有无穷多解。首先我们通过计算后知道系数行列式，用两方程的常数替换未知数x（或y）的系数后得到行列式，计算的值是否为0 ？你有何结论？ 学生计算讨论后回答：，若，且常数替换未知数x的系数后得到行列式，方程组有无穷多解。 4、由上面的探索，你能否归纳并叙述出对于一般的二元一次方程组 的各系数及常数，满足什么条件时(1) 二元一次方程组有唯一解；(2) 二元一次方程组有无穷多解；(3) 二元一次方程组无解；（这对学生是一个挑战，学生的思维得到进一步的升华和提高，培养学生归纳总结的能力）我留给每位学生充足的思考探索时间，培养他们独立思考的能力；然后互相交流讨论，达成共识，培养合作学习的意识。这样即便有学生独立思考问题后可能还没能归纳出结果，但是经自己的思考带着问题去听其他同学的解答，分析自己的思路，突破难点，这样可提高他本人分析解决问题的能力。在学生讨论交流的时候，我参与到讨论过程中去，以学生现有的知识水平共同和学生归纳总结，并及时给学生以引导和鼓励。学生经独立思考，交流合作达成共识得到结论。1) ，二元一次方程组有唯一解；(2) 且 ，二元一次方程组有无穷多解；(3) 且 ，二元一次方程组无解；（上述总结的结果不易记忆，我引导学生改写结论）我们知道若，即，也就是；，即，也就是；为了记忆上的简洁，我们可以把上述结果表述为结论：对于一般的二元一次方程组 我们有(1) ， 二元一次方程组有唯一解；(2) ， 二元一次方程组有无穷多解；(3) ， 二元一次方程组无解；我们已探索总结出二元一次方程组三种解的情况所需的条件，学以致用，用所探究的知识解决问题“当m ，n取什么值时，方程组 有唯一解？有无穷多解？无解？解：(1) 即， 二元一次方程组有唯一解；(2) 即 ， 二元一次方程组有无穷多解；(3) ，即 二元一次方程组无解；为了培养学生学习数学的兴趣，激发他们的求知欲，我给学生引入一种新的解二元一次方程组的方法，在求解的过程中产生矛盾，撞击他们思维的火花，围绕矛盾我设置由浅入深的问题，直至得出最后结论，并用所学知识解决自己提出的问题。学生经历探索、独立思考、合作讨