用牛顿迭代法求方程的近似解.ppt

用牛顿迭代法求方程的近似解 斐波那契 1175年 1250年 意大利数学家 是第一个研究斐波那契数 并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲的人 影响了欧洲数学界一个时代 斐波那契研究过一个三次方程的求解问题 并给出了一个精度非常高的近似解 这在当时是非常重要的结果 但是无人知道他是怎么计算得到的 这个方程我们把它称为Leonardo方程 斐波那契和Leonardo方程 斐波那契给出了这个方程的近似解是 斐波那契的解是非常精确的 但是并没有给出过程 在十三世纪 能得到这个结果 是非常了不起的成就 即使在当今的年代 我们在没有图形计算器的条件下 给出近似解也是非常困难的 设想一下 斐波那契是用什么样的方法得到这个结果的呢 斐波那契和Leonardo方程 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 1 若f c 0 则c就是函数的零点 2 若f a f c 0 则令b c 此时零点在 a c 3 若f c f b 0 则令a c 此时零点在 c b 4 判断是否达到精确度 达到则停止运算 否则继续循环运算 二分法的步骤 1 根的存在性和唯一性的判断 通过研究函数的单调区间及零点存在性定理判断 2 根所在的区间 分析函数的连续性并找出端点值异号的区间 3 近似解的选取 在达到精确度要求的情况下 区间中任意值都可以作为近似解 需要注意的问题 思考并回答以下问题 1 在研究方程的根的问题时 我们常可以将其等价转化为什么问题进行研究 方法探究 2 在研究函数的性质时 我们新学习了什么知识可以用来很方便地刻画函数的什么性质 方法探究 3 我们新学习的知识中 在刻画函数性质方面 体现出了什么样的思想 方法探究 4 在研究方程的近似解的时候 二分法体现出了什么样的思想 方法探究 5 类比二分法的思想 结合我们新学到的知识 我们能产生什么新的想法求方程的近似解 方法探究 6 借助图形计算器 验证新的想法 并思考如何进一步计算 方法探究 求方程的近似解 精确度为10 9 1 第一步应该从何处开始 需要如何处理 方法建立 求方程的近似解 精确度为10 9 2 第二步应该如何继续 计算的公式又是什么 如何能循环下去 方法建立 求方程的近似解 精确度为10 9 3 如何用图形计算器实现对给定公式的反复计算 动手完成 方法建立 求方程的近似解 精确度为10 9 4 计算到什么时候终止 如何体现精确度在求解中的控制作用 方法建立 简述牛顿迭代法的原理和步骤 1 给定精确度z0和初始值x0 2 写出迭代公式 3 计算迭代精确度p 4 当精确度达到p z0时迭代终止 方法小结 1 迭代法 迭代法也称辗转法 是一种不断用变量的旧值递推新值的过程 在给出迭代公式的情况下 能够通过重复操作实现求解的目的 迭代法的关键是建立迭代公式 归纳与整理 2 牛顿迭代法 1 核心思想 以直代曲 逼近 迭代 2 算法框图 归纳与整理 在天文学中 有一类著名的方程 开普勒方程 是用来确定行星在其运动轨道上的位置的 开普勒方程是一个超越方程 很难得出严格的分析解 但是 已经证明这个方程存在惟一解 在实际问题中 我们更希望得到一个精确度很高的近似解 采用今天探究和归纳的方法 计算取q 0 5 a 0 5时开普勒方程的近似解 课堂延伸 开普勒方程 开普勒方程求解 1 牛顿迭代法求方程的近似解 2 数学思想方法 以直代曲的思想 逼近的思想 迭代的思想 函数与方程的思想 类比的思想 课堂小结 借助图形计算器 练习用牛顿迭代法求方程的近似解 精确度10 6 1 2 3 课后巩固 从下面的叙述中 选择一个你比较感兴趣的方向 继续进行新的探究和发现 1 在实际生活及其他学科研究中 哪些问题可以转化成方程求近似解的问题 2 除了二分法和牛顿迭代法 还可以找到其他方法来求方程